La mouche dans un bocal !

[pmdec]

Que pensez vous de cette façon de voir les choses :

La masse de sable m en chute libre, entre le moment t0 où le premier grain tombe et celui où il arrive en bas t1 est donnée par l'équation m = D.t où D est le débit massique. Si l'on "pinaille", D n'est pas constant, mais égal à K sqrt(gamma) où K est une constante dépendante de l'ouverture (proportionnelle à la puissance 5/2 du diamètre quand la taille de l'ouverture est supérieure à 5 fois la taille des grains) et où gamma est l'accélération à laquelle est soumise le sable. On notera que gamma est égale à la somme des valeurs absolues de g (accélération de la pesanteur, vers le bas) et de a (accélération du sablier vers le haut s'il bouge dans le repère de la Terre).
La masse "manquante" (pour faire plaisir à mariposa ...) augmente donc d'un facteur principal proportionnel au temps et d'un facteur secondaire proportionnel à l'accélération du sablier vers le haut. Dans le modèle des poulies, il y a une augmentation de l'accélération (un terme positif en t3 ?) et une "correction" (un terme, positif aussi, en t3,5 ?).

Si le sablier est maintenu immobile, le calcul de la force vers le haut due à la "masse manquante" à laquelle est soumis le sablier est trivial pour 2 raisons :
- il n'y a pas de facteur secondaire (gamma = g), d'où D = Cte.
- on peut considérer que cette force est égale à la poussée d'Archimède car on est en régime statique : F = m.D.t

Si le sablier n'est pas maintenu immobile, D n'est pas constante (ce qui ne fait que compliquer le calcul), et surtout la force à laquelle est soumis le sablier n'est pas égale à la poussée d'Archimède (à moins de démontrer le contraire) mais à la différence entre (la pression en bas intégrée à la surface du bas) - (la pression en haut intégrée à la surface du haut). Il me semble que c'est de l'hydrodynamique et non pas de l'hydrostatique, mais que rien n'empêche de continuer à négliger la viscosité de l'eau. "Tout se passe comme si" l'eau remplissait un tuyau par le bas et où le sablier ferait office de piston pesant.

Ceci pour la "masse manquante".

Mais ce n'est pas tout : il faut aussi considérer l'effet de la descente de l'ensemble du sable dans la partie haute, effet pour lequel il ne semble toujours pas exister de concensus.

Et il a aussi deux mouvements de l'eau, sans rapport avec la viscosité, mais qui font, sauf démonstration du contraire, intervenir l'inertie de l'eau :

1: le mouvement qui génère le déplacement du sablier : l'eau prend la place du sablier parce que la pression qu'il exerce à sa base (égale à la somme de son poids réparti sur la surface "du bas" et de la pression de l'eau qu'il subit à son sommet et qu'il transmet parce qu'il est supposé rigide). Le sablier est "passif" vis à vis de l'eau pour cette partie.
2 : le mouvement que l'eau est contrainte de faire parce que le déplacement du centre de gravité du sable implique (Newton) un déplacement contraire du sablier. Le sablier est "actif" vis à vis de l'eau pour cette partie.

Ps: cette réponse est postée avant de lire le post mmy#270.
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[pmdec]

Bonjour,

.../... Si c'est correct, alors pas besoin de de pression atmosphérique, il suffit de rester dans les limites de la dépression acceptable.
Cordialement,

Sans aucune prétention de ma part (!), je pense que c'est correct. C'est en réfléchissant à des "cas limites" que j'avais craint un problème (pour moi, qui suis plutôt bricoleur que physicien les "cas limites" me permettent de vérifier que je ne dis pas de conneries) : si on lâche un truc très léger dans l'eau, il atteint une vitesse limite qui est en partie due à la viscosité mais aussi à la vitesse à laquelle l'eau peut "boucher le trou" (je crois que c'est la cavitation). Pour des mouvements lents, ça ne doit pas "jouer" sur les valeurs, mais pourrait expliquer dans quel sens il faut prendre les "liens de causalité" entre les phénomènes.
A+ ... !!!

[mariposa]

J'ai écrit dans mon post récent:

"La deuxième force est la pression hydrostatique. Cette pression hydrostatique est composée de la composante statique (équilibrée par le poids sablier + sable) et d'une surpression p (r,t) qui va mettre le fluide en mouvement et dévelloper un champ de vitesse dans le fluide Vf(r,t)."

Très justement mmy a noté que c'était complètement idiot Il aurait fallait écrire:

La deuxième force provient du liquide. La pression qu'exerce le liquide est composée de la pression hydrostatique augmentée d'une force de pression p (r,t) qui va développer un champ de vitesse Vf(r,t), . La composante hydrostatique a été intégrée dans la première force. La deuxième force provient donc de celle engendrée par la mise en mouvement du liquide.

bien entendu les formules restent inchangées.

