Mécanique newtonienne: ellipse

[invite3eed6d27]

Voilà, j'ai un exercice à faire en physique, mais je n'ai pas de pistes sérieuses me permettant d'avancer. Je poste l'énoncé en entier pour avoir une idée de l'exercice:

Les premières photos de la face cachée de la Lune ont été réalisées en 1959 par la sonde soviétique Luna3. Celle-ci décrivait autour de l'ensemble Terre-lune une orbite elliptique très allongée telle qu'à l'apogée le satellite passait derrière la Lune à quelques dizaines de km de la surface, le périgée étant situé à basse altitude au voisinage de la Terre. On s'intéresse ici aux caractéristiques possibles de cette trajectoire. On admettre que l'action de la Lune sur la sonde reste négligeable tout au long de son orbite dans le réferentiel géocentrique. L'orbite de la Lune autour de la Terre est supposé circulaire de rayon d(TL) (on rappelle la valeur numérique de d(TL) qui vaut environ 380 10^3 km) et de période sidérale T((L) égale à 27.5 jours.

1. En utilisant la troisième loi de Kepler, exprimer la période T de l'orbite de la sonde en fonction de T(L), puis la durée du voyage depuis le point de lancement au périgée jusqu'à l'apogée? Faire l'application numérique.
2. Le point de lancement au périgée est supposé situé à une altitude h de 400 Km au dessus de la surface terrestre, et on note R(T), le rayon terresttre (environ 6400 km). Exprimer littéralement en fonction de d(TL), R(T) et h les caractéristiques de l'orbite de la sonde (on néglige ici les dimensions de la Lune)
3. Déterminer, littéralement puis numériquement les vitesses de la sonde au point de lancement puis à l'apogée de son orbite. On comparera en particulier la vitesse au périgée avec celle qui conduirait à une orbite parabolique.
4. Sachant que le diamètre lunaire est vu depuis la Terre sous un angle de 0.5 degré en déduire la durée approximative du survol par la sonde de la face cachée de la Lune.

Voilà! En fait à la première question je me suis dis que comme il est stipulé que le périgée est au voisinage de la Terre et que l'apogée est au voisinage de la Lune (qq dizaine de km de la Lune par rapport à la distance Terre-Lune qui est de 380 000 km), alors on peut considérer que le grand axe est assimilable à la distance d(TL).

Cependant à la deuxième question on constate que la distance Terre-Ph (périhélie) est R(T)+h= 6400 + 400 = 6800 km. Alors on peut pas négliger cette distance à la première question pour finalement la prendre en compte la question d'après, ce qui m'amène à penser que ma réponse à la première question est fausse. Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer parce que ca fait 1h que je suis dessus et j'ai re-parcouru tout mon cours et je n'y arrive pas.

Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

Tu sais, vu la violence de l'approximation consistant à négliger l'attraction lunaire quand on passe en rase-mottes, on n'est plus à 6000 km près !

[invite3eed6d27]

D'accord. Mais je ne vois pas alors pourquoi je dois utiliser la période sidérale de la Lune pour calculer la période. Il suffirait que j'utilise la formule newtonienne de la loi de Képler et que je remplace le demi grand-axe a pour la moitié de la distance Terre-Lune, nan?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Dans votre question précédente je vous avais dit que vous aviez probablement mal interprété l'énoncé. Malheureusement ce ne semble pas être le cas. C'est la personne qui a rédigé le sujet qui n'est pas au courant ni de la trajectoire de Luna 3 (qui est très bien expliquée dans wikipedia) ni des lois de Newton. Il n'est pas au courant non plus que les lois de Kepler ne sont pas applicables à la lune mais uniquement aux planètes qui tournent autour d'un corps (le soleil) beaucoup plus massif.
La trajectoire de Luna 3 n'était pas elliptique et elle ne rasait pas la lune, comme je vous l'ai déjà dit dans votre message précédent.
En lisant l'énoncé, j'ai l'impression que l'on veut que vous utilisiez la valeur de T(L) de la lune pour la sonde, ce qui me parait absurde.
Désolé, mais vraiment je ne sais pas quoi vous conseiller.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Dans votre question précédente je vous avais dit que vous aviez probablement mal interprété l'énoncé...

Re.
Désolé, ce n'était pas vous mais ElayOr, qui a exactement le même problème à résoudre:
http://forums.futura-sciences.com/ph...e-ellipse.html
A+

[invite3eed6d27]

D'accord, ben pour le coup je sais pas quoi faire ! Faut que je bidouille quelque chose de cohérent tout de même. Je me vois dire à mon professeur que l'exercice est complétement stupide.

