Quelle utilité en physique?

[invite39876]

Bonjour,
Je suis tombé sur ce pdf, et je pensais qu'il pouvait apporter des réponses a ce fil.
Les mathématiques de la physique moderne
J'y comprends pas grand chose (), mais on y trouve des passages sur les catégories et la physique (a la fin) tels que

La notion de categorie est un outil mathematique tres pratique pour encoder la notion de
covariance physique. On peut considerer que si un objet mathematique de la physique est donne
par une propriete universelle, sa definition est covariante au sens des physiciens. Le langage
des categories est donc aux mathematiciens ce qu’est l’homogen´eite `a une masse, a une vi-
tesse) des valeurs physiques si chere aux physiciens.

et

De nombreux objets geometriques de la physique ont une structure riche mais ne peuvent etre
consideres comme des varietes car leurs proprietes naıve ont un mauvais comportement : varietes
de dimension infinie, espace ne possedant pas de structure naıve de variete, etc... La geometrie
virtuelle, inventee par Grothendieck pour les besoins de la geometrie algebrique, permet de
remedier partiellement a ces problemes de definitions. Voici comment on procede

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[invitef591ed4b]

Bonjour,
j'ai envoyé un mail a un ami mathématicien (enfin en doctorat) pour lui parler de tout ca, et pour lui demander ce qu'etait physiquement un faisceau.
Si ca vous interesse voici sa réponse.

J'aimerais apporter quelques remarques à la réponse de ton ami mathématicien.

Cela dit quand je dis utiliser la théorie, c'est un peu... bizarre, parce que la théorie des catégories proprement dite n'est pas une théorie, mais plutot un langage, et il s'avère que c'est actuellement le langage de la géométrie.

La théorie des catégories est au moins un langage, mais c'est aussi une théorie comme toutes les autres avec ses concepts, exemples et théorèmes. Je ne dirais pas non plus que c'est LE langage de la géométrie, ça serait exagéré : il y a quelques concepts qui se sont popularisés, mais le langage actuel de la géométrie ne se réduit pas à celui des catégories. Cela dit, l'homologie moderne se fait effectivement avec le langage catégoriel, puisque la théorie générale de l'homologie est une théorie catégorielle.

Mais ce n'est pas une théorie proprement dite, un peu comme la théorie des ensembles, dans le sens, on y prouver quasiment aucun théorème, a part le lemme de Yoneda, c'est que des trivialités (meme le lemme de Yoneda est une trivialité de toute façon).

On peut prouver plein de théorèmes en théorie des catégories qui ne sont pas du tout des trivialités.

En ce qui concerne un faisceau, c'est au contraire je trouve tres concret comme notion.

Ce n'est pas aussi concret que ça. Les faisceaux sur un espace topologique sont "concrets" parce qu'on visualise bien ce qu'est un espace topologique. Mais un faisceau en général est défini sur un "site" qui est une sorte de "catégorie imitant un espace topologique". Et là, si l'intuition topologique reste utile, elle est loin de permettre de tout saisir.

Qu'est ce que c'est "physiquement" un faisceau? (...) Bon en toute rigueur ca c'est un prefaisceau.

Pour avoir un faisceau, il faut rajouter des conditions de recollement naturelles. Apres oui dire que un faisceau est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts et inclusions dans une catégorie, ce n'est rien d'autre que dire ca dans le langagae catégoriel, ni plus, ni moins (et sous cette forme c'est generalisable!)

Il y a une erreur ici. Je vais parler des faisceaux d'anneaux (mais on peut remplacer "anneau" par une autre structure). Donner un préfaisceau d'anneaux sur un espace topologique , c'est associer à tout ouvert de un anneau de sorte qu'une inclusion induise un morphisme d'anneaux . En langage catégoriel, un préfaisceau est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de dans la catégorie des anneaux.

