Quelle utilité en physique?

[invite39876]

Bonjour,
Lors de mes pérégrinations mathématiques, dans le but de faire de la physique mathématique, je fais actuellement beaucoup de maths (du moins j'essaie), or dans mes cours de géométrie on parle sans arrêt de "Foncteurs", foncteurs par ci, foncteurs pas la.
J'en ai un peu parlé a un matheux qui m'a dit, que le langage fonctoriel étais le langage naturel de la géométrie et que tout le monde l'utilisait, il m'a aussi un peu brieffé sur la théorie sous jascente.
Ma question donc, a ton trouvé en physique des utilités a ce langage fonctoriel? Quel est son utilité? Qu'apporte t il? Les physiciens sont eux aussi convertis a ce langage fonctoriel (parce que dans mes cours normaux de physique, j'en avais jamais entendu parlé)?
Merci!
Julia.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je n'avais jamais entendu parler.
Peut-être que des physiciens les utilisent, comme ils utilisent beaucoup de concepts mathématiques. Mais il est à se demander si ce qu'ils font, en fin des comptes, est-ce de la physique ou des maths?
Au revoir.

[invite39876]

Bonjour.
Je n'avais jamais entendu parler.
Peut-être que des physiciens les utilisent, comme ils utilisent beaucoup de concepts mathématiques. Mais il est à se demander si ce qu'ils font, en fin des comptes, est-ce de la physique ou des maths?
Au revoir.

Donc ca n'a aucun role en physique?
En fait a ce que j'ai cru comprendre, beaucoup de concepts en géométrie ne peuvent se comprendre ou meme s'exprimer que comme des foncteurs (on m'a donné par exemple l'exemple de la cohomologie)

[invite6754323456711]

Ma question donc, a ton trouvé en physique des utilités a ce langage fonctoriel? Quel est son utilité? Qu'apporte t il?

Cela peut être utile, me semble t-il, si certains problèmes physiques complexes peuvent être exprimer par ces concepts mathématique afin d'être résolus plus facilement.

Je n'ai pas connaissance si tel est le cas. Peut être dans la catégorie des groupes beaucoup utilisée en physique ?


Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

Cela peut être utile, me semble t-il, si certains problèmes physiques complexes peuvent être exprimer par ces concepts mathématique afin d'être résolus plus facilement.

Je n'ai pas connaissance si tel est le cas. Peut être dans la catégorie des groupes beaucoup utilisée en physique ?


Patrick

En fait je ne sais pas si il y a du sens derrière ce truc, ou si c'est juste une manière qu'ont les mathématiciens de "snobber".
Par exemple, j'ai entendu parler de la notion de faisceau, qui m a ton dit, est vraiment cruciale, du coup, j'ai demande a mon prof, voila sa réponse.
Un prefaisceau c'est un foncteur contravariant de la catégorie ouverts et inclusion dans une catégorie quelconque (usuellement anneaux, groupes...).
Apparement cela me fait penser que ca a du sens! Mais pour moi, ca me passe completement au dessus de la tete ce truc! Je suis un peu désapointé du coup, les physiciens ont besoin de ce genre de trucs (mon but c'est a terme de faire de la physique quand meme, mais de la phy mathématiques, et j'ai l'impression que connaitre bien les maths est un gros atout, donc je m'efforce de percer leur langage sybyllin ^^) comment comprendre physiquement ce que c'est alors?

[invite6754323456711]

En fait je ne sais pas si il y a du sens derrière ce truc, ou si c'est juste une manière qu'ont les mathématiciens de "snobber".

C'est partir sur de mauvaise base. L'objectif est d'utiliser les concepts les plus primitif pour exprimer nos penser afin de représenter le plus simplement possible les propriétés physiques. La physique a été dans bien des cas la source de ces concepts primitif mathématiques.

C'est donc tout le contraire du "snobbisme" et de l'a priori. La science ne peut se baser sur des tabous si elle veut progresser.

Patrick

[invite251213]

L'objectif est d'utiliser les concepts les plus primitif pour exprimer nos penser afin de représenter le plus simplement possible les propriétés physiques.

Concepts primitifs ? Simple ?

Quand je vois des phrases du style :

Un prefaisceau c'est un foncteur contravariant de la catégorie ouverts et inclusion dans une catégorie quelconque (usuellement anneaux, groupes...).

