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propriétés dirac



  1. #1
    membreComplexe12

    propriétés dirac


    ------

    Salut tous,

    j'aimerai comprendre les propriétés d'un dirac mais certaines me bloquent comme par exemple :

    et

    par exemple, j'aurai tendance à dire que si je multiplie quelque chose par l'infini (ordonnée du Dirac) alors j'ai quelque chose d'infini !

    bref, rien qu'avec cette question vous avez compris que je n'ai pas bien saisi

    -----

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  3. #2
    LPFR

    Re : propriétés dirac

    Bonjour.
    Vous pouvez imaginer la fonction de Dirac comme la limite d'une fonction qui vaut zéro partout sauf dan un intervalle Δx autour de zéro où elle vaut 1/Δx.
    Et vous pouvez la voir même avant d'atteindre la limite, avec un Δx très petit mais non nul.

    Vous pouvez considérer qu'une fonction à une valeur constante A dans l'intervalle Δx. Donc, l'intégrale vaut A.(1/Δx)Δx = A
    Au revoir.
    Dernière modification par LPFR ; 27/09/2012 à 19h05.

  4. #3
    albanxiii

    Re : propriétés dirac

    Bonjour,

    Comme le suggère LPFR, "le dirac" c'est pas une fonction. On peut le voir comme une limite de certaines suites de fonction, dont LPFR a donné un exemple.

    Les mathématiciens le définissent également comme une forme linéaire sur un certain espace de fonctions. Voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac et http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...%C3%A9matique)

    Mais si les distributions ne vous parlent pas, gardez la définition comme limite d'une suite de fonctions.

    Bonne soirée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  5. #4
    membreComplexe12

    Re : propriétés dirac

    merci beaucoup pour vos réponses !

    => j'aime bien cette vision LPFR merci
    => merci aussi pour lien wiki, faudra que je regarde ceci sérieusement un de es 4

  6. #5
    stefjm

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par membreComplexe12 Voir le message
    Ca me parait faux.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bruno

    Re : propriétés dirac

    Bonjour,

    Comme certains vous l'ont dit il faudra vous coller la théorie des distributions car les notations ou n'ont aucun sens mathématique, vouloir les comprendre est donc vain.
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

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  10. #7
    invite76543456789
    Invité

    Re : propriétés dirac

    Bonjour,
    Pour l'integrale je nuancerais un peu, en disant que c'est pas si moche et qu'on peut voir ca comme une notation user friendly pour <\delta,f>.
    Pour le delta(t)x(t) je rejoins ce que dit Bruno.

  11. #8
    Bruno

    Re : propriétés dirac

    Je ne sais ce qui est le plus user friendly, la notation qui définit l'action de sur une fonction f ou l'horreur ? Même en enlevant le "(t)" associé au Dirac, on est dans un beau pétrin pour démontrer la convergence vers f(0).
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  12. #9
    invite76543456789
    Invité

    Re : propriétés dirac

    C'est juste une notation, il n'y a aucune convergence a verifier, on définit l'action de la masse dirac sur une fonction test comme f->f(0), mais au lieu de noter <T,f>, l'action d'une distribution sur une fonction test, on la note juste , ce qui est coherent avec le fait que la distribution associée a une fonction localement L1 est bien donné par cette formule.

  13. #10
    Bruno

    Re : propriétés dirac

    Mais cette notation intégrale n'a de sens que pour des fonctions réelles... auxquelles on peut associer une distribution, ce qui n'est pas le cas du Dirac.
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  14. #11
    invite76543456789
    Invité

    Re : propriétés dirac

    Une notation a le sens qu'on lui donne, si on décide de noter (et encore une fois, c'est fait par endroit, meme dans certain cours de maths) au lieu de je vois pas vraiment ce qui nous en empeche, et pour le coup, je trouve pas du tout ca stupide comme notation. Sachant que bien sur ca n'est pas du tout une intégrale.