Pour que soit un faisceau, il faut en plus que satisfasse à une propriété de recollement similaire à la propriété que deux fonctions continues sur deux ouverts qui coïncident sur l'intersection de leurs domaines se recollent en une fonction continue sur l'union des domaines. Dire cela, en langage catégoriel, c'est dire que est, en plus, l'égalisateur de deux morphismes particuliers dans la catégorie des anneaux. Là, ça devient soudainement moins visuel... Il y a encore une autre façon équivalente de définir un faisceau, encore moins visuelle, qui utilise la notion de crible.

[arrial]

J'en ai un peu parlé a un matheux qui m'a dit, que le langage fonctoriel étais le langage naturel de la géométrie et que tout le monde l'utilisait

Ce n'était pas au début du mois ?

Parce que je n'en ai jamais entendu parler.

Et je doute que ce serait le cas si c'était si fondamental …

@+

[invitef591ed4b]

Pour enchaîner avec mon message précédent...

Mais j'ai toujours pas compris ce qu'etait un faisceau, et en quoi est important, sniff.

Je ne donnerai qu'un exemple concret parmi tant d'autres de l'utilité des faisceaux : ils permettent de généraliser la notion de variété (topologique ou autre) sans perdre des informations au passage.

Historiquement, il y avait une scission entre les techniques de la géométrie et celles de l'algèbre, notamment parce que les variétés géométriques usuelles sont séparées, alors que les variétés algébriques (munies de la topologie de Zariski) ne le sont pas.

La notion de faisceau permet de remplacer l'étude d'une variété M (géométrique ou algébrique, séparée ou pas !) par l'étude de la catégorie des faisceaux sur M, notée Faisc(M). (D'ailleurs, Faisc(M) est un topos...)

On peut démontrer trois résultats :

• L'ensemble des points de M est isomorphe à l'ensemble des morphismes de Ens vers Faisc(M), où Ens est la catégorie des ensembles.
• L'ensemble des ouverts de M est isomorphe à l'ensemble des sous-faisceaux d'un faisceau remarquable sur M (le "faisceau terminal").
• Les morphismes entre deux variétés M et N sont isomorphes aux morphismes entre Faisc(M) et Faisc(N).

On a développé toute une théorie de l'homologie (en fait, de la cohomologie) de faisceaux qui a permis d'étendre les techniques (co)homologiques pré-catégorielles à des espaces supplémentaires (comme les variétés algébriques). Étant donné l'utilité de l'homologie en général, on peut voir dans quelle mesure les faisceaux sont intéressants.

je t'assure que je côtoie des mathématiciens tous les jours et que parmi une vingtaine deux seulement utilisent les catégories... ça dépend donc complètement des domaines...

C'est clair que l'usage des catégories en physique est plutôt marginal pour l'instant. Christopher Isham et John Baez sont deux physiciens mathématiciens notables qui se consacrent à l'application des catégories à la physique, mais je n'ai jamais regardé leurs travaux.

Cela dit, la théorie des catégories a 50 ans à peine, quoi... On n'en est qu'à la troisième génération de catégoriciens en Europe, sachant que les premiers étaient les fondateurs donc se comptaient sur les doigts de la main...

[invitef591ed4b]

Je cite encore une application des faisceaux qui peut être intéressante au vu des messages précédents :

La notion de faisceau permet de systématiser l'idée que pour étudier les propriétés essentielles d'une variété, on il suffit d'étudier les propriétés des fonctions sur cette variété. Cela mène à la notion d'"espace annelé" (qui est un espace topologique muni d'un faisceau dit "structural"), et qui généralise les variétés topologiques, différentiables, analytiques réelles ou complexes, schémas, surfaces de Riemann, etc. Notons que cette généralisation n'est pas que pour le plaisir : elle ouvre la porte à des techniques auparavant indisponibles.

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que la modération ferait mieux de déplacer cette discussion dans le forum de mathématiques.
Elle n'a pas sa place dans le forum de physique.
Au revoir.

[stefjm]

Vu le titre, les mathématiciens vont répondre que les physiciens font bien ce qu'ils veulent des mathématiques...