Dans l'approximation des écoulements quasi hydrostatiques le champ du fluide s'adapte instantanément à la pression. Par exemple aux vitesses d'écoulements faibles on montre (formule de stokes):

....Gradp (r,t)= Eta.LApVf(r,t)

(j'avais écrit p alors que c'est Gradp qu'il faut écrire)



Ensuite je prépare un post pour discuter de la pression p et de l'approximation quasi-statique (si j'arrive a avoir la main)

Encore merci mmy

[pmdec]

Bonsoir,

.../... La pression qu'exerce le liquide est composée de la pression hydrostatique augmentée d'une force de pression p (r,t) qui va développer un champ de vitesse Vf(r,t), .../...

Si c'est bien de la pression "sous" le sablier dont tu parles, d'où provient cette pression supplémentaire, et accessoirement, qu'est-ce que "(r,t)" signifie exactement ?

.../... Dans l'approximation des écoulements quasi hydrostatiques le champ du fluide s'adapte instantanément à la pression .../...

Ceci serait, peut-être, valable si une force extérieure mettait le solide en mouvement. Mais ce n'est pas le cas ici en ce qui concerne l'effet de la "masse manquante", c'est même le contraire à mon avis (à moins que l'effet déplacement du centre de gravité du sable restant soit prédominant, mais jusqu'à présent, à moins que j'ai mal lu, tu refuses de prendre en compte cet effet). Il n'est donc pas question que la "pression s'adapte" ...

[invité576543]

Bonjour,

Quleques petits points issus de mes réflexions:

1) La quantité de de mouvement de l'eau est en fait très facile à calculer. Il suffit de calculer où est le centre de gravité de l'eau! Le résultat est , où v est la vitesse du sablier, V son volume et la masse volumique du fluide.

2) Il faut donc montrer que le total des forces s'excerçant sur l'eau est . Ces forces sont son poids et l'intégrale des pressions normales sur le sablier et les parois internes du récipient. On notera que le total doit être non nul au démarrage, c'est à dire quand v=0. Toute solution devra inclure l'expression de cette force, et elle devra être non nulle pour v=0.

3) L'hydrodynamisme du sablier doit jouer. Si on prend un objet comme un bol s'avançant dans l'eau, ouverture vers le sens de l'avancement, intuitivement (donc à vérifier) la masse de l'eau dans la concavité va intervenir dans l'inertie opposée au mouvement. Raisonnement simple: si une solution au champ de vitesse est telle qu'une partie de l'eau se déplace à la vitesse v, alors le problème est inchangé si on ajoute une impondérable enveloppe autour de cette masse d'eau au sablier. On obtient un nouveau "sablier" de masse bien supérieure. Cela confirme qu'il faut s'attendre à un terme m' dans l'équation, qui est peut-être de la forme (en ajoutant le terme dissipatif)



La masse m' correspond à l'accélération de l'eau, et dépend de la forme du sablier.

L'accélération de l'eau est quelque chose comme



où P est le poids de l'eau, R la réaction du récipient (somme des pressions normales au parois du récipient, et ... des termes à déterminer.

4) L'égalité F3=F4 dans mes formules est alors fausse (elle correspond à une certaine valeur de m').

Cordialement,

[invité576543]

En me relisant, j'ai réalisé que l'on peut faire mieux que le bol. Prenez un objet comme un vase rond avec une très petite ouverture, s'avançant ouverture vers l'avant. L'hypothèse que l'eau à l'intérieur est à la vitesse de l'objet semble claire, d'autant plus que l'on peut faire tendre l'ouverture vers 0. Cela semble un argument convaincant que l'inertie du sablier doit comprendre un terme supplémentaire dû à l'inertie de l'eau, et dépendant de la forme du sablier.

Cordialement,

[mariposa]

a l'attention de pmdec et de mmy.
J'ai relu globalement vos derniers post. Il apparait clairement que vous ne maîtriser la mécanique des fluides sur des aspects essentiels. Sans vouloir vous renvoyer à un livre de mécanique des fluides je vous propose 2 choses:
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1- Revoir dans un livre élémentaire la chute d'une bille sphérique dans un liquide.
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Vous trouverait la démonstration de l'action de l'eau sur la bille qui s'écrit:
...F = -6.pi.R.Eta.V
F est la force appliquée
R est le rayon de la sphère
Eta la viscosité
V la vitesse de chute de la bille
Ce résultat est un grand classique de la MF.
La généralisation a une forme quelconque remplacera R par un facteur de forme géométrique (dans ce cas impossible a caculer analytiquement). On peut écrire d'une manière générale F= -K.V
.
Vous noterait qu'il s'agit du même problème que le sablier: la différence est que le sablier monte.
.
2- Je vous invite à lire des pages sur ce qu'est l'approximation quasi-hydrostatique (que j'appelle Approximation adiabatique).
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Par exemple dans le cours de dynamique de l'atmosphère et de l'océan de L'école polytechnique ISBN 2-7302-0825-X
Chapitre 3: Introduction aux écoulements géophysiques
On peut lire dans l'introduction (page 59):
.
"l'équilibre hydrostatique est une référence constante en géophysique. En effet comme nous le verrons dans le cours de ce chapitre, la vitesse verticale est presque toujours très faible, et la relation de l'équilibre hydrostatique reste vérifiée par les fluides en mouvement avec une très bonne précision. Par ailleurs l'écoulement cherche en permanence à retrouver son équilibre hydrostatique, seule position dans laquelle le repos est possible"
.
Plus loin page 78 :
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"...Dans la suite de ce cours, nous utiliserons donc l'approximation quasi-hydrostatique, qui consiste à négliger l'accélération verticale (et non la vitesse verticale!)."
.
J'apporte une précision: Cela veut dire que l'on calcul la vitesse en négligeant l'accélération. Pour avoir l'accélération on dérive après avoir trouver la vitesse. On vérifie après coup que la contribution de l'accélération dans l'équation initiale est faible devant le reste.
Remarque:
Personnellement je parle d'appoximation adiabatique en référence à la théorie générale des systèmes dynamiques.
Cette approximation est utilisée pour séparer le mouvement des noyaux de celui des électrons (dans ce cas les noyaux jouent le role du sablier et les électrons le role de l'eau).
Cette approximation est utlisée pour discuter les mécanismes de transition de phase (concept de mode mou) et plus généralement les bifurcations dans les systèmes physiques et même non physique (par exemple en sociologie)

