Effet relativiste à la surface de la Terre

[Amanuensis]

Bonjour,

Si on met des horloges très précises à la surface de la Terre, on va constater des dérives relatives dues à leur altitude d'une part, et à leur vitesse relativement à un référentiel inertiel de l'autre.

L'influence de l'altitude est celle du potentiel. Et la vitesse est essentiellement v_r celle venant de la rotation (on va négliger pour le moment l'effet de la différence de distance au Soleil).

Mais il y a deux manières de voir le potentiel. Soit c'est celui de pesanteur, soit c'est le potentiel gravitationnel. La différence entre les deux est liée à l'accélération centrifuge. Celle-ci est -w²r, avec le vecteur amenant à l'axe perpendiculairement à celui-ci, et dérive donc d'un potentiel valant -w²r²/2, c'est à dire -v_r²/2.

J'en déduis qu'il doit être équivalent de :

1) Prendre le potentiel de pesanteur et ne pas faire la correction RR due à la vitesse v_r;

2) Prendre le potentiel de gravitation et faire en plus la correction RR due à la vitesse v_r.

Bel exemple d'application du principe d'équivalence.

Est-ce correct ?
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[Deedee81]

Salut,

Bel exemple d'application du principe d'équivalence.

Est-ce correct ?

Oui. Je le pense.

C'est amusant, mais Le-chat m'a communiqué un résultat (qu'il a déduit quantitativement) il y a seulement une bonne semaine par MP. La dilatation du temps gravitationnelle est identique à la dilatation RR due à la vitesse de chute libre (au moins au premier ordre car je me méfie de cette notion de "vitesse de chute par rapport à un objet lointain" dans le cas des champs très forts). C'est fort proche de ton exemple et moi aussi j'avais répondu que c'était un bon exemple pour illustrer le principe d'équivalence.

Coïncidence

[Amanuensis]

La dilatation du temps gravitationnelle est identique à la dilatation RR due à la vitesse de chute libre

Il me semble que c'est faux d'un facteur, c'est la vitesse de libération. (Mais je pense que c'était ce qui était "voulu", la vitesse de chute libre n'ayant aucun sens.)

[Deedee81]

Il me semble que c'est faux d'un facteur, c'est la vitesse de libération. (Mais je pense que c'était ce qui était "voulu", la vitesse de chute libre n'ayant aucun sens.)

Oui, pardon. Si un corps tombe de "très loin" ("à l'infini") avec une vitesse initiale nulle, sa vitesse de chute = la vitesse de libération. Mais j'aurais dû préciser.

[A voir en vidéo sur Futura]

[triall]

Bonjour, c'est à peu près la même question que je me posais, si l'on fait tourner la Terre plus vite de telle manière que les horloges n'aient plus de pesanteur ,(pesanteur nulle) elles sont satellisées ..
Si l'assertion est vraie alors la correction relativiste pour les satellites ne dépend que de leur vitesse par rapport à un repère inertiel , le satellite ou l'objet en chute libre est considéré comme ne subir aucune gravitation qui ne contrarie ses horloges, du moins. .

[Amanuensis]

Compenser les accélérations (accélération centrifuge = accélération de la gravité) n'est pas la même chose que compenser les potentiels.

[triall]

@amanuensis, je ne comprends pas votre phrase précédente ... ça ne fait rien ..
Mais si je comprends bien pour la correction du temps dans un satellite, soit on considère que la gravitation est nulle , et on ne s'occupe pas de la vitesse ;
soit on considère la gravitation à l'altitude donnée (plus faible qu'au sol) et on considère aussi la vitesse pour la correction relativiste du temps?

[Amanuensis]

@amanuensis, je ne comprends pas votre phrase précédente ...

L'annulation de la pesanteur pour un satellite correspond à l'égalisation entre l'accélération centrifuge et l'accélération de la gravitation. La "correction du temps" ne dépend pas des accélérations, mais des potentiels. L'égalisation des accélérations ne donne pas d'information sur la "correction du temps".


Ce que vous écrivez ensuite semble être une question de choix de référentiel. Cela pourrait être plus clair en précisant les référentiels.

