Piston (vitesse exponentielle) et déplacement d'air

[invite5d864b47]

Bonsoir,

On se propose d’étudier la propagation d’une ” onde de choc ” dans un tuyau cylindrique (axe Ox, section S), due à une secousse produite sur un piston mobile dans le tuyau. A l’instant t = 0, un piston plac´e en x = 0 est lanc´e avec la vitesse u0 dans l’air initialement à l’´equilibre. Son mouvement ultérieur est brutalement amorti, de sorte que la vitesse du piston suit la loi exponentielle u = u_0exp(-t/tau)

Quelle est l’onde progressive v(x; t) engendr´ee vers les x croissants par le mouvement du piston ?

Ce n'est pas précisé, mais je pense qu'on peut considérer le tube assez long de sorte qu'il n'y ait pas d'onde réfléchie, du coup la forme de v recherchée est v = f(x-ct). J'ai déjà traité, pour le cas d'une corde, le cas où à x = 0, la corde avait une forme donnée par une relation temporelle h(t) (on devait donc résoudre f(-ct) = h(t)), mais d'une part, on a ici une vitesse initiale et non un déplacement (mais je suppose, par analogie, on doit résoudre -f'(-ct) = h(t) si h désignait une vitesse à l'abscisse x = 0) mais aussi une vitesse pour les x > 0 ... Donc on doit résoudre dv/dt = u0exp(-t/tau) ?

Merci d'avance.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je trouve l'énoncé "très curieux".
En premier lieu, une onde de choc n'est pas une onde ordinaire mais une onde dans laquelle la vitesse dépend de l'amplitude. Ceci arrive quand la vitesse dépend localement de l'amplitude locale. Dans l'air, la vitesse dépend de la température. Si l'amplitude d'une onde est importante, la vitesse aux sommets de pression est plus importante qu'au creux. Ceci déforme l'onde et tend à créer un front d'onde raide.

L'autre chose que me gêne dans l'énoncé est la mise en vitesse instantané du piston et de l'air. Ceci implique des accélérations infinies du piston et de l'air et donc, des forces infinies et des pressions infinies. Il faut faire de suppositions (temps de monté fini) mais je ne sais pas où on veut en venir.

Et quand il parle de "brutalement amorti", avec une exponentielle. Je trouve que l'amortissement est d'une douceur attendrissante, comparé au lancement.

Où avez-vous trouvé cet énoncé ?
Au revoir.

[invite5d864b47]

Bonjour,

Merci de vous être penché sur la question. Cet énoncé vient de mon DM que je mets en pièces jointes.

[invite5d864b47]

J'oubliais, voici le reste de l'énoncé.

On d´esigne respectivement par P0 et rho la pression et la masse volumique de l’air du tuyau lorsqu’il est `a l’´equilibre et par p(x; t) la surpression r´esultant de la pr´esence d’une onde acoustique. On consid`ere que les mouvements du fluide dus aux ondes acoustiques sont suffisamment rapides pour ˆetre isentropiques, dans la mesure o`u l’on n´eglige `a la fois les frottements et les ´echanges thermiques entre les tranches de fluide. A l’approximation acoustique, on consid`ere que toutes les perturbations du fluide sont petites et en particulier que p ≪ P0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

J'oubliais, voici le reste de l'énoncé.

On d´esigne respectivement par P0 et rho la pression et la masse volumique de l’air du tuyau lorsqu’il est `a l’´equilibre et par p(x; t) la surpression r´esultant de la pr´esence d’une onde acoustique. On consid`ere que les mouvements du fluide dus aux ondes acoustiques sont suffisamment rapides pour ˆetre isentropiques, dans la mesure o`u l’on n´eglige `a la fois les frottements et les ´echanges thermiques entre les tranches de fluide. A l’approximation acoustique, on consid`ere que toutes les perturbations du fluide sont petites et en particulier que p ≪ P0

