Chute verticale d'une bille

invite878527612 · 09/04/2012, 11h06

Bonjour,
J'ai une question concernant les chutes verticales, sans vitesse initiale, d'une bille métallique dans un fluide visqueux et dans l'air :
comment, dans chaque cas (chute dans un fluide visqueux et chute dans l'air), varie la vitesse lorsque la valeur du rayon (de la bille) est multipliée par deux ?
Merci d'avance.

**lucas.gautheron** · 09/04/2012, 11h54

Bonjour,
Je proposerait cette réponse :
Si l'on fait la somme des forces appliquées sur une bille de rayon r et de masse volumique $\text{[math]}$ chutant dans un fluide de masse volumique $\text{[math]}$ ,
on a :
$\text{[math]}$ (où P=mg est le poids de la bille, A la poussée d'archimède, et f=kv la force de frottements fluide)

Donc :
$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

(Equa diff linéaire de premier ordre : y' = ay+b)
On en déduit (v(0) = 0) :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

La vitesse limite est atteinte lorsque $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Avec r' = 2r :
$\text{[math]}$

> Note qu'ici j'ai appelé le coef de frottements fluide k' au lieu de k : on peut raisonnablement penser que k est fonction de r...
On pose par la suite $\text{[math]}$

En faisant le rapport des deux :
$\text{[math]}$

Donc pour répondre à ta question, il faudrait savoir si $\text{[math]}$ est proportionnel à r, ou au carré de r, ou je ne sais quoi encore...
Il me semble, (à vérifier !) que le coef est proportionnel à r.
Dans ce cas ( $\text{[math]}$ ) :
$\text{[math]}$

> En doublant le rayon de la bille (donc en multipliant par 8 son volume), on a quadruplé sa vitesse de chute (dans le fluide visqueux)

invite878527612 · 09/04/2012, 13h28

Merci de votre réponse. J'ai tout compris.

**albanxiii** · 09/04/2012, 18h18

Bonjour,

Bonjour lucas,

Envoyé par lucas.gautheron

> Note qu'ici j'ai appelé le coef de frottements fluide k' au lieu de k : on peut raisonnablement penser que k est fonction de r...

En effet, si la vitesse de la bille n'est pas trop grande, ce que l'on peut supposer vérifié ici (vitesse initiale nulle), ce $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ étant la viscosité du fluide (si un spécialiste de mécanique des fluides passe par ici, il pourra vous dire si c'est la viscosité cinématique ou dynamique).

Vous avez donc bien vu pour la proportionnalité

Bonne soirée.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**maxwellfiltre** · 09/04/2012, 18h41

bonjour,
ici $\text{[math]}$ , correspond à la viscosité dynamique.
bravo à lucas, belle démonstration !

**lucas.gautheron** · 09/04/2012, 19h10

Bonsoir,
merci pour ces précisions

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