Gradient fonction vectorielle en sphérique

[Anakinele]

Bonjour,

Après de longues recherches sur le Web et dans des livres, je n'ai pas réussi à trouver une formule fiable pour le calcul du gradient d'une fonction vectorielle en sphérique. Je cherche une formule "fiable" parce qu'en fait, j'en ai trouvé quatre ou cinq, mais presque toutes différentes (certaines n'ont vraiment rien à voir !).

J'ai lu que le gradient ne dépendait pas (heureusement !) du choix de la "variance" des coordonnées (co-/contra- variantes), il doit donc bien exister une formule unique explicite.

Plus précisément, en fait, si quelqu'un peut m'aider, je cherche à déterminer le développement d'une fonction vectorielle à l'ordre 1 (sa différentielle d'ordre 1), en sphérique. Ma démarche serait de calculer le gradient en sphérique puis de prendre le produit scalaire de celui-ci avec le vecteur , soit ... mais pour cela il me faut le gradient !

Merci d'avance pour toute aide !
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[albanxiii]

Bonjour,

La matrice jacobienne : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobienne ne serait-elle pas un bon point de départ ?

Bonne soirée.

[Anakinele]

Merci pour l'indication, j'avais déjà regardé de ce côté mais du coup j'ai passé un peu plus de temps pour approfondir la question de la matrice jacobienne.

En fait, d'après Wikipedia avec la jacobienne de . Ceci n'est équivalent à la relation que je donne dans mon premier post () que si la jacobienne est le gradient. Mais j'ai un doute à ce sujet... Il me semble que la jacobienne est simplement définie comme une matrice constituée des différentes dérivées partielles, alors que le gradient est l'opérateur différentiel proprement dit, calculé en sphérique via les symboles de Christoffel. Du coup, si quelqu'un qui s'y connait mieux que moi en analyse vectoriel peut m'éclairer un peu, je ne sais pas laquelle des deux relations ci-dessus est juste et doit être utilisée. Jacobien ou gradient ? Dans le second cas, je cherche toujours une formule...

Encore merci par avance !

[vaincent]

Bonjour,

déjà les choses semblent peu clair dans ton esprit. Il ne peut pas exister "plusieurs" formules. C'est simplement toi qui trouve des choses, soient, équivalentes, mais dont le lien t'échappe, soient, différentes, mais qui te semblent équivalentes !

Le gradient d'une fonction vectorielle est ce que l'on appelle la divergence. En soit c'est simplement un produit scalaire du gradient par la fonction vectorielle. En somme que l'on applique le gradient à une fonction scalaire ou vectorielle n'a aucune incidence sur le gradient en lui-même, il ne dépend pas de ce à quoi on l'applique(Donc ton titre aurait dû se limiter à "gradient en coordonnées sphériques").
D'autre part, à moins que tu veuilles travailler sur une variété riemanienne, il n'y a aucun symboles de Christoffel dans l'histoire. Ce n'est pas parce que l'on peut exprimer un quantité en coordonnées sphériques, que l'espace est courbé. Ca n'a rien à voir. Ce sont juste des coordonnées, c'est-à-dire une façon de paramétrer la position d'un point dans l'espace, que celui-ci soit courbe ou non.

Donc à mon avis ce que tu cherches c'est simplement ça :



exprimé dans la base

C'est un très bon exercice que de savoir retrouver cette expression(c'est le genre de trucs que l'on doit faire au moins une fois)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anakinele]

Merci de ta réponse vaincent mais je ne suis pas convaincu !

Une chose est sûr : ce n'est pas clair dans mon esprit, sinon je ne serais pas là.

Je ne vois pas pourquoi le gradient d'une fonction vectorielle serait la divergence. Le "gradient" que je cherche à calculer est un tenseur (si c'en est bien un) à 9 composantes, de la forme de celui visible ici : Introduction à la mécanique des milieux déformables (page 180). Si je considère les relations de mon post précédent, qu'est-ce que cela me donne, alors, concrètement ?

Je connais bien sûr l'expression que tu me donnes (et je l'ai déjà re-calculée) mais je ne suis toujours pas sûr que ce soit ce que je cherche...