[invité576543]

"...Dans la suite de ce cours, nous utiliserons donc l'approximation quasi-hydrostatique, qui consiste à négliger l'accélération verticale (et non la vitesse verticale!)."

Merci de confirmer le problème de fond! L'accélération verticale a donc un effet!

J'apporte une précision: Cela veut dire que l'on calcul la vitesse en négligeant l'accélération. Pour avoir l'accélération on dérive après avoir trouver la vitesse. On vérifie après coup que la contribution de l'accélération dans l'équation initiale est faible devant le reste.

Superbe comme méthodologie. On commence par négliger ce qu'on veut calculer, pour le calculer ensuite!

Et bien justement, la contribution à l'accélération n'est pas négligeable. La quantité de mouvement de l'eau étant la même que celle du sablier (et de signe inverse), négliger l'accélération de l'eau revient à négliger quelque chose de commensurable à ce qu'on veut calculer!

Cordialement, malgré les commentaires insultants que tu ne peux t'émpêcher d'ajouter,

[pmdec]

a l'attention de pmdec .../...

Bonjour, ô grand maître, et merci d'avoir accordé votre attention à nos insignifiants petits problèmes et vos conseils éclairés pour les résoudre.
Mais laissez nous abuser encore de Votre Science.
Pourriez-vous nous décrire (nous prédire ?) le mouvement d'un sablier en fonctionnement de dimensions et masse à votre convenance, contenant la quantité que vous voudrez de sable de la densité qui vous convient mais tel qu'il soit en équilibre indifférent, quand le sable de s'écoule pas, dans de l'eau à 20° surmontée de la pression atmosphérique standard ? Vous pouvez même choisir le diamètre de l'orifice ou le débit de sable.
Mais après votre dernière intervention, vous ne pouvez plus faire l'économie de montrer que vous savez faire ces calculs et d'en donner un résultat numérique dont chacun pourra juger de la pertinence par le moyen qui lui conviendra.
Bonne chance !

[mariposa]

Bonjour,
3) L'hydrodynamisme du sablier doit jouer. Si on prend un objet comme un bol s'avançant dans l'eau, ouverture vers le sens de l'avancement, intuitivement (donc à vérifier) la masse de l'eau dans la concavité va intervenir dans l'inertie opposée au mouvement. Raisonnement simple: si une solution au champ de vitesse est telle qu'une partie de l'eau se déplace à la vitesse v, alors le problème est inchangé si on ajoute une impondérable enveloppe autour de cette masse d'eau au sablier. On obtient un nouveau "sablier" de masse bien supérieure. Cela confirme qu'il faut s'attendre à un terme m' dans l'équation, qui est peut-être de la forme (en ajoutant le terme dissipatif)

Je comprends très bien ton intuition, mais la traduction mathématique. n'est pas correcte.
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Je reprends l'exemple de ton bol.
Cas-1:Ton idée consiste à dire que la masse dans le bol fait presque partie du bol et donc il faudrait donc (selon toi) considerer dans le terme d'accélération une masse d'inertie suplémentaire associée au volume dans le bol.
.
Cas 2 : Pour aller dans ton sens je fait enfoncer le clou en considérant le bol quasiment fermé de telle sorte qu'il n'y a qu'un petit trou.
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Cas 3 :Encore plus fort je suppose que le trou est bouché et là l'eau est complètement enfermée.
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Voilà un problème intéressant comment discuter le problème en fonction de la forme du récipient?
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Cas 3
A l'évidence dans le dernier cas la masse d'inertie c'est la masse du récipient + la masse de l'eau.
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Cas 1
Tant que l'on est dans l'approximation des écoulements quasi-hydrostatiques la masse d'inertie c'est M° la masse du récipent. Par contre la rétroaction de l'écoulement sera pris en compte sous la forme F=-k1.V où la valeur k1 sera beaucoup plus élevée que dans le cas du sablier. En contre partie le domaine de validité de l'approximation quasi-statique sera réduit.
.
Cas 2
Tant que l'on est dans l'approximation des écoulements quasi-hydrostatiques la masse d'inertie c'est M° la masse du récipent. Par contre la rétroaction de l'écoulement sera pris en compte sous la forme F=-k2.V où la valeur k2 sera beaucoup plus élevée que k1. En contre partie le domaine de validité de l'approximation quasi-statique sera réduit à quelque chose de très très très petit (à l'image de la petitesse du trou). Dès que l'on dépasse une certaine vitesse l'appoximation quasi-statique n'est plus valable. Au delà de cette vitesse il faut prendre en compte l'accélération.
.
Retour sur le cas 3.(Changement de topologie)
.
Le domaine de validité de l'approximation quasi-statique est strictement nulle et constitue un changement de topologie. Il n'y a donc pas de solution de continuité avec le cas 2 ce qui veut qu'il faut faire un traitement spécifique. Autrement dit le cas 3 n'a pas pour solution la limite du cas 2 lorsque le trou est fermé par continuité.
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Bien entendu le problème du sablier est assimilable au cas 2 pour laquelle nous sommes dans le domaine de validité de l'approximation quasi-statique (c'est selon mon intuition une hypothèse réalisée).