Pas sur qu'on gagne en simplicité. En abstraction peut-être, mais on perd beaucoup en sens physique.

A mon avis (qui vaut ce qu'il vaut), des concepts comme des foncteurs ou des trucs du genre, c'est tellement abstrait que ca n'a plus aucun sens physique, et que c'est donc inutilisable par le physicien.

A la rigueur, je pense que ca pourrait servir comme outil de calcul, mais vu que ces foncteurs ont l'air d'être des trucs ensemblistes, faut pas trop espérer.

[invite6754323456711]

Concepts primitifs ? Simple ? En abstraction peut-être

Il faut un temps d'appropriation pour que l'abstrait devienne concret. Le discours des nouvelles théories physiques font me semble t-il déjà grand usage des abstractions mathématiques.

Patrick

[invitea29d1598]

salut

y'a quelques personnes dans le domaine de la gravitation quantique (autant niveau corde que autres approches) qui utilisent la théorie des catégories pour soulever des "dualités" et faire d'autres chose pas très claires (en tous cas à mes yeux )... sinon j'ai entendu dire que ça avait quelques applications en "informatique quantique" (je sais même pas si c'est vrai)...

en clair : c'est au mieux d'utilisation ultra minoritaire et la majorité des physiciens qui bossent en gravité quantique (par exemple) connaissent rien aux catégories et s'en fichent complètement...

même parmi les mathématiciens en fait, pas mal trouvent que c'est du snobisme et n'ont jamais pris le temps de creuser le sujet... selon certains avec qui je discutais récemment, la théorie des catégories est un truc qui était à la mode autrefois mais n'a jamais permis de véritable révolution mathématique et est retombé... reste que parmi les mathématiciens, on trouve toujours des gens qui prennent ça très au sérieux...

du point de vue d'un physicien théoricien, je dirais qu'il y a deux réponses possibles :

- soit ça va faire comme la théorie des groupes qui au départ était abstraite et incomprise et inutile mais qui finalement s'est révélée cruciale

- soit ça va jamais prendre et ça va rester anectodique comme actuellement...

mais bon, l'un comme l'autre peut prendre du temps...

[invite251213]

Il faut un temps d'appropriation pour que l'abstrait devienne concret. Le discours des nouvelles théories physiques font me semble t-il déjà grand usage des abstractions mathématiques.

Patrick

Les anciennes théories utilisaient aussi un formalisme abstrait, mais elles le faisaient sous contrôle d'un "sens physique" rendant le tout plus compréhensible. On ne se contentait pas seulement du formalisme autrefois, et même le formalisme pouvait être interprété sous la forme de concepts et d'idées physiques.

Tous les concepts mathématiques se se prêtent pas à l'interprétation physique. Pour les foncteurs, ca me semble être le cas. Autant dire que pour utiliser ca en physique. OK, ca peut peut être devenir un outil de calcul capable de décrire beaucoup de choses, mais de quelle façon...

J'ai un peu l'impression que ce qui est purement ensembliste est assez rarement utilisable en physique. A part les groupes et les variétés, espaces vectoriels...Mais dans ces cas, on pourrait très bien oublier la théorie des ensembles sans que ce soit problématique. La théorie des ensembles me semble un peu passée sous le tapis dans ce cas là.

Enfin bref...

[invite39876]

Pas sur qu'on gagne en simplicité. En abstraction peut-être, mais on perd beaucoup en sens physique.

A mon avis (qui vaut ce qu'il vaut), des concepts comme des foncteurs ou des trucs du genre, c'est tellement abstrait que ca n'a plus aucun sens physique, et que c'est donc inutilisable par le physicien.

A la rigueur, je pense que ca pourrait servir comme outil de calcul, mais vu que ces foncteurs ont l'air d'être des trucs ensemblistes, faut pas trop espérer.

Justement le truc, c'est que les faisceaux a ce que j'ai entendu ca a enormément de sens geométrique, et c'est vraiment tres important, enfin a ce qu'on m'en a dit, et que ca avait vraiment une importance enorme en géométrie. Donc c'est pas pure abstraction, le but c'est de faire de la géométrie avec!