Et j'imagine que quand vous écrivez "gravitation nulle", cela signifie "pesanteur nulle", ce qui est le cas dans un référentiel dans lequel le satellite est (instantanément) immobile, ce qui est juste une manière de dire qu'il suit une trajectoire de chute libre.

Pour la "correction du temps" dans un satellite, on prend en compte les deux effets dans le cas du référentiel le plus adapté, qui est l'astrocentrique avec comme temps coordonnée celui qui coïncide avec le temps propre des observateurs immobiles à l'infini. À partir de cela, 'yapuka' faire les changements de référentiel pour voir ce qu'il se passe pour d'autres référentiels...

[triall]

Bonjour, merci pour votre réponse , oui quand je parle de"On considère la gravitation nulle dans le satellite" c'est la pesanteur qui est nulle ...

L'observateur est au sol , on ne tient pas compte de la rotation de la Terre, il compare les horloges atomiques(au sol et dans un satellite). Il doit donc tenir compte pour la correction du temps,de la pesanteur au niveau de l'horloge(nulle dans le satellite) et de la vitesse de rotation de celui ci. C'est bien ça ?

Mais pour un ascenseur d'Einstein , par exemple qui subit une accélération a , et qui file loin dans l'espace , on ne peut inclure la vitesse dans la dilatation du temps,(la RR dit que ce pourrait être nous qui nous éloignons) celui ci se dilate uniquement à cause de l'accélération . Non?

[Amanuensis]

L'observateur est au sol , on ne tient pas compte de la rotation de la Terre, il compare les horloges atomiques(au sol et dans un satellite). Il doit donc tenir compte pour la correction du temps,de la pesanteur au niveau de l'horloge(nulle dans le satellite) et de la vitesse de rotation de celui ci. C'est bien ça ?

Non. Ce n'est pas la pesanteur qu'il doit prendre en compte mais le potentiel.

Application pratique (données en géocentrique):

- observateur à l'équateur, vitesse 0 km/s (simplifié), potentiel -GM/R
- satellite en orbite circulaire à 200 km, vitesse 7 km/s, potentiel -GM/(R+200km)

"correction" en (7000)²/2-GM/R+GM/(R+200km)

Le terme de vitesse est GM/2(R+200km). La différence de potentiel est en 200/6400=1/32, la correction est essentiellement celle de la vitesse.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Sans vouloir être plus royaliste que le roi, je suppose que tu compares les horloges fixées sur Terre avec une horloge de référence située à l'oo. Car dans le cas contraire, les horloges terrestres étant fixes les unes relativement aux autres seul le potentiel de gravitation expliquera leur décalage temporel.

J'ai une question :
En admettant que l'on dispose à l'infini sur un arc de cercle des horloges de référence, afin (que quelle que soit la latitude des horloge terrestres, il y ait une horloge de référence telle que lorsque l'horloge terrestre indique minuit, la distance entre l'horloge terrestre et son horloge de référence soit la même)

Corrigez moi si je me trompe , le facteur de la dilatation du temps lié à la gravitation s'écrit :


est il égal à : ?

Où Ro est le rayon du TN et r la distance séparant le mobile du centre de masse du corps attracteur, et Pr est le potentiel lié à (pour ne pas dire de ) la gravitation.

Une question subsidaire: en RG, dans l'équation des champs r est il la distance mesurée localement où la distance mesurée par l'observateur de référence supposé être à l'infini?

Dans la solution 1 :
Pr se détermine en calculant la primitive / à r de la somme de l'accélération gravitationnelle : MG/R²terre, avec l'accélération normale : -Rw² où R dépend de la latitude et de la longitude
On va appeler le facteur spatiotemporel de la solution 1 : Xn

Dans la solution 2 :
Le facteur spatiotemporel est celui de Schwarzschild :

ou Ps = - MG/Rt
celui le Lorentz lié à la vitesse :
avec v = -Rw²

si j'ai bien compris ton propos : cela revient à dire que le facteur de la solution 1 est égal au produit du facteur de Schwarzschild avec celui de Lorentz Xn = Xs.Xv

Maintenant, ma question porte sur la métrique de Kerr.
Un trou noir de Kerr a un rayon Rh défini par :

avec J le moment angulaire

Vu la problématique de l'exercice, même si la vitesse de rotation est faible, le facteur de dilatation du temps lié à la gravitation ne devrait il pas être de la forme
?
Comment l'intégrer dans la problématique?