[pmdec]

En me relisant, j'ai réalisé que l'on peut faire mieux que le bol. Prenez un objet comme un vase rond avec une très petite ouverture, .../...

C'est clair qu'il y a un problème "d'entraînement" de l'eau fonction de la forme du "sablier". Ce problème me semble difficile, même en supposant la viscosité nulle : si le liquide "presque enfermé" ne devait pas bouger, il y a un problème potentiel (sans jeu de mot...) de vitesse relative au niveau de l'ouverture et donc d'inertie. Mais je ne vois pas comment introduire la notion de convexité de la forme dans un calcul à viscosité nulle.
Je propose donc qu'on continue la discussion en supposant le sablier cylindrique (pas de rétrécissement extérieur : par exemple un cylindre avec une rondelle à l'intérieur) mais terminé par deux demi-sphères pour éviter d'atteindre des vitesses "tendant vers l'infini" des couches limites en haut et en bas si ces surfaces étaient planes.
PS concernant ton post #234 : la transmission de l'impulsion du grain à l'enveloppe puis (ça ne peut être que "puis") à la masse d'eau n'est pas claire pour moi.

[mariposa]

Pourriez-vous nous décrire (nous prédire ?) le mouvement d'un sablier en fonctionnement de dimensions et masse à votre convenance, contenant la quantité que vous voudrez de sable de la densité qui vous convient mais tel qu'il soit en équilibre indifférent, quand le sable de s'écoule pas, dans de l'eau à 20° surmontée de la pression atmosphérique standard ? Vous pouvez même choisir le diamètre de l'orifice ou le débit de sable.
Mais après votre dernière intervention, vous ne pouvez plus faire l'économie de montrer que vous savez faire ces calculs et d'en donner un résultat numérique dont chacun pourra juger de la pertinence par le moyen qui lui conviendra.
Bonne chance !

Que l'eau soit à une température de 20° ou 30° ou que l'on tienne compte ou pas de la pression atmposphérique on est dans de cas d'un équilibre indifférent.
Pour un régime d'écoulement du sable stationnaire la résolution de l'équation donne pour la vitesse la valeur:
Vs= Im/k.sqrt (2.g.H°)
Im débit....k la constante de frottement H° la hauteur de chute au repos.
Cette formule est valable dans l'hypothèse où Vs plus petit que la vitesse de chute du sable au fond du sablier.
Si l'on veut tenir compte que la véritable hauteur de chute n'est pas H° mais une valeur légerement inférieure il faut diviser l'expression ci-dessus par un facteur correctif qui vaut:
.. 1+ Im/k
Commentaire: On note que le plus le débit augmente plus la vitesse augmente. Plus la constante k de frottement est élevée moins la vitesse est grande. Plus H° est grand plus la masse manquante (qui est la force motrice) est importante ce qui est logique.
Remarque: Tout ceci est vérifiable expérimentalement. la constante k doit être déterminée par une expérience préalable, ce qui est préférable, ou par un calcul numérique. Le mieux est d'effectuer les deux.

[mariposa]

C'est clair qu'il y a un problème "d'entraînement" de l'eau fonction de la forme du "sablier". Ce problème me semble difficile, même en supposant la viscosité nulle : si le liquide "presque enfermé" ne devait pas bouger, il y a un problème potentiel (sans jeu de mot...) de vitesse relative au niveau de l'ouverture et donc d'inertie. Mais je ne vois pas comment introduire la notion de convexité de la forme dans un calcul à viscosité nulle.
Je propose donc qu'on continue la discussion en supposant le sablier cylindrique (pas de rétrécissement extérieur : par exemple un cylindre avec une rondelle à l'intérieur) mais terminé par deux demi-sphères pour éviter d'atteindre des vitesses "tendant vers l'infini" des couches limites en haut et en bas si ces surfaces étaient planes.
PS concernant ton post #234 : la transmission de l'impulsion du grain à l'enveloppe puis (ça ne peut être que "puis") à la masse d'eau n'est pas claire pour moi.