[invite39876]

même parmi les mathématiciens en fait, pas mal trouvent que c'est du snobisme et n'ont jamais pris le temps de creuser le sujet... selon certains avec qui je discutais récemment, la théorie des catégories est un truc qui était à la mode autrefois mais n'a jamais permis de véritable révolution mathématique et est retombé... reste que parmi les mathématiciens, on trouve toujours des gens qui prennent ça très au sérieux...

Ca par contre ca m'etonne beuacoup. Tous les mathématiciens que j'ai croisé m'ont dit, que la théorie des catgéories et surtout le langage qu'elle a produit a revolutionné la géométrie (surtout algébrique si j'ai bien compris) et qu'elle est aujourd'hui au coeur des choses. Tout y est foncteur, et fonctoriel. C'en est vraiment le langage naturel.
Il n'y a qu'a voir mes cours pour s'en convaincre ^^.

[invite6754323456711]

du point de vue d'un physicien théoricien, je dirais qu'il y a deux réponses possibles :

- soit ça va faire comme la théorie des groupes qui au départ était abstraite et incomprise et inutile mais qui finalement s'est révélée cruciale

- soit ça va jamais prendre et ça va rester anectodique comme actuellement...

mais bon, l'un comme l'autre peut prendre du temps...

Je partage cette vision et moins l'a priori sur le couplé du "snobisme". Ce n'est qu'après avoir défricher une piste que l'on peut avoir un regard critique lié au retour d'expérience me semble t-il.

Patrick

[invitea29d1598]

y'a quelques personnes dans le domaine de la gravitation quantique (autant niveau corde que autres approches)

un exemple : ici

mais c'est clairement de la "physique mathématique" assez mathématique

[invite6754323456711]

Bonjour,

Si on fait l'analogie avec les groupes

Pour comprendre un groupe il faut le voir agir ce qui a induit les notions d'action de groupe, de représentation de groupe ou il est question de morphisme et qui sont devenues importantes en physique.

Le foncteur associe les objets de la catégorie A aux objets de la catégorie B, les morphismes de la catégorie A aux morphismes de la catégorie B et conserve les règles d’agencement des catégories, identité et composition des morphismes.

Les diagrammes (Richard Feynman) et catégories. Cela ne semble pas encore très solide, mais la piste me semble t-il mérite d'être approfondie

http://tel.archives-ouvertes.fr/docs...F/These-FJ.pdf
http://www.lpm.u-nancy.fr/webperso/c...lloque-Mars09/


Patrick

[invite39876]

Je partage cette vision et moins l'a priori sur le couplé du "snobisme". Ce n'est qu'après avoir défricher une piste que l'on peut avoir un regard critique lié au retour d'expérience me semble t-il.

Patrick

Quand je disais snobbisme, je voulais dire, une maniere compliquée de dire des choses simples.
Apres je n'ai pas du tout la meme impression que Rincevent pour la communauté mathématique, que je frequente pas mal en ce moment, tous des qu'ils me parlent de qqch, parlent de foncteur et tutti quanti. J'ai quand meme l'impression qu'ils ont tous fait leur ce "langage", ce qui me semble confirmé par ce que m'en disent mes profs (j'ai meme entendu dire, que pour un mathématicien actuel, une bonne notion d'espace plus moderne, c'etait justement une catégorie, ou un type de catégorie, un "topo" je crois)

[invite39876]

Mais j'ai toujours pas compris ce qu'etait un faisceau, et en quoi est important, sniff.

[invitea29d1598]

Apres je n'ai pas du tout la meme impression que Rincevent pour la communauté mathématique, que je frequente pas mal en ce moment, tous des qu'ils me parlent de qqch, parlent de foncteur et tutti quanti. J'ai quand meme l'impression qu'ils ont tous fait leur ce "langage", ce qui me semble confirmé par ce que m'en disent mes profs (j'ai meme entendu dire, que pour un mathématicien actuel, une bonne notion d'espace plus moderne, c'etait justement une catégorie, ou un type de catégorie, un "topo" je crois)

je t'assure que je côtoie des mathématiciens tous les jours et que parmi une vingtaine deux seulement utilisent les catégories... ça dépend donc complètement des domaines...