Cordialement,
Zefram

[azizovsky]

Salut , il y'a deux méthode différente selon le type de mvt :
1 : on orbite stationnaire , v²/r =g =GM/r² =====> v²/c²=GM/rc²=u/c² .
2 : on chute libre v = gt =(g/c).ct =(GM/r²c).r ==>v²/c²=(u/c²)².

[azizovsky]

Salut , il y'a deux méthode différente selon le type de mvt :
1 : on orbite stationnaire , v²/r =g =GM/r² =====> v²/c²=GM/rc²=u/c² .
2 : on chute libre v = gt =(g/c).ct =(GM/r²c).r ==>v²/c²=(u/c²)².

donc deux métrique : une avec le facteur k =1-u/c² l'autre avec k'=1-(u/c²)² pour un champs faible on trouve la métrique de Scharchilde càd k'=1-2u/c² .

[azizovsky]

désolé:
schawarchild

[azizovsky]

ollala ,Schwarchild .

[Zefram Cochrane]

il doit se retourner dans sa tombe Schwarzschild

[Amanuensis]

2 : on chute libre v = gt =(g/c).ct =(GM/r²c).r ==>v²/c²=(u/c²)².

C'est v = gt+v₀. Et d'où vient ce r = ct ???


---

Par ailleurs il y a une seule méthode, l'intégration de dtau/dt le long de la trajectoire. Et au premier ordre, dtau/dt = 1+v²/2-GM/r dans le référentiel qui va bien.

[ordage]

Salut
Si on veut être rigoureux, surement pas. Mais dans le cas de champ faible cela doit donner un résultat pas trop mauvais.
Par contre il y a risque de confusion à mélanger des concepts comme le potentiel, l'energie cinétique, concepts d'une part classiques, dont l'éqiivalent relativiste n'est pas toujours clair. Le mieux est de s'en tenir au formalisme relativiste rigoureux. Ne pas oublier que le principe d'équivalence n'est valable que localement.
Par exemple le paradoxe de la comparaison entre le temps propre d'un observateur statique dans le champ gravitationnel g de laTerre (disons pendant 30 ans terrestre) et celui d'un astronaute faisant un voyage (une boucle qui le fait revenir au bout de 30 ans du temps terrestre) où il est soumis en permanence à une accélération g (départ au repos, accélération g, puis inversion du sens de l'accélération jusqu'à inverser le mouvement et inversion encore pour se poser en douceur ) ce qui fait que les conditions physiques des observateurs "équivalentes," donne des résultats très différents ( l'un en RG, l'autre cinématique en RR).
Cordialement

[Amanuensis]

Mais dans le cas de champ faible

Je parlais de la surface de la Terre. Et ne citais que les termes au premier ordre...

[azizovsky]

C'est v = gt+v₀. Et d'où vient ce r = ct ???


---

Par ailleurs il y a une seule méthode, l'intégration de dtau/dt le long de la trajectoire. Et au premier ordre, dtau/dt = 1+v²/2-GM/r dans le référentiel qui va bien.

Salut , pourquoi compliquer la vie , on pose d'abord : v=gt , pour en tirer le max d'infos physiques , d'aprés LA RR dtaut=V(1-v²/c²)t ,et je remplace v²/c² par ses valeurs , simple , claire ..... .

[azizovsky]

Salut , pourquoi compliquer la vie , on pose d'abord : v=gt , pour en tirer le max d'infos physiques , d'aprés LA RR dtaut=V(1-v²/c²)t ,et je remplace v²/c² par ses valeurs , simple , claire ..... .

dans le premier k=1-u/c² ,la RR est applicable car localement le référentiél est inértiél,v=cst (mvt orbitate, même méthode quand on applique la RR pour une atome d'hydrogéne MQ), dans le 2éme cas ou k = 1-(u/c²)² est une méthode ad hoc pour savoir la différence entre RR et RG .