As-tu lu attentivement le post #280 qui était la réponse à mmy en collant au plus près de son raisonnement .
J'ai donc pris à la lettre son raisonnement du bol que j'ai poussé à la caricature pour monter que le phénomène d'inertie de l'eau que vouis chercher à formuler est pris en compte tolament dans le terme k.V
La confusion que vous faite est de penser que ce terme qui traduit la viscosité n'est là que pour représenter la dissipation. D'où votre idée erronée de la mettre à k=0.
.
Hors ce terme consiste à représenter le transfert de quantité de mouvement entre 2 particules fluides. Il décrit donc en même temps les échanges d'énergie entre ces particules (c'est la dissipation) et le transfert de quantité de mouvement qui décrit le mouvement du fluide. Dissipation et mouvement du fluide sont strictement inséparables et pris en compte par la viscosité.
.
Quand vous supprimez la viscosité (k=O) alors vous faites disparaitre en même temps la dissipation thermique et la mise en mouvement du fluide.
.
Pour mémoire la force qui s'exerce sur un corps solide est décrite par un tenseur de rang 2 dont les éléments diagonaux représentent la pression hydrostatique et le éléments non diagonaux les forces de cissaillement cad les forces décritent par la viscosité.
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Si dans cette matrice vous prenez la viscosité nulle il reste les éléments diagonaux cad la pression hydrostatique dont l'intégrale sur le contour vaut zéro. il n'est plus possible de décrire de mouvement et de dissipation.Votre liquide reste indéfiment au repos.
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Toute l'originalité de la mécanique des fluides repose sur le comportement du matériau vis a vis des forces de cisssaillement qui est très éloigné de celui dans un solide.
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L'inertie du liquide que vous chercher à representer est completement pris en compte par le tenseur de viscosité qui ramené a l'integration des forces sur la surface donne le terme -k.V (voir l'exemple pédagogique de la boule qui tombe).Bien entendu dans l'approximation quas-statique.

[invité576543]

Cas 1
Tant que l'on est dans l'approximation des écoulements quasi-hydrostatiques la masse d'inertie c'est M° la masse du récipent. Par contre la rétroaction de l'écoulement sera pris en compte sous la forme F=-k1.V où la valeur k1 sera beaucoup plus élevée que dans le cas du sablier. En contre partie le domaine de validité de l'approximation quasi-statique sera réduit.
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Cas 2
Tant que l'on est dans l'approximation des écoulements quasi-hydrostatiques la masse d'inertie c'est M° la masse du récipent. Par contre la rétroaction de l'écoulement sera pris en compte sous la forme F=-k2.V où la valeur k2 sera beaucoup plus élevée que k1. En contre partie le domaine de validité de l'approximation quasi-statique sera réduit à quelque chose de très très très petit (à l'image de la petitesse du trou). Dès que l'on dépasse une certaine vitesse l'appoximation quasi-statique n'est plus valable. Au delà de cette vitesse il faut prendre en compte l'accélération.

On bloque toujours sur cette idée qui me semble évidente et que tu refuses: un terme proportionnel à la vitesse ne peut pas être invoqué comme approximation d'un terme d'inertie, qui est toujours un terme lié à l'accélération. L'inertie doit être prise en compte à v=0, et non au-delà d'une certaine valeur.

En particulier ton terme est initialement nul, ce qui voudrait dire que l'inertie de l'eau n'est pas prise en compte au démarrage.

Désolé, mais pour moi cela n'a aucun sens physique.

Quand vous supprimez la viscosité (k=O) alors vous faites disparaitre en même temps la dissipation thermique et la mise en mouvement du fluide.

Ton raisonnement est circulaire. C'est toi qui suppose que k=0 fait disparaître la mise en mouvement du fluide. Je suppose que cela fait disparaître une partie de la mise en mouvement du fluide.

Si je met de l'eau dans une seringue et que j'appuie sur le piston, la viscosité n'est PAS la cause de mise en mouvement du fluide. Il existe donc d'autres forces de mise en mouvement des fluides que la viscosité (dont un très simple: pousser le fluide!). Tu te contentes d'affirmer qu'aucun des ces autre mécanismes est à l'oeuvre, sans le démontrer.

L'exemple du bol est pourtant simple: l'eau est poussée. Trop simple? Pas assez "spécialiste de la mécanique des fluides"?

Cordialement,

[pmdec]

Bonsoir mariposa. Ce post est à votre intention, mais d'autres peuvent, bien sûr, tenter de répondre.

.../... Mais après votre dernière intervention, vous ne pouvez plus faire l'économie de montrer que vous savez faire ces calculs et d'en donner un résultat numérique dont chacun pourra juger de la pertinence par le moyen qui lui conviendra.
Bonne chance !