Re.
La pièce n'a pas encore été validée.
Mais avec vos explications on peut mieux comprendre ce que demande l'énoncé. On est bien en ondes de faible amplitude. Donc, ce n'est pas une onde de choc. Même si ce n'est pas dit, maintenant que l'on sait que ce n'est pas une onde de choc, on peut déduire que la vitesse initiale est faible comparée à celle du son.
Donc il y aura une onde transmise dont la vitesse du milieu est de la même forme que la vitesse du déplacement du piston et de même amplitude que la vitesse du piston. Ce sera donc un signal avec la vitesse en forme d'impulsion avec le front montant "infiniment" raide, et le front descendant en exponentielle comme celle du piston. Si la vitesse du piston est f(t), l'onde de vitesse obéira à v = f(t - x/c) (pour t -x/c > 0 et 0 autrement).
Au revoir.

[invite5d864b47]

Merci pour vos explications. Pourquoi lorsque t = 0, on a pas v = u0 et non v = 0 ?

[invite6dffde4c]

Merci pour vos explications. Pourquoi lorsque t = 0, on a pas v = u0 et non v = 0 ?

Re.
Dans l'énoncé on dit que pour t = 0, on passe de v = 0 à v = u0.
(Ce qui m'avait fait protester à propos des accélérations infinies).
On peut rédiger cela dans un langage de physicien en disant que pour t = 0, la vitesse passe très rapidement à u0. "Très rapidement", veut dire qu'on ne veut pas examiner en détail ce qui arrive pendant la transition.

Maintenant l'image est visible.
Donc le signal est un "spike" de front de montée infini suivi d'une descente exponentielle.
Mais ce n'est vraiment pas une onde de choc.
Ça ne change pas ce que je vous ai expliqué jusqu'à maintenant.

A+

[invite5d864b47]

Du coup, pour la 6) (alors déjà d'après mon cours pour la 5) on a p = z*v, avec z l'impédance acoustique), à x = L, la pression est nulle, ce qui revient à chercher t1 qui annulle v, soit t_1 - L/c = 0 ?

[invite6dffde4c]

Du coup, pour la 6) (alors déjà d'après mon cours pour la 5) on a p = z*v, avec z l'impédance acoustique), à x = L, la pression est nulle, ce qui revient à chercher t1 qui annulle v, soit t_1 - L/c = 0 ?

Re.
Oui. On peut aussi dire plus bêtement que le son parcourt la distance L dans un temps L/c.
A+

[invite5d864b47]

Autre chose, dans la question 6), on précise que le tube estouvert en L et on me demande d'exprimer la pression de l'onde réfléchie ... Or on a une onde réfléchie que si le tube est fermé à l'extrémité, non ?

[invite6dffde4c]

Autre chose, dans la question 6), on précise que le tube estouvert en L et on me demande d'exprimer la pression de l'onde réfléchie ... Or on a une onde réfléchie que si le tube est fermé à l'extrémité, non ?

Re.
Non.
Une onde se réfléchit chaque fois qu'il y a un changement. Ici c'est l'impédance. Celle du tube et celle de l'air libre sont différentes et vous avez une onde réfléchie.
Pour compliquer les choses, il ne faut pas confondre l'impédance d'un milieu (l'air ici) avec l'impédance d'un conduit. Regardez wikipedia.
A+

[invite5d864b47]

Je vois. Donc je pars du fait que P = P_i(x-ct) + P_r(x+ct), avec P_i la pression de l'onde incidente (trouvée précédemment) et P_r celle de l'onde réfléchie et j'utilise la condition P(t, L) = 0 pour déterminer P_r ?

[invite6dffde4c]

Re.
En réalité, la pression pour x = L, n'est pas zéro. Si c'était le cas, on n'entendrait par les trompettes ni les flutes ni la plupart des instruments à vent. L'impédance de l'air libre n'est pas zéro et une partie de l'onde continue (c'est celle que nous entendons) et l'autre se réfléchit.