[Zefram Cochrane]

Bonjour Amanuensis,
Aurais tu des réponses à mes question?
Cordialement,
Zefram

[azizovsky]

Salut ,on pousse un peu l'analyse v= gt = gct/c===>v=(g/c)R=H.R , avec H constante de Hubble =accélération de l'univers diviser par la célérité de la lumiére donc on'a ds²=(1-H.t)c²dt²-dl²/(1-H.t) ,t :temps de l'éxpension radiative ,1/H temps d'éxpension de la matiére(avec masse).

[Amanuensis]

Aurais tu des réponses à mes question?

Je ne les comprends pas toutes.

si j'ai bien compris ton propos : cela revient à dire que le facteur de la solution 1 est égal au produit du facteur de Schwarzschild avec celui de Lorentz Xn = Xs.Xv

Pas exactement. Mon propos est juste de dire qu'on peut voir le résultat (au premier ordre) aussi bien comme un seul facteur type RG, ou un produit de facteur.

À l'origine, j'ai lancé cette discussion parce que dans une autre discussion j'ai parlé de potentiel sans préciser (volontairement) si c'était le gravitationnel (référentiel géocentrique) ou celui de pesanteur (référentiel terrestre).

[azizovsky]

Salut , correction : k =1-(Ht)² ,désolé , c'est ma façon de faire de la physique théorique , je ne reste pas dans le cocon de soie tisser par les prédécesseurs .

[triall]

Bonjour, j'en reviens au post de départ d'amanuensis si vous le permettez .

Si on met des horloges très précises à la surface de la Terre, on va constater des dérives relatives dues à leur altitude d'une part, et à leur vitesse relativement à un référentiel inertiel de l'autre.

L'influence de l'altitude est celle du potentiel. Et la vitesse est essentiellement vr celle venant de la rotation (on va négliger pour le moment l'effet de la différence de distance au Soleil).

Mais il y a deux manières de voir le potentiel. Soit c'est celui de pesanteur, soit c'est le potentiel gravitationnel. La différence entre les deux est liée à l'accélération centrifuge. Celle-ci est -w²r, avec le vecteur amenant à l'axe perpendiculairement à celui-ci, et dérive donc d'un potentiel valant -w²r²/2, c'est à dire -vr²/2.

J'en déduis qu'il doit être équivalent de :

1) Prendre le potentiel de pesanteur et ne pas faire la correction RR due à la vitesse vr;

2) Prendre le potentiel de gravitation et faire en plus la correction RR due à la vitesse vr.

Bel exemple d'application du principe d'équivalence.

Est-ce correct ?

Je disais que si vous faisiez tourner la Terre plus vite en augmentant vr jusqu'à 11 km/s vitesse de libération au sol; l'horloge , tout en restant au sol serait satellisée , la pesanteur nulle sur l'horloge , et donc d'après ce qui a été dit et approuvé , il faudrait tenir compte et du potentiel de gravitation , et de la vitesse pour la correction de la dilatation du temps .Si l'équivalence 1)--2) est correcte en 1 on a un potentiel nul et une vitesse nulle ; en 2)un potentiel au niveau du sol et 11 km/s ;cela ne me semble pas du tout équivalent alors dans ce cas?...

Une autre chose me chiffonne ; pour la correction du à la gravitation, on parle de l'influence du potentiel de gravitation, moi je parlais de l'accélération qui se comporte en gros pareil que le potentiel l'une en GM/r² l'autre en GM/r (ils s'annulent pareil, tendent vers l'infini de même ) car dans une centrifugeuse, par exemple c'est bien l'accélération qui fait retarder une horloge , pareil pour l'ascenseur d'Einstein et il n' y a pourtant pas de potentiel dans cet ascenseur ; je me demandais donc quelle était la valeur de la correction relativiste dans ce cas , elle doit bien dépendre de l'accélération ?.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Je vais reformuler mes questions :
Pour un champ à symétrie sphérique, la dilatation du temps entre l'observateur de référence situé à l'oo et le mobile situé à une altitude r s'écrit:


est il égal à :

Je voudrais savoir si dans cette formule, la distance r correspond à celle mesurée par l'observateur de référence ou s'il s'agit de la distance mesurée localement par le mobile.

