Problème d'électromagnétisme

[gurdil63]

Bonjour,

Je coince sur un problème d'électromagnétisme qui doit être simple mais...

Voici l'énoncé :
Considérons un système composé de charges libres {qi } et liées{Qi }.Les deux ressentent la force de coulomb due à toutes les autres charges, cependant les charges liées ressentent aussi une force "mécanique" due aux autres charges liées. La force mécanique entre deux charges liées i et j dérive d'un potentiel
Uij (Ri − Rj ), où Ri et Rj sont les positions des charges liées.

(a) Supposons que les charges libres {qi } sont en {ri } et les charges liées {Qi } en {Ri }. Quelle est l'énergie électrostatique du problème ? L'énergie mécanique ?

(b) Quel est le travail nécessaire pour assembler toutes les charges libres ?

(c) Montrer que le travail calculé en b est égal à la somme des énergies calculées en a

(Indice: Imaginer que N − 1 charges libres ont déjà été amenées à leur position finale {ri }. Calculer le travail effectué pour amener la nième charge à sa position finale. Utiliser le fait que la position des charges liées dépend à tout instant de celle des charges libres, et que la somme des forces s'appliquant sur chaque charge liée est zéro.)


Bon alors voici ma tentative de résolution :
a) Energie électrostatique :


Energie mécanique


b) Travail pour la Nième charge (où r est la position de la particule N à tout instant)


Travail total


c) Bon alors maintenant... que faire ? Je me dis qu'on peut peut-être réaliser l'intégration de rN à l'infini pour le travail de la nième particule ? Ou pas...
Écrivons déjà que la somme des forces sur une charge liée est nulle :


Ça nous permet de dire que :


On peut alors remplacer cela dans l'expression de WN :



Mais ensuite, que faire ? Comment intégrer ?
Je suis coincé là et n'arrive pas à faire le lien avec la question a.
Est-ce que je m'y prend mal ? Est-ce que je me suis trompé dans les questions a/b ?

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance ?
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[LPFR]

Bonjour.
Il me semble que l'expression que les forces sur les charges liées est nulle doit être vectorielle et non scalaire. Les trois composantes de la force sont nulles.

De toute façon vous ne pouvez pas intégrer une expression de ce type. Vous ne pouvez pas aller au delà de l'écriture de l'intégrale.
Au revoir.

[gurdil63]

Ne pourrait-on pas intégrer au préalable ?




Pour la somme des forces, ça me parait tout à fait juste comme remarque ! On aurait donc :



Mais du coup je vois encore moins comment résoudre le schmilblik...

[gurdil63]

Entre temps, je me demande si on ne peut pas s'aider de l'expression intégrale de l'énergie électrostatique :



Mais ça ne me mène toujours pas au résultat...

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Attention, si j'a bien compris, vous considérez que l'énergie mécanique de votre système est l'énergie potentielle d'interaction non électrostatique entre les charges fixes ?
Si c'est cela, ça ne vous pose pas problème ? (ou alors nous n'avons pas la même définition de l'énergie mécanique)

Bonne journée.

[gurdil63]

Attention, si j'a bien compris, vous considérez que l'énergie mécanique de votre système est l'énergie potentielle d'interaction non électrostatique entre les charges fixes ?
Si c'est cela, ça ne vous pose pas problème ? (ou alors nous n'avons pas la même définition de l'énergie mécanique)

C'est bien ça, l'énergie "mécanique" (dérivant du potentiel Uij) est l'énergie non électrostatique entre les charges liées.
J'essaie de résoudre la question c), c'est à dire d'identifier le travail nécessaire pour amener toutes les charges libres depuis l'infini jusqu'à leurs positions à la somme de l'énergie électrostatique et de l'énergie "mécanique"

[albanxiii]

Re,

Alors il faudrait utiliser un autre terme. Vous êtes le seul à l'utiliser dans cette acception.

Je n'ai pas regardé le détail des calculs, mais je ne vois aucune difficulté à la question c), enfin, quand on a les bonnes définitions.

[LPFR]

Bonjour Albanxiii.
J'imagine que pour Gourdil63, les charges fixes sont tenues par des "ressorts". L'énergie mécanique est l'énergie élastique des ressorts.
J'imagine que c'est une modélisation un peu tarabiscotée d'un cristal.
Cordialement,

[gurdil63]

Alors il faudrait utiliser un autre terme. Vous êtes le seul à l'utiliser dans cette acception.

Je n'ai pas regardé le détail des calculs, mais je ne vois aucune difficulté à la question c), enfin, quand on a les bonnes définitions.

Je suis désolé d'employer ce terme... je ne fais que recopier mon énoncé.

On peut en effet imaginer que c'est un cristal. Ou pourquoi pas un atome, avec des protons "liés" et des électrons qui seraient les charges "libres".
Quoi qu'il en soit, je ne vois toujours pas comment résoudre (par le calcul) la question c.

Avez-vous des pistes ?

[gurdil63]

Bon j'ai mis tout ça au propre, et en réécrivant clairement que les positions des charges liées sont des fonctions de la position des charges libres.

Ça donne le document pdf ci-joint... mais je ne me dirige toujours pas vers une réponse
En particulier, l'intégration que je fais à la fin me parait fausse.
Bref, je suis toujours coincé !

[LPFR]

Bonjour.
Quand vous intégrez vous considérez les r_i et le R_i comme constants. Alors que leur position dépend de la position de la charge que vous ramenez (et de celle de toutes les autres).
Je ne pense pas que cela soit correct.
Au revoir.