Comme d'habitude, vous ne répondez pas à la question. Je me permets donc d'insister : pourriez vous indiquer, avec les valeurs numériques ci-dessous, ce qui se passe en vrai, aux approximations éventuelles de calcul. Merci d'avance.
Accélération de la pesanteur = 10m/s²
Aquarium :
cube de 1 m de côté (intérieur) rempli jusqu'à 10 cm du bord supérieur d'une eau à 20°C ayant une masse volumique de 1g/cm3 et parfaitement au repos au début de l'expérience.
pression atmosphérique "standard" (1013 mbar).
Sablier :
forme : cylindre indéformable en verre d'épaisseur uniforme se terminant par deux demi sphères de même épaisseur. La "fonction sablier" provient d'une rondelle de 0,01 cm d'épaisseur percée d'un trou cylindrique et située à 15 cm du fond.
masse = 1 gramme
hauteur intérieure = 40 cm
diamètre intérieur = 2 cm
masse volumique du verre = 2,5 g/cm3
Sable :
masse = 126,0637 grammes
masse volumique = 2,5 g/cm3
Le volume extérieur est tel que l'équilibre est indifférent quand le sable ne s'écoule pas.
Ecoulement du sable : 10 grammes/seconde quand le sablier est immobile (ce qui correspond donc à un diamètre du trou d'environ 4,37 mm). On pourra, en première approximation, négliger les transitoires de début et de fin d'écoulement, cad la fraction de temps pendant lequel le débit massique passe de 0 à 10 g/s et inversement à la fin.
Axe des z : vers le haut, 0 au fond de l'aquarium, position de début telle que le trou d'écoulement est à l'altitude 35 cm au début de la manip.
Je vous demande, avec ces chiffres, ce qui doit être très simple pour vous, de dire quel va être le mouvement du sablier (sens et valeur(s) de(s) (l')accélération(s), vitesse(s) atteinte(s), position quand l'écoulement de sable se termine, et si cette position est fixe ou non). Le tout dans le repère de l'aquarium, supposé fixe sur Terre.
Je me contenterais d'un calcul à viscosité nulle ou "tendant vers zéro" (à votre convenance). Cependant, si vous désirez faire le calcul avec la "vraie" viscosité de l'eau (parce que c'est plus réaliste, ou parce que ça vous semble indispensable), je vous laisse le soin de chercher vous-même les paramètres qui interviennent.
PS: comme vous ne semblez pas familier avec les écoulements granulaires, je vous indique que le débit massique du sable sera considéré comme égal à sa masse volumique multipliée par la racine carrée de g et par la puissance 5/2 du diamètre du trou. Je vous laisse aussi le choix d'ignorer ce paramètre qui fait varier la vitesse d'écoulement du sable : il suffit que vous indiquiez que vous choisissez que la vitesse restera constante "quoi qu'il arrive" donc constamment égale à 10 g/seconde.
Si j'ai fait des erreurs de calcul dans cette proposition de manip, veuillez m'en exuser et corriger si possible.

[invité576543]

Une question simple, à réponse oui/non

Est-on d'accord que la quantité de mouvement de l'eau est ?

Démonstration:

L'eau occupe le volume intérieur du récipient sauf le volume occupé par le sablier. Son centre de gravité est donc obtenu par l'intégrale de la position sur le volume intérieur du récipient, moins l'intégrale de la position sur le volume du sablier. Le centre de gravité de l'eau se déplace donc à une vitesse qui est la vitesse du sablier multipliée par le rapport de la masse de l'eau qui occuperait le volume du sablier divisé par la masse de l'eau. La qm s'obtenant en multipliant la vitesse du centre de gravité par la vitesse du cdg, la formule proposée est obtenue.

Le raisonnement étant pré-bac, on devrait tous être d'accord...

Cordialement,

[pmdec]

Précision sur mon post #285 : je m'aperçois un peu tard que le "machin" peut "se retourner". On fera comme si non. Mille excuses pour cette bévue (en espérant que c'est la seule).

[pmdec]

Bonsoir,

Une question simple, à réponse oui/non
Est-on d'accord que la quantité de mouvement de l'eau est ?
.../...

Ben, je crois bien que je réponds "oui", d'autant plus que ça va dans le sens d'une manip que j'ai réellement faite et décrite au post #131.

[invité576543]

Question suivante:

Sommes nous d'accord sur les afffirmations suivantes:

(1) Si dv/dt non nulle, alors l'eau subit une force non nulle.

D'où

(2) Au début, à v=0, le sablier accélère, donc dv/dt non nulle, donc une force non nulle s'exerce sur l'eau


Là encore, c'est tellement trivial qu'on ne devrait pas voir de mal à se mettre d'accord.

Cordialement,

[pmdec]

Réponse rapide, car je serai a priori loin d'un quelconque clavier jusqu'à mercredi soir.

Tout, effectivement, me semble "trivial". Deux choses cependant :
1 -si tout déplacement d'un objet dans l'eau implique l'inertie d'une quantité d'eau égale au volume de l'objet, je suis "surpris" que cela ne soit pas plus connu...
2 - même si ça ne change pas grand chose au résultat, je serais plus "satisfait" si l'on considérait que c'est l'eau qui se met en mouvement (du fait que le sablier ne compense plus tout à fait la pression) , mais que le déplacement du centre de gravité dans la partie haute "joue" directement sur le sablier, et donc pour cet effet, que c'est le sablier qui "initie" le mouvement. Mais comme tout est lié, j'au du mal à faire la part des choses.

Un "petit troisièmement" : j'espère que mariposa va nous faire un vrai calcul "pratique" afin de voir à quoi ça conduit quant aux différents mouvements ...

A+, et merci pour votre patience.