[invite39876]

je t'assure que je côtoie des mathématiciens tous les jours et que parmi une vingtaine deux seulement utilisent les catégories... ça dépend donc complètement des domaines...

Tu veux dire que si on leut parle de Foncteur, comme moi ils ouvrent des yeux tout ronds!

[invite39876]

Et du coup, un faisceau ca te parle?

[invitea29d1598]

Tu veux dire que si on leut parle de Foncteur, comme moi ils ouvrent des yeux tout ronds!

pas à ce point là quand même ( ), mais c'est pas un truc qu'ils emploient tous les jours...

[invitea29d1598]

Et du coup, un faisceau ca te parle?

pas en physique et pour les maths, je ne me risquerais pas à raconter le peu que j'ai compris de peur de dire trop de trucs inexacts

[invite6754323456711]

Quand je disais snobbisme, je voulais dire, une maniere compliquée de dire des choses simples.

Révéler des structures mathématiques sous-jacentes au processus de la compréhension des données empiriques est une démarche qui est loin d'être immédiate. Pourtant une fois qu’on a discerné une telle structure, on dispose aussitôt des théorèmes généraux relatifs aux structures identifiés.

Par exemple les groupes
- U3 est le groupe des racines cubiques de l'unité (*, 1, j, j²) (où j est une racine cubique complexe de l'unité.
- {o, 1,σ,σ²} où σ est une rotation de 2π/3
- Z/3Z constitué des éléments {0,1,2} où le calcul se fait modulo 3
- ...

Sont isomorphes au groupe abstrait à 3 éléments (tous les groupes à trois éléments sont isomorphes au groupe abstrait) G{*, a, b, e}

L'abstraction de la notion de groupe offre un cadre théorique ou la syntaxe/forme fait sens (axiomatique, isomorphisme de groupe).

Les catégories semblent généraliser encore plus cette fusion de la syntaxe et de la sémantique pour faire émerger des formes abstraites premières qui font sens.

Patrick

[stefjm]

Sont isomorphes au groupe abstrait à 3 éléments (tous les groupes à trois éléments sont isomorphes au groupe abstrait) G{*, a, b, e}

L'abstraction de la notion de groupe offre un cadre théorique ou la syntaxe/forme fait sens (axiomatique, isomorphisme de groupe).

Les catégories semblent généraliser encore plus cette fusion de la syntaxe et de la sémantique pour faire émerger des formes abstraites premières qui font sens.

Quand je lis cela, j'ai envi de dériver la classe abstraite, implémenter ses méthodes virtuelles, puis instancier les objets de cette classe dérivée pour jouer avec.

C'est facile à comprendre pour un informaticien la théorie des catégories?

[stefjm]

Par exemple les groupes
- U3 est le groupe des racines cubiques de l'unité (*, 1, j, j²) (où j est une racine cubique complexe de l'unité.
- {o, 1,σ,σ²} où σ est une rotation de 2π/3
- Z/3Z constitué des éléments {0,1,2} où le calcul se fait modulo 3
- ...

Souvenir...
http://forums.futura-sciences.com/sc...que-3-0-a.html

[invite6754323456711]

C'est facile à comprendre pour un informaticien la théorie des catégories?

La découverte de nouveaux concepts abstraits n'est facile pour personne. Maintenant ce langage semble plus facilement se prêter au domaine de l'informatique (fonctionnel/lambda-calcul, programmation) qu'au domaine de la physique et donc on trouve des exemples de mise en application permettant de le démystifier.

Patrick
PS
http://canoe.ens.fr/~rodin/spip/spip.php?rubrique5

[invite6754323456711]

Bonjour,

Un autre regard qui m'apparaît instructif sur les Morphismes et catégories

Patrick

[invite39876]

Bonjour,
j'ai envoyé un mail a un ami mathématicien (enfin en doctorat) pour lui parler de tout ca, et pour lui demander ce qu'etait physiquement un faisceau.
Si ca vous interesse voici sa réponse.

Effectivement la théorie des catégories a pénétré absolument toute la géométrie, et je ne connais pas trop de gens qui ne l'"utilise" pas (les probabilites peut etre, ou les EDP-istes).

