Tenseur d'inertie

[zaskzask]

Bonsoir,

Je ne comprend pas très bien la notion de tenseur d'inertie.

(i)Dans quel cas n'a t'on pas Lc=I1*w

Lc: projection du moment cinétique sur l'axe qui porte w
I1: mement d'inertie par rapport
w:vitesse angulaire du solide indéformable

(ii)En général, comment savoir si on a juste un moment d'inertie ou un tenseur d'inertie (ensuite, quand est ce que le tenseur est diagonale ou pas?)

(iii) Que signifient les termes en dehors de la diagonales?

En fait je suis un peu (pour pas dire totalement) embrouillé.

Merci d'avance.
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[Amanuensis]

(i)Dans quel cas n'a t'on pas Lc=I1*w

(Je considère l'équation comme entre vecteurs. Si on parle de projection, on peut dire que par définition l'égalité est toujours vérifiée, car elle définit la notion de "moment d'inertie".)

Entre vecteurs, l'équation est vérifiée seulement quand l'axe de rotation n'est pas un axe principal du tenseur.

Dans le cas général, le tenseur a trois axes principaux, orthogonaux deux à deux.

(ii)En général, comment savoir si on a juste un moment d'inertie ou un tenseur d'inertie

Pareil. On parlera de moment d'inertie sans danger quand la rotation est contrainte à un axe principal. La notion de tenseur d'inertie est générale, elle s'applique à tous les cas d'axe de rotation.

(ensuite, quand est ce que le tenseur est diagonale ou pas?)

Le tenseur est toujours représenté par une matrice diagonale dans une base orthogonale dont les vecteurs sont colinéaires à des axes principaux. Ce qui fait que le tenseur est représenté par une matrice diagonale est le choix de la base, pas une propriété du tenseur.

(iii) Que signifient les termes en dehors de la diagonales?

Qu'on a choisi une base autre qu'avec des vecteurs colinéaires à des axes principaux!

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Ce qui rend les tenseurs d'inertie différents sont les valeurs des moments d'inertie principaux. Il peut y en avoir trois différents, deux identiques un différent, et trois identiques.

- Trois identiques : c'est le cas d'un solide de symétrie sphérique. Dans ce cas tous les axes sont principaux, il y a un seul moment d'inertie, et la matrice est diagonale dans toute base.

- Deux identiques et un différent : c'est le cas d'un solide de symétrie cylindrique, il y a un axe principal isolé et toutes les directions perpendiculaires à cet axe sont principales. C'est le cas usuel dans les machines tournantes ou les toupies qu'on fait tourner selon l'axe principal correspond à la valeur isolée de moment d'inertie. Ou de la Terre en première approximation (l'axe isolé est l'axe des pôles).

- Trois valeurs différentes : le cas général, compliqué. Il n'y a que trois axes principaux, tous isolés.

Un cas intéressant est celui d'un solide qui est presque de symétrie cylindrique et qu'on fait tourner autour du "presque" axe du cylindre, qui est très proche mais différent de l'axe principal du tenseur d'inertie. C'est le cas d'une machine tournante "mal équilibrée". Un exemple est celui d'une roue de voiture avant équilibrage (l'ajout de petites masses sur la jante). Si on prend une base telle que l'axe de rotation soit un des vecteurs, on voit apparaître des termes non diagonaux. Ils représentent dans ce cas le déséquilibre, qui se traduit par un couple sur les paliers, sur ce qui force à tourner selon un axe autre qu'un axe principal, d'où usure, vibrations, etc. Quand on équilibre une roue (par exemple), on cherche à modifier le tenseur d'inertie par l'ajout de petites masses de manière à faire coïncider l'axe de rotation avec un axe principal du tenseur d'inertie.

[zaskzask]

Donc, si je résume (corrige moi si je t'ai mal compris)
On peut toujours s'arranger pour avoir un tenseur d'inertie diagonal

Ici, si on projete w sur Y1 on aura Lc1=I1*w1 alors que si on projete Lc sur x3 on aura pas Lc3=I*w3 c'est ça?

[Amanuensis]

Donc, si je résume (corrige moi si je t'ai mal compris)
On peut toujours s'arranger pour avoir un tenseur d'inertie diagonal

On peut toujours s'arranger pour trouver une base telle que dans cette base la matrice du tenseur d'inertie soit diagonale. (Il est important de distinguer le tenseur d'inertie, une propriété physique du solide, et la matrice le représentant, qui dépend à la fois du solide et de la base choisie.)

Pièce jointe 174468
Ici, si on projete w sur Y1 on aura Lc1=I1*w1 alors que si on projete Lc sur x3 on aura pas Lc3=I*w3 c'est ça?

Si on fait une projection, on aura toujours un "I" tel que proj(Lc) = I *proj(w). La valeur de "I" n'est pas unique dans le cas général, elle dépend des directions de l'axe, et peut prendre une infinité de valeurs différentes pour un même solide (dans le cas sans symétrie).

L'intérêt (et le sens physique) du tenseur d'inertie apparaît quand on regarde la relation entre vecteurs. Si l'axe de rotation est un axe principal d'inertie, on a , avec I le moment d'inertie pour l'axe principal en question. Mais si le solide a trois moments principaux distincts (comme par exemple un parallélépipède de densité uniforme dont les trois côtés sont de longueurs distinctes), L ne sera pas colinéaire à w si w n'est pas colinéaire à un axe principal, on aura

Le tenseur d'inertie indique comment calculer L à partir de w, non seulement le coefficient de proportionnalité pour la projection de L sur w, mais aussi pour calculer la non colinéarité. Si on prend une base telle que e1 est dans la direction de l'axe de rotation, le coefficient 00 de la matrice représentant le tenseur dans cette base indique le "I" pour la projection, et des coefficients non diagonaux indiquent que la projection de L sur le plan perpendiculaire à l'axe n'est pas nulle, c'est à dire l'ampleur de la non colinéarité.

Ou encore :

Si on on prend une base principale (e1, e2, e3) et (w1, w2, w3) les composantes de w dans cette base, alors on a . Si I1, I2 et I3 (les moments principaux) sont différents (cas général), il n'y a colinéarité entre L et w que si un seul des wi est non nul (par exemple si on a w2=w3=0).

Par exemple si le vecteur rotation est (2, 0.1, 0) dans la base principale, on peut dire que le solide tourne "en gros" autour de l'axe principal 1, mais aussi un peu autour de l'axe principal 2. Le moment cinétique aura une composante 2I1 dans la direction de l'axe 1, et une composante 0.1I2 dans la direction de l'axe 2, il y aura un "défaut de colinéarité" de 0.1(I2-I1) dans la direction de l'axe 2. (Ce terme apparaît comme un effet de termes non diagonaux si on représente le tenseur d'inertie dans une base où l'axe de rotation est une direction de la base.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaskzask]

Ok. Merci.

Mais les axes principaux d'inerties passent toujours par le centre de gravité alors, non?

Entre vecteurs, l'équation est vérifiée seulement quand l'axe de rotation n'est pas un axe principal du tenseur.

c'est pas le contraire??

[Amanuensis]

Mais les axes principaux d'inerties passent toujours par le centre de gravité alors, non?

Le tenseur sert aussi pour les axes ne passant pas par le centre de masse, mais c'est plus facile de visualiser les axes principaux comme ceux passant par le centre de masse et dans les directions principales d'inertie.

c'est pas le contraire??

Si. Désolé de l'erreur.