[mariposa]

Une question simple, à réponse oui/non
Est-on d'accord que la quantité de mouvement de l'eau est ?
Démonstration:
L'eau occupe le volume intérieur du récipient sauf le volume occupé par le sablier. Son centre de gravité est donc obtenu par l'intégrale de la position sur le volume intérieur du récipient, moins l'intégrale de la position sur le volume du sablier. Le centre de gravité de l'eau se déplace donc à une vitesse qui est la vitesse du sablier multipliée par le rapport de la masse de l'eau qui occuperait le volume du sablier divisé par la masse de l'eau. La qm s'obtenant en multipliant la vitesse du centre de gravité par la vitesse du cdg, la formule proposée est obtenue.
Le raisonnement étant pré-bac, on devrait tous être d'accord...
Cordialement,

La quantité de mouvement dans le liquide s'écrit:
P (t) = Intégrale sur tout le volume du liquide du produit:
...rho.v(r,t).d3r
v(r,t) represente le champ de vitesse dans le liquide
A t= 0 P(t) = 0
Pour un débit de sable constant Im = Dm/dt l'expression asymptotique (après le régime transitoire s'écrit):
.
...P(t) = m.g. t - Ps
.
En effet la source de quantité de mouvement est en régime permanent est:
.
...P°(t) = m.g.t
.
Le sablier a acquis pendant le régime transitoire la quantité de mouvement:
.
..Ps = (M°-m).Vs.
.
Ce qui signifie que l'intégralité de la quantité de mouvement de la source est transférée au le liquide.
.
Attention: ceci est valable tant que la diffusion de la quantité de mouvement ne touche pas les parois qui sont en contact avec le sol.
.
A ce moment là la quantité de mouvement est diffusée vers le sol. la quantité de mouvement dans le liquide tend vers une valeur stationnaire Ps. Tout nouvel apport de quantité de mouvement est encaissée par la Terre.
.
Quand la réserve de sable est épuisée le sablier se débarasse de sa quantité ce mouvement en faveur du liquide et tend vers le repos. Le liquide se débarasse à son tour de sa quantité de mouvement au profit de la Terre. La Terre quant à elle garde la quantité de mouvement (puisqu'elle ne peut pas s'en débarasser.
.
Au bilan on a:
.
La quantité de mouvement de l'ensemble:
.
sable + sablier + eau + Terre est restée en permanence conservée à tous les instants.
.
On peut traduire ceci en disant que le centre de gravité de l'ensemble n'a pas bougé.
.
Donc a ta question oui/non la réponse est clairement NON.

[mariposa]

Complément évident au post 291.
.
.... dP°/dt = Im.sqrt(2.g.H°) (formule approchée).
.
a t= infinii toute la quantité de mouvement est récupérée par la Terre et vaut
.
...Integrale de 0 à l'infini de l'expression précedente vaut:
...Mt.sqrt (2.g.H°)
.
..Mt est la masse totale de sable transféré.
.
Cette quantité de mouvement est transférée sur la Terre de masse gigantesque.
..
Remarque:
.
Dans une expérience ou la quantité de mouvement du sable avait été transférée directement à la Terre (pas de sablier et d'eau) le résultat final aura été directement le même, ce qui sgnifie que le sablier et l'eau se comporte comme un "condensateur" vis a vis de la quantité de mouvement.

[invité576543]

Donc a ta question oui/non la réponse est clairement NON.

Ttt... C'est un simple calcul de centre de gravité d'un volume que je proposais... Oublies les forces, tout ça... Juste un calcul du centre de gravité de l'eau. Fais-le, et tu reconsidérera peut-être le NON.

Tiens un exemple simple... Le sablier est un cylindre, et le récipient un cylindre de même diamètre + epsilon, et de longueur double. Le sablier est à un bout, il se déplace jusqu'à l'autre bout. Le centre de gravité de l'eau ne se déplace pas? Qu'en penses-tu?

Cordialement,

[invité576543]

1 -si tout déplacement d'un objet dans l'eau implique l'inertie d'une quantité d'eau égale au volume de l'objet, je suis "surpris" que cela ne soit pas plus connu...

La valeur de l'inertie est plus compliquée. L'inertie supplémentaire m' doit dépendre de la forme du sablier, elle n'est pas nécessairement égale à la masse d'eau correspondant au volume de l'objet. Intuitivement, il y a clairement des formes où elle est importante, très supérieure à la masse de l'eau qui occuperait le volume du sablier. Je gamberge à essayer de trouver des arguments qualitatifs qui permettraient de dire quelque chose sur un minimum.

Quand au fait que ce ne soit pas connu... Je n'imagine pas du tout que ce ne soit pas connu!

Cordialement,

[invitea160021e]

YAT a parfaitement raison,
Equilibre énergétique avant tout...
Snadol

[zoup1]

Je suis un peu découragé pour rentrer dans la discussion du fait du trop grand nombre de messages et de par le nombre de questions qui s'y posent.
Vous ne voulez pas ouvrir de nouvelles discussions sur des sujets bien ciblés.
- Sinon j'ai commencé à regarder dans mon bouquin d'hydro (Hydrodynamique physique - Guyon -Hulin - Petit)
Bien que ne soit pas persuadé que regarder le problème des fluides parfaits pour le cas du sablier dans l'eau, soit une bonne idée. On peut quand même essayer de répondre à quelques questions qui sont de toute façon intéressantes.
Dans le chapitre sur les écoulements potentiels, on trouve :
La force exercée sur une sphère en mouvement dans un fluide parfait est :
où est le volume de la sphère et est la masse volumique du fluide.