Cela dit quand je dis utiliser la théorie, c'est un peu... bizarre, parce que la théorie des catégories proprement dite n'est pas une théorie, mais plutot un langage, et il s'avère que c'est actuellement le langage de la géométrie. Mais ce n'est pas une théorie proprement dite, un peu comme la théorie des ensembles, dans le sens, on y prouver quasiment aucun théorème, a part le lemme de Yoneda, c'est que des trivialités (meme le lemme de Yoneda est une trivialité de toute façon). Par contre les concepts mis en lumière ont investi toute la géométrie, limite projective, produit fibré, foncteur représentable, tout cela est devenu une manière naturelle de parler des choses, qui elles ont un grand sens géométrique.

Il est vrai aussi qu'aussi a partir d'un certain niveau, on ne peut exprimer les concepts qu'en terme de catégorie (catégories dérivées, homologie des Faisceau, motifs...) mais encore une fois, c'est juste un langage, un peu comme en théorie des ensembles on peut etablir des choses tres generales, mais on ne peut aller tres loin, et ca permet juste de défnir des trucs, ou de parler. Par exemple la tige d'un faisceau est une limite inductive, mais si on veut démontrer des trucs non triviaux sur les tiges disons de variété analytique, ben faut faire de la géométrie pas de la théorie des catégories. Mais par contre la définition de ce truc est catégorique. De meme pour l'homologie, et l'agèbre homologique en genral, ce sont des considerations categoricielle, mais ensuite on se sert de tout ce yoga general dans des cas géométriques ou la il y a des choses a démontrer.

Mais globalement aujourd'hui il est vrai que l'on cherche quasi tout le temps a construire de belles catégories plutot que de beaux objets, parce que ca rend les choses plus efficaces.

En ce qui concerne un faisceau, c'est au contraire je trouve tres concret comme notion.
Qu'est ce que c'est "physiquement" un faisceau? Ben voila comment je vois les choses (géométriquement pas physicquement, mais bon ca t'aidera j'espere). Si tu prends un espace topologique, au dessus de tout ouvert, tu as un anneau de fonction de U dans R, et si tu as V inclus dans U, tu as un morphisme de C(U,R) dans C(V,R), qui est un morphisme d'anneau. Ben un faisceau c'est une généralisation de ca, tu prends un espace topologique et au dessus de chaque ouvert tu as un anneau de "fonctions" mais ce ne sont pas forcement des vrai fonctions, mais en tout cas tu peux les "restreindre" a un ouvert plus petit grace a un morphisme d'anneau qui va de l'anneau au dessus de U a celui au dessus de V. Bon en toute rigueur ca c'est un prefaisceau.

Pour avoir un faisceau, il faut rajouter des conditions de recollement naturelles. Apres oui dire que un faisceau est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts et inclusions dans une catégorie, ce n'est rien d'autre que dire ca dans le langagae catégoriel, ni plus, ni moins (et sous cette forme c'est generalisable!)

Voila, j'espere t'avoir eclaire.

[invite6754323456711]

Si ca vous interesse voici sa réponse.

Cela traduit que mieux comprendre ne signifie pas tant "savoir davantage " que "comprendre autrement". Comme l'a écrit Heisenberg :

<< Néanmoins il faut tout de même se rendre compte que, avec l'évolution historique, la structure de la pensée humaine change également. Le progrès de la science ne s'accomplit pas seulement en ce sens que nous apprenons à connaître et à comprendre des faits nouveaux, mais également en ce sens que nous réapprenons sans cesse ce que signifie le mot " comprendre " . >>

Le slogan principal des catégories semble être de pousser au second plan les objets et de mettre au premier plan les morphismes entre objets. Ce qui de plus s'applique aux catégories elles-mêmes avec la notion de foncteur.


Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

http://www.diffusion.ens.fr/vip/pageA01.html

Ce sont les interactions entre particules élémentaires qui entraînent la formation des objets qui nous entourent. L'histoire de la découverte des particules élémentaires est intimement liée à celle de leurs interactions.

N'est-ce pas déjà un langage catégoriel ?

On cherche comprendre les objets d'une catégorie par les relations/morphismes qu'ils onts entre eux.

Cela ne peut-il aider à identifier de nouveaux invariants ?

Patrick
Si on fait une analogie avec l'informatique, le polymorphisme de type à variables libres semble être traduit en terme de transformation naturelle des catégories.