[invite3eed6d27]

Je me suis débrouillé pour la question 2, là encore avec l'unicité de la constante C. Mais je ne comprend pas à la question 3 comment et surtout pourquoi "comparer la vitesse au périgée avec celle qui conduirait à une orbite parabolique"

[invitea3eb043e]

Cet exo est vicieux car il mélange des approximations.
Pour la période, on peut utiliser la loi de Képler T²/a^3 en prenant pour a la demi-distance Terre-Lune.
Ca se simplifie si on sait que ce rapport T²/a^3 est le même pour la trajectoire de la Lune car il ne dépend que de la masse de la terre et de G. Pour la Lune, le a est le double, donc le T est celui de la sonde multiplié par 2 racine(2)
On ne peut calculer la vitesse au périgée sans connaître l'excentricité.
Mais on peut raisonner sur l'énergie totale au périgée et à l'apogée et en déduire un minimum pour la vitesse de lancement.
On peut aussi faire le même calcul en supposant l'apogée à l'infini, ce qui ne changera pas grand'chose (remplacer G Mm/dTL par zéro).

[invite3eed6d27]

Merci Jeanpaul, mais je n'ai toujours pas compris comment on pouvait calculer la vitesse au périgée et comment calculer la vitesse au point de lancement et à l'apogée! En fait j'ai plus compris à partir de "On peut calculer la vitesse au périgée...." :P J'ai le sentiment que c'est un truc bête qui me manque mais j'arrive pas à voir quoi, et j'ai le sentiment de me tromper même dans la compréhension de ce sujet ! C'est frustrant!

[invitea3eb043e]

Encore une fois, cet exo est mal fichu.
Mais tu peux calculer l'énergie cinétique + l'énergie potentielle au point bas et aussi au point haut. Tu dis qu'au point haut, l'énergie cinétique est positive, ça te donne l'énergie cinétique minimale en bas (ça ressemble à la vitesse de libération).
Maintenant, tu cherches à aller à l'infini avec une énergie cinétique quasi-nulle, ça te donne une vitesse minimale en bas (ça, c'est la vitesse de libération).
Il y a une légère différence entre ces 2 vitesses et c'est ça qu'on te demande.
Mais, encore une fois, l'approximation négligeant l'attraction lunaire est aberrante.

[invite3eed6d27]

Je n'ai mais alors pas du tout compris ton explication, c'est un chapitre neuf pour moi et on a pas fait bcp d'exo! Je ne comprend pas ce qu'est le point haut, le point bas, aller à l'infini ni pourquoi "l'énergie cinétique au point étant positive ca me donne l'énergie cinétique minimale".... enfin je suis complétement perdu !

[invitea3eb043e]

Là, je ne pige pas. Tu es censé connaître les lois de Newton, mais pas l'énergie cinétique ? Et l'énergie potentielle de gravité, qui intervient pourtant directement dans l'établissement de ces lois ?
C'est quoi, l'énergie cinétique d'un point ? Et l'énergie potentielle à la distance R=h du centre de la Terre ? Et l'énergie potentielle à la distance dTL ?

[invite3eed6d27]

Ben Ec= 1/2mV² et Ep= mgh ou mgd(TL), mais ca m'explique pas ce que signifie "point haut" et "point bas", ni ce que veut dire "aller à l'infini".... et surtout la fin de ton explication que je ne saisis pas.

Maintenant, tu cherches à aller à l'infini avec une énergie cinétique quasi-nulle, ça te donne une vitesse minimale en bas (ça, c'est la vitesse de libération).
Il y a une légère différence entre ces 2 vitesses et c'est ça qu'on te demande.
Mais, encore une fois, l'approximation négligeant l'attraction lunaire est aberrante.

Mais bon merci pour ton aide, si j'ai du retard au niveau de la maîtrise du cours, c'est à moi de le combler.

[invitea3eb043e]

Le point bas, c'est le périgée, le plus proche de la Terre. L'énergie cinétique au lancement, c'est 1/2 m vo², l'énergie potentielle c'est - G M m/(R+h) car la gravitation n'est pas constante. M la masse de la Terre, G la constante d'attraction.
Au voisinage de la Lune : Ep= - GMm/dTL et il faut qu'il reste un chouïa pour l'énergie cinétique, donc (conservation de l'énergie ) :
1/2 m vo² - G Mm/(R+h) > - GMm/dTL
Ca donne une vitesse minimale au lancement.
Si au contraire on avait voulu envoyer Luna très très loin, on prend dTL infini et il reste :
1/2/ m v1² - GMm/(R+h) >0
On voit bien qu'il faut une vitesse v1 plus grande que vo (pas beaucoup mais quand même)