Mais je ne connais pas le "niveau acoustique" de votre cours et peut-être que l'on vous demande de supposer que P = 0.
A+

[invite5d864b47]

En effet, il est préciser ça dans mon cours mai son suppose quand même P = 0 (c'est un cours de niveau L2, donc assez basique), en supposant que le diamètre du tube est au moins lambda/5 (même si le noeud de pression est en fait situé à une distance d'1/3 le diamètre du tube après l'ouverture et non dan sle plan de l'ouverture)

[invite5d864b47]

Pour la dernière question, dans l'aide, on nous fournit la valeur d'une intégrale ... Je ne vois pas pourquoi on en aurait besoin. En effet, l'énergie transportée = Section du tube*pression*déplacement, soit



On a donc affaire qu'à des dérivées et pas d'intégrales ... Du coup, où es tmon erreur ?

EDIT : Ah, nous on a juste la pression et la vitesse, du coup l'intégrale c'est pour intégrer la vitesse et comme ça avoir le déplacement ? Mais du coup, pourquoi intégrer sur l'infini et pas de 0 à t arbitraire (d'ailleurs, le temps limite est t1) ?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous êtes en train de calculer l'énergie transportée par le "spike". Il faut intégrer sur la durée du spike... qui est infinie.
Heureusement, la chute de l'impulsion est exponentielle et tout se passe dans les premières constantes de temps. Donc que vous intégriez sur quelques constantes de temps, jusqu'à t1 ou jusqu'à infini, ne changera grand chose car la constante de temps est petite devant t1. Et il est plus commode pour l'évaluation aux bornes de l'intégrale d'aller jusqu'à infini.
Au revoir.

[invite5d864b47]

En fait on a pas le choix ici car on ne peut calculer l'intégrale de exp(-x²/2) qu'entre 0 et +oo ou -oo et +oo.

Merci.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous ne calculez pas l'intégrale de exp(-x²/2) (gaussienne) mais celle de (exp(-x/2))² (exponentielle quelconque).
Au revoir.

[invite5d864b47]

Bah alors à quoi sert l'intégrale donnée en aide ?

[invite6dffde4c]

Bah alors à quoi sert l'intégrale donnée en aide ?

Bonjour.
Je me le demande aussi (mais j'ai ma petite idée)
Comment avez-vous obtenu cette gaussienne ?
Au revoir.

[invite5d864b47]

La densité linéique est donnée par (dans mon cours, on néglige le terme en ) :

Pour obtenir l'énergie transportée, il suffit d'intégrer l'expression précédente, je dirais entre 0 et +oo (suivant x) car l'onde continue de se propager après L. Mais comme v et p sont de la forme aexp(-bX), son carré double seulement son argument, donc l'intégration est une simple exponentielle, pas besoin de la gaussienne ...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Enfin !
Je pense que la personne qui a fait l'énoncé s'est plantée en faisant le carré de l'exponentielle. Elle s'est déjà plantée avec ce qu'est une "onde de choc".
Au revoir.

[invite5d864b47]

Je reviens sur un de vos premiers messages. Vous avez dit que la vitesse v est de la forme v = h(t-x/c). Pourquoi ce n'est pas plutôt h(x/c - t) (comme f(x - ct) est une onde qui se dirige vers les x croissants) ?

[invite6dffde4c]

Je reviens sur un de vos premiers messages. Vous avez dit que la vitesse v est de la forme v = h(t-x/c). Pourquoi ce n'est pas plutôt h(x/c - t) (comme f(x - ct) est une onde qui se dirige vers les x croissants) ?

Bonjour.
Je ne sais pas pourquoi les matheux écrivent (x/c - t). Les physiciens l'écrivent dans le bon sens (t - x/c). La fonction évolue avec le temps et les endroits plus éloignés voient la valeur avec du retard. Un retard dû au temps de propagation x/c.
Quand la dépendance est sinusoïdale cos(wt - kx), le terme (wt-kx) est la phase de l'onde laquelle augmente avec le temps. Et les endroits éloignés sont en retard de phase.
Mais de toute évidence, votre prof de physique est un matheux et non un physicien.
Au revoir.