Diracologie - Démonstration d'une identité de mélange des matrices gamma

[invite6cf01fcd]

Bonjour à tous!

Voici l'identité que j'essaye de démontrer depuis quelques jours, et je tourne en rond car je ne sais pas comment inclure le tenseur de Levi-Cevita d'ordre 4 dans le développement :



Pour info en utilisant la relation d'anti-commutation des matrice gamma j'obtiens bien les trois premiers termes avec un facteur 2 supplémentaire. Ensuite j'ai beau la triturée dans tout les sens je ne sais pas comment faire sortir explicitement le tenseur de Levi-Cevita d'ordre 4.

Encore merci pour votre aide.
Cognote.
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[invite58a61433]

Bonsoir,

Euh tu tiens vraiment à le démontrer ? C'est pour toi ou c'est un exercice ? Parce que bon je suis plus ou moins sur d'avoir trouver comment faire mais les calculs sont vraiment lourdingues. Bon il y a peut-être (j'espère) moins calculatoire mais honnêtement pour le faire il faut soit y être obligé soit être maso. Je te donne vite fait les idées.
Il faut partir de
Faire anticommuter le à travers les autres matrices gamma, tu devrais obtenir une somme de termes de types (un des indices est sommé). Et utiliser la formule (qui se démontre pas trop difficilement en considérant l'anti-symétrie par échange d'indice et la normalisation du symbole de Levi Civita). Et il te reste plus qu'à faire les sommations, bon il y a quand même 4 termes dans ce genre donc bon, puis à faire anticommuter les termes qui sont produit de trois matrices gamma pour ressortir la première partie de l'expression....

[invite6cf01fcd]

Merci pour ta réponse rapide Magnétar!

Eh bien non je ne suis pas obligé de la démontrer mais ce la prouve t-il pour autant que je suis maso? Je ne pense pas, ou alors juste sur le bord de mon intervalle de définition . D'après moi, tout calcul, aussi lourdingue soit-il, est formateur. On m'a demandé de démontrer certaines identités de mélange et de trace des matrices gammas et je n'ai pas eu particulièrement de réelle souci sur celle-ci. En cherchant un peut j'ai vu de nouvelles identités plus ou moins folklorique faisant intervenir le tenseur antisymétrique de Levi-Cevita et je me suis lancé tout simplement dans ce calcul juste par curiosité, et ainsi savoir du même coup comment sont relier ces deux grandeurs.

Je vais suivre ton cheminement.

Mais j'ai déjà une question qui me vient à l'esprit... d'où sors tu la première formule?

Je vais regarder cela cette après midi.

Encore merci pour la trame de la démonstration!

[invite6cf01fcd]

J'ai un terme qui me pose problème.

Après avoir utilisé l'anti-commutation des matrice gammas :



Je me retrouve avec 4 termes ou le symbole de Levi-cevita est sommé avec un autre sur l'indice : donc je vais pouvoir utiliser ta seconde identité. Le problème c'est que j'ai un cinquième terme dont je ne sais pas quoi faire. Une indication?



Vu que l'expression est lourde, pour simplifier on a :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58a61433]

Euh tu me permets de regarder ça demain parce que là je viens de rentrer de cours et je suis complètement crevé, comme hier j'ai fait le calcul de tête j'ai peut-être loupé un truc, pour moi le terme supplémentaire devait venir avec un moins donc j'ai peut-être loupé quelque chose en fait...
Pour la première égalité c'est juste la définition de (enfin l'une des deux définitions équivalentes...).
A bientôt.

PS :

Eh bien non je ne suis pas obligé de la démontrer mais ce la prouve t-il pour autant que je suis maso? Je ne pense pas, ou alors juste sur le bord de mon intervalle de définition .

Ah non, mais c'est bien d'être maso, surtout en physique on en a besoin tous les jours pour faire les calculs moches mais néanmoins nécessaires.

[invite6cf01fcd]

Je viens de lire ton message. Et une chose viens de me traverser l'esprit à vitesse d'une balle de revolver (ouille ça fait mal!). Techniquement je suis dans un en espace de Minkowski avec 4 matrices pour l'espace-temps, et une matrice lié à la chiralité .

Dans les expressions utilisées les matrices gammas suivantes d'après moi se réfèrent normalement au matrices de l'espace-temps et notre est en fait explicite tout du long. Au final au lieu d'avoir un avec n=4 sur la totalité des matrices à traverser. Sur 5 matrices gammas seule 4 sont différentes donc 3 permutations qui change le signe et une quatrième qui le conserve. J'ai bon? Si oui tu as bien un signe moins de sorti pour ce terme.

J'anticipe sur la suite si j'ai bon : Je peux les regrouper et j'ai une expression de la forme AB+BA avec A un groupement de 4 matrices gammas et B la matrice et la j'ai l'anticommutation qui me titille... le problème c'est que je ne vois pas comment je vais exprimer le tenseur métrique par la suite, ou tout du moins continuer le calcul...

P.S. : Je vois que tu es sur hambourg/paris et que tu fais ce genre de calcul de tête. Vu la sophistication je me demande si tu ne suis pas par hasard les cours du master NPAC? Simple curiosité.

Au plaisir d'avoir ton avis sur la suite du calcul.
D'avance merci.