[jacquolintégrateur]

@ Anakinle:
Bonjour
Le "gradient d'une fonction vectorielle" est, en fait, la dérivée covariante qui se calcule effectivement au moyen des composantes de la connexion affine, c'est à dire, dans le cas considéré, des symboles de Christoffel. On a:
D_iv^j= d_iv^j +G_ik^jv^k (je m'excuse pour les notations:je suis très mal à l'aise avec les latex!! le D représente l'opérateur de dérivation covariante, "nabla"; et le d représente l'opérateur de dérivation partielle habituel.) G est représenté habituellement par un gamma majuscule. On écrit souvent les trois indices entre crochets. Cela posé, les symboles de christoffel sont donnés par:
G_ij^k= (1/2)g^lk(d_ig_jk+d_jg_ik-d_kg_ij). g_ij représente les composantes covariantes du tenseur métrique. En coordonnées polaires, le calcul des coefficients de connexion affine ne présente aucune difficulté, juste un peu fastidieux. (erreure et excuse: dans la dernière formule, à l'intérieur de la deuxième parenthèse, il faut remplacer les indices k par l pour chacun des trois termes.
Bon courage.
Cordialement.

[coussin]

Merci de ta réponse vaincent mais je ne suis pas convaincu !

Une chose est sûr : ce n'est pas clair dans mon esprit, sinon je ne serais pas là.

Je ne vois pas pourquoi le gradient d'une fonction vectorielle serait la divergence. Le "gradient" que je cherche à calculer est un tenseur (si c'en est bien un) à 9 composantes, de la forme de celui visible ici : Introduction à la mécanique des milieux déformables (page 180). Si je considère les relations de mon post précédent, qu'est-ce que cela me donne, alors, concrètement ?

Je connais bien sûr l'expression que tu me donnes (et je l'ai déjà re-calculée) mais je ne suis toujours pas sûr que ce soit ce que je cherche...

Bah déjà il semble y avoir confusion entre gradient et divergence…
Je suis d'accord avec le message #4.
Le gradient d'une fonction vectorielle est le gradient du message #4 appliqué à chacune des composantes. Ça fait bien 9 composantes en tout

[Anakinele]

Bon, si j'essaie de faire le point :

@ jacquolintégrateur :
Merci, pour quelques indices, l'absence de LaTeX ne me dérange pas ! Tout ça semble correspondre à l'idée que j'avais en tête, mais si c'est ça, je vais être bon pour recalculer moi-même les symboles de Christofell pour vérifier la validité des différentes formules que j'ai trouvé et qui ne sont pas tout à fait équivalentes à une composante ou un signe près.

@ coussin :
J'insiste mais je ne vois pas où est la confusion. Calculer une divergence diminue le rang tensoriel, calculer un gradient l'augmente. Dans mon cas je passe d'un vecteur à un tenseur, je ne vois pas comment cela pourrait être une divergence (...de point de vue peut-être ). D'autre part, je ne crois pas du tout que le gradient d'un vecteur en coordonnées quelconques s'obtienne en appliquant le gradient à chaque composante. Ce n'est pas vrai pour le laplacien vectoriel, je doute beaucoup que cela le soit pour le gradient... même si ainsi "le compte est bon" pour les 9 composantes.

Pour tous les lecteurs :

Si je résume pour avancer : j'en suis à me demander ce que je dois calculer concrétement (gradient, jacobien, autre chose, ... avec une référence biblio à l'appui si vous connaissez) pour développer une fonction vectorielle en sphérique à l'ordre 1.

Merci de me lire !

[invite76543456789]

Salut,
UNe question sans doute stupide, mais c'est quoi les coordonnées spéhriques sur une variété quelconque?

[jacquolintégrateur]

Citation de Anakinele:

Si je résume pour avancer : j'en suis à me demander ce que je dois calculer concrétement (gradient, jacobien, autre chose, ... avec une référence biblio à l'appui si vous connaissez) pour développer une fonction vectorielle en sphérique à l'ordre 1.

Bonjour
Le gradient (en fait la dérivée covariante) d'un champ de vecteurs (qui se généralise immédiatement pour un champ de tenseurs de rang quelconque) est bien donné par la formule que je t'ai indiquée. Le calcul explicite nécessite celui des composantes de la connexion affine, réduite, ici, aux symboles de Christoffel. Dans le cas des coordonnées polaires, ce n'est pas difficile mais un peu fastidieux !! Tu peux tenir compte du fait que pas mal de composantes sont identiques. D'autres sont nulles. On peut noter que, conformément à ce que dit Wiki, il s'agit bien de la matrice J mais, ils ne précisent pas qu'ils l'ont donnée dans le cas (usuel) des coordonnées carthésiennes. Pour des coordonnées curvilignes (ce qui est le cas des polaires cylindriques ou sphèriques) il faut remplacer les dérivées partielles par les dérivées covariantes; Ce serait, bien sûr, à fortiori le cas s'il s'agissait d'un espace de Riemann (dont l'espace Euclidien est un cas particulier). Bien sûr, pour n dimensions, il y a, à priori, n³ composantes de connexion (symboles de Christoffel) à calculer, dont je répète, nombreux sont identiques pour les coordonnées polaires. Pour 3 dimensions, cela fait 27 composantes. Comme les coordonnées polaires sont orthogonales, le tenseur métrique ne possède que 3 composantes non nulles (les coefficients du ds²);
Bon courage.
Cordialement