Mon autre question : Un trou noir de Kerr ayant un rayon Rh défini par :


Vu qu'il s'agit d'horloges fixée sur Terre et vu que dans un champ à symétrie sphérique :
on peu écrire que Rs étant le rayon de Schwarzschild,
Je me demandais si on ne pouvait pas lui appliquer à propos de la dilatation temporelle liée à la gravitation la formule suivante :

Où J est le moment cinétque de la Terre et r la hauteur par rapport à l'axe de rotation de la Terre.
et si c'est le cas, comment l'employer et qu'est ce que cela implique?



Cordialement,
Zefram

[invite8915d466]

Bonjour,
Je vais reformuler mes questions :
Pour un champ à symétrie sphérique, la dilatation du temps entre l'observateur de référence situé à l'oo et le mobile situé à une altitude r s'écrit:


est il égal à :

Je voudrais savoir si dans cette formule, la distance r correspond à celle mesurée par l'observateur de référence ou s'il s'agit de la distance mesurée localement par le mobile.

* une distance n'est pas relative à un observateur local, mais à un référentiel. Et quand la métrique dépend du temps (par exemple en cosmologie), elle n'a pas de définition précise parce qu'elle dépend du chemin d'intégration.
En revanche dans le cas de la métrique de Schwarschild (en tout cas à l'extérieur de l'horizon, ce n'est plus vrai à l'intérieur), la métrique est bien indépendante du temps. On peut définir une distance (qui est alors indépendante de l'observateur "fixe" dans cette métrique), mais ce n'est pas la coordonnnée r, qui est juste une "étiquette" , un paramétrage, de la distance au centre qui ne peut en fait pas être définie sous l'horizon !) , mais n'est pas numériquement égale à elle (la distance est dl = g_rr^1/2dr )

Mon autre question : Un trou noir de Kerr ayant un rayon Rh défini par :


Vu qu'il s'agit d'horloges fixée sur Terre et vu que dans un champ à symétrie sphérique :
on peu écrire que Rs étant le rayon de Schwarzschild,
Je me demandais si on ne pouvait pas lui appliquer à propos de la dilatation temporelle liée à la gravitation la formule suivante :

Où J est le moment cinétque de la Terre et r la hauteur par rapport à l'axe de rotation de la Terre.
et si c'est le cas, comment l'employer et qu'est ce que cela implique?

non, il y a une expression de pour la métrique de Kerr, mais c'est plus compliqué que ça (à noter que les points à r, theta, phi = constante ne sont pas "immobiles" par rapport à l'espace ambiant, en particulier ils ont un moment cinétique non nul par rapport au centre).



Cordialement

[phys4]

Une autre chose me chiffonne ; pour la correction du à la gravitation, on parle de l'influence du potentiel de gravitation, moi je parlais de l'accélération qui se comporte en gros pareil que le potentiel l'une en GM/r² l'autre en GM/r (ils s'annulent pareil, tendent vers l'infini de même ) car dans une centrifugeuse, par exemple c'est bien l'accélération qui fait retarder une horloge , pareil pour l'ascenseur d'Einstein et il n' y a pourtant pas de potentiel dans cet ascenseur ; je me demandais donc quelle était la valeur de la correction relativiste dans ce cas , elle doit bien dépendre de l'accélération ?.

Je ne réponds qu'à la seconde partie en espérant que cela éclairera la première.
L'accélération n'a pas d'effet direct. Une horloge dans un centrifugeuse n'aura de retard que par la vitesse acquise, dans la mesure où le fonctionnement résiste à l'accélération.
Dans l'ascenseur d'E. l' accélération crée un potentiel à l'intérieur de l'ascenseur, et les effets sont proportionnels à gh et non à g seulement, c'est encore le potentiel qui agit.
Nous retrouvons une similitude dans l'expérience de Langevin, l'accélération n'agit que par le changement de repère qu'elle provoque qu'elle que soit sa valeur.

[azizovsky]

Salut , dans le 'facteur' de Schwarchild ,il y'a déja le facteur 2 qui vient d'une approximation pourun champs faible , le facteur c'est V(1-GM/rc²) non pas V(1-2GM/RC²) si j'ai compris la méthode de le trouver à partir de la RG et mécanique classique !!!