  15. #12
    Bruno

    Re : propriétés dirac

    Là OK mais c'est différent de la notation où on utilise clairement une intégrale impropre, tout ça parce que les calculs qui en découlent "marchent".
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

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  17. #13
    stefjm

    Re : propriétés dirac

    Bonjour,
    Si ça "marche", ça va suffir à un physicien.
    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  18. #14
    Chanur

    Re : propriétés dirac

    Bonjour,
    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bonjour,
    Si ça "marche", ça va suffir à un physicien.
    Cordialement.
    Ça, c'est une réflexion de mathématicien : si vous étiez ingénieur, vous trouveriez les physiciens monstrueusement tatillons et pointilleux !
    Tout est relatif ! ...
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement ; et les mots pour le dire arrivent aisément.

  19. #15
    gatsu

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Là OK mais c'est différent de la notation où on utilise clairement une intégrale impropre, tout ça parce que les calculs qui en découlent "marchent".
    Salut,

    Qu'en serait il d'une notation du type :


    est une suite de fonction ?
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  20. #16
    FlyingDeutschmann

    Re : propriétés dirac

    Salut à tous !

    Bruno, à moins que je ne me trompe, les distributions peuvent servir à définir une mesure sur R (ce n'est peut-être pas vrai pour toutes, mais c'est au moins le cas pour celles qu'on considère en physique comme le Dirac et la fonction de Heavyside), ce qui revient à dire que la notation avec des intégrales est tout à fait "acceptable", au sens où l'on dit que est la mesure que l'on utilise pour intégrer f. Ça ne "marche" pas tout à fait bien avec une construction du type Riemann, mais le formalisme de Lebesgue pour construire les intégrales se prête tout à fait à justifier qu'on fait une intégration lorsqu'on applique un delta à une fonction.

    En gros le mathématicien dirait que ce que fait le physicien revient juste à intégrer avec une mesure telle que , et qu'on note par tradition , parce qu'on peut aussi utiliser telle que mais que c'est plus sympathique de la noter .

  21. #17
    coussin

    Re : propriétés dirac

    Moi qui ne suis pas mathématicien, voilà comment je vois les choses
    - Une fonction est un truc qui associe un nombre à un nombre.
    - Une distribution est un truc qui associe un nombre à une fonction.

    Si on est d'accord là-dessus, delta est une distribution qui associe le nombre f(0) à une fonction f. Point. Après, comment on note ça c'est une autre histoire.

  22. #18
    Amanuensis

    Re : propriétés dirac

    Le danger de laisser penser, et noter, une distribution comme une fonction (un truc qui associe un nombre à un nombre) est que cela peut amener des raisonnements faux.

    Exemple : qu'est-ce que la distribution ?

    Réponse naïve : la même chose que , puisque cela vaut l'infini en 0 et 0 partout ailleurs...

    La bonne réponse n'est pas vraiment intuitive...

    Bien distinguer les distributions et les fonctions, et éventuellement noter différemment, sont de bons garde-fous...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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  24. #19
    invite76543456789
    Invité

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le danger de laisser penser, et noter, une distribution comme une fonction (un truc qui associe un nombre à un nombre) est que cela peut amener des raisonnements faux.

    Exemple : qu'est-ce que la distribution ?

    Réponse naïve : la même chose que , puisque cela vaut l'infini en 0 et 0 partout ailleurs...

    La bonne réponse n'est pas vraiment intuitive...

    Bien distinguer les distributions et les fonctions, et éventuellement noter différemment, sont de bons garde-fous...
    Pourtant, je trouve que justement la notation intégrale permet de trouver justement facilement la réponse a ce genre de question puisque si est une fonction test alors et plus generalement on voit que ou m_a est l'operateur de multiplication de l'argument par a.