[Anakinele]

@ jacquolintégrateur :
Merci pour tes explications et tes encouragements. Je comprends bien l'idée (bien que mes connaissances en calcul tensoriel soient très incomplètes, ou plus très fraiches !). J'ai trouvé ce PDF donnant une formule pour le gradient en sphérique, p. 31, formule B.12 (ce qui ne m'empêchera pas de vérifier par moi-même) :
Introduction to Tensors. D'un point de vue dimensionnel ça semble plausible, après, si quelqu'un peut confirmer la validité de l'équation...

@ MissPacMan :
Je ne comprends pas la question si elle m'était adressée...

[vaincent]

Merci de ta réponse vaincent mais je ne suis pas convaincu !

Une chose est sûr : ce n'est pas clair dans mon esprit, sinon je ne serais pas là.

Je ne vois pas pourquoi le gradient d'une fonction vectorielle serait la divergence. Le "gradient" que je cherche à calculer est un tenseur (si c'en est bien un) à 9 composantes, de la forme de celui visible ici : Introduction à la mécanique des milieux déformables (page 180). Si je considère les relations de mon post précédent, qu'est-ce que cela me donne, alors, concrètement ?

Je connais bien sûr l'expression que tu me donnes (et je l'ai déjà re-calculée) mais je ne suis toujours pas sûr que ce soit ce que je cherche...

Ok je vois. Excuse-moi, j'ai mal évalué ton niveau .

[jacquolintégrateur]

Citation de Anakinele:

D'un point de vue dimensionnel ça semble plausible, après, si quelqu'un peut confirmer la validité de l'équation...

Formellement, l'équation est valide et je ne pense pas qu'il y ait d'erreure .... mais, Il faur vérifier point par point !!! Ce cours a l'air très bien. Tu trouves l'expression des symboles de Christoffel à la page 19 (chapitre géométrie différentielle).
Bon courage.

[jacquolintégrateur]

Citation de MissPackMann:

UNe question sans doute stupide, mais c'est quoi les coordonnées spéhriques sur une variété quelconque?

Bonjour
La généralisation n'a guère d'intérêt que si la variété considérée coontient "un groupe de symétrie maximale" autour d'un point (groupe de rotation) Alors on peut définir des coordonnées sphèriques autour du point considéré par les géodésiques passant par le point et les variétés orthogonales. C'est ce qui a lieu en RG, dans le cas du ds² de Schwartzchild et ses diverses généralisation. S'il n'y a pas de groupe de symétrie maximale (ce qui en tout état de cause est une contrainte très forte sur la structure de l'espace .... et donc peu fréquent!!) on peut toujours considérer les géodésiques issues d'un point et les variétés r = constante où r est la longueur d'un arc de géodésiques mmais les sous variétés ainsi obtenues ne sont généralement pas orthogonales aux géodésiques et on perd le bénéfice des coordonnées polaires sphèriques.
Cordialement

[Anakinele]

@ vaincent :
Il n'y a pas de problèmes, c'est l'inconvénient des forums

@ jacquolintégrateur et MissPackMann :
Je vous laisse à vos réflexions, là par contre, je n'ai vraiment pas le niveau !

En tout cas merci à tous, je vous tiens au courant quand je serai un peu plus avancé...

[albanxiii]

Re,

UNe question sans doute stupide, mais c'est quoi les coordonnées spéhriques sur une variété quelconque?

Effectivement, c'est pour cela que je n'ai pas dégainé la dérivée covariante et tout le tremblement.

Bonne soirée.

edit : et puis zut, le lien donné par Akinele concerne un repère orthonormé en espace plat (de toute façon, c'est de la mécanique des milieux continus, a priori étudiée par une personne non masochiste), mais ils sortent l'artillerie.... regardez !