Il y est ajouté : L'effet du fluide sur l'accélération de la sphère est donc le même que si on avait ajouté à la masse de la sphère la moitié de la masse du fluide déplacé par celle-ci. Cette masse fictive, appelée masse ajouté, représente l'habillage de la sphère par le fluide environnant.

[GillesH38a]

Bon ça prend la tête ce problème ! pas eu le temps de tout éplucher en détail, mais je pense être d'accord avec Mmy.

a) tout déplacement du sablier de masse M correspond à un déplacement en sens inverse de l'eau. Si le sablier a une vitesse v, sa q.m. est Mv et celle de l'eau -Me v ou Me est la masse de l'eau déplacée par le sablier. L'ensemble (sablier +eau) se comporte comme un objet de masse (M-Me) (eventuellement négative, c'est le cas lorsque M<Me, objet moins dense que l'eau).

b) pour simplifier le sablier, si on imagine une trappe qui s'ouvre et laisse échapper un seul grain de sable de masse m, celui-ci prend une impulsion mgt . on a alors M-Me = -m, et bizarrement l'impulsion du sablier + eau est aussi vers le bas puisque le sablier remonte ! le sablier prend une impulsion vers le haut mais l'eau a une impulsion plus grande vers le bas.

c) encore plus bizarrement, au moment du choc du grain sur le fond, il semblerait que l'impulsion finale doive s'annuler puisqu'on a nouveau M=Me , alors que l'impulsion nette (grain +sablier+eau) etait vers le bas juste avant le choc ! le choc ne conserve pas l'impulsion ! elle doit être transmise effectivement par l'eau au fond du récipient jusqu'a la Terre, considérée de masse infinie. En fait c'est comme un choc inélastique d'une particule heurtant le sol.

Du coup la conservation de l'impulsion n'est pas applicable, ça ne nous aide pas plus que la conservation de l'énergie on dirait que le sablier peut finir avec n'importe quelle vitesse compatible avec la conservation de l'énergie, le reste étant transformé en chaleur...

[GillesH38a]

avait pas vu le post de Zoup, ça n'a pas l'air très cohérent avec ce que je dis, d'ou vient le facteur 1/2 ?

[zoup1]

avait pas vu le post de Zoup, ça n'a pas l'air très cohérent avec ce que je dis, d'ou vient le facteur 1/2 ?

C'est le résultat d'un calcul qui n'est pas vraiment très simple...

[mariposa]

Je suis un peu découragé pour rentrer dans la discussion du fait du trop grand nombre de messages et de par le nombre de questions qui s'y posent.
Vous ne voulez pas ouvrir de nouvelles discussions sur des sujets bien ciblés.
- Sinon j'ai commencé à regarder dans mon bouquin d'hydro (Hydrodynamique physique - Guyon -Hulin - Petit)
Bien que ne soit pas persuadé que regarder le problème des fluides parfaits pour le cas du sablier dans l'eau, soit une bonne idée. On peut quand même essayer de répondre à quelques questions qui sont de toute façon intéressantes.
Dans le chapitre sur les écoulements potentiels, on trouve :
La force exercée sur une sphère en mouvement dans un fluide parfait est :
où est le volume de la sphère et est la masse volumique du fluide.
Il y est ajouté : L'effet du fluide sur l'accélération de la sphère est donc le même que si on avait ajouté à la masse de la sphère la moitié de la masse du fluide déplacé par celle-ci. Cette masse fictive, appelée masse ajouté, représente l'habillage de la sphère par le fluide environnant.

Bonjour zoup1. tu tombes a pic. J'étais en train de defeuilletrer le livre de Guyon et al.. quand ton message est arrivé.
.
Ne te décourage pas je vais tee donner l'opportunité de rentrer dans le débat.
.
J'ai écrit un nombre de post récent pour agumenter qu'il est impossible de négliger la viscosité et que cela entraine que la force de trainée vaut F= -k.V où k est proportionnel à la viscosité et un facteur de forme géométrique qui prend en compte les caractéristique de chaque écoulement.
Cette description est valable dans le cadre des écoulements quasi-hydrostatiques comme je l'ai expliqué loguement.
Je viens juste de lire ce qui se passe lorsque cette approximation n'est plus valable (voir paragraphe 4.4 page 362 édition 1991) intitulé: Limites de la description de stokes des écoulements à faibles nombre de Reynolds-Equation d'Ossen
Ils démontrent dans le cas de la sphère que la force vaut:
;..F= -6.pi.R.V(1+3/8.Re) + O(Re au carré)
.
Dans mes notations cela s'écrira:
.
...F= -k.V + ka.V2
.
Il faut ajouter un terme correctif en V au carré. Ce qui ne remet bien entendu pas en cause mon équation d'évolution générale que j'ai résolue en régime stationnaire.