    Apres bon ca marche aussi tres bien avec la notation plus classique <T,\phi> (que j'utilise personellement) mais la notation avec intégrale est pas du tout stupide. Apres c'est comme tout les gouts et les couleurs... De toute façon quand on a bien compris ce qui se passait, on peut utiliser les notations que l'on veut, ca fait aucune difference de fond.
    Dernière modification par invite76543456789 ; 28/09/2012 à 17h22.

  25. #20
    Amanuensis

    Re : propriétés dirac

    Ce que j'ai appris c'est delta divisé par la valeur absolue de a, pas par a. (Ce qui est assez naturel, puisque delta(-x) n'est pas ce qui à f associe -f(0).)

    De toute façon quand on a bien compris ce qui se passait, on peut utiliser les notations que l'on veut, ca fait aucune difference de fond.
    Oui. Quand on !

    Le problème est l'effet des notations avant que ce "quand" survienne...
    Dernière modification par Amanuensis ; 28/09/2012 à 17h30.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  26. #21
    invite76543456789
    Invité

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Ce que j'ai appris c'est delta divisé par la valeur absolue de a, pas par a. (Ce qui est assez naturel, puisque delta(-x) n'est pas ce qui à f associe -f(0).)
    Arf, diable de valeur absolu du jacobien que j'oublie!!
    Pour le reste c'est une question de pedagogie, je ne me prononcerai pas, mais mathématiquement ca se tient, c'est tout ce que je voulais dire.
    Dernière modification par invite76543456789 ; 28/09/2012 à 17h34.

  27. #22
    Amanuensis

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par MissPacMan Voir le message
    Arf, diable de valeur absolu du jacobien que j'oublie!!
    L'air de rien, cet oubli conforte d'une certaine manière l'idée que la bonne réponse n'est pas vraiment intuitive...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  28. #23
    stefjm

    Re : propriétés dirac

    Il me semble que ce problème de signe est "difficile" dans le sens peu intuitif, même pour de simples fonctions. (sans parler de distributions.)

    Ex : en transformée de Laplace.
    f(t) se transforme en F(p)

    f(a.t) se transforme en
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  29. #24
    Bruno

    Re : propriétés dirac

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Chanur Voir le message
    Ça, c'est une réflexion de mathématicien : si vous étiez ingénieur, vous trouveriez les physiciens monstrueusement tatillons et pointilleux ! Tout est relatif ! ...
    Je ne suis pas mathématicien et pourtant...

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Qu'en serait il d'une notation du type :


    est une suite de fonction ?
    Bah c'est comme qu'on introduit le delta de Dirac lorsqu'on a pas besoin des distributions mais je crois me souvenir que les arguments permettant de conclure à la convergence ne sont pas évidents, sans compter qu'il existe plusieurs suites \delta_n possibles, que la limite de \delta_n n'existe pas et que la fonction ainsi définie n'en est pas une.

    Citation Envoyé par FlyingDeutschmann Voir le message
    Bruno, à moins que je ne me trompe, les distributions peuvent servir à définir une mesure sur R (ce n'est peut-être pas vrai pour toutes, mais c'est au moins le cas pour celles qu'on considère en physique comme le Dirac et la fonction de Heavyside), ce qui revient à dire que la notation avec des intégrales est tout à fait "acceptable", au sens où l'on dit que est la mesure que l'on utilise pour intégrer f. Ça ne "marche" pas tout à fait bien avec une construction du type Riemann, mais le formalisme de Lebesgue pour construire les intégrales se prête tout à fait à justifier qu'on fait une intégration lorsqu'on applique un delta à une fonction.
    Je ne connais pas assez la théorie de la mesure mais je doute que cette approche type "boite noire" réponde à la question posée.

    Ce n'est que mon avis, mais je vois ces notations comme une manière de contourner la théorie des distributions. Si on souhaite comprendre alors il est évident qu'il ne faut plus recourir à cet artifice. Surtout que la notation <\delta,f> est vraiment facile à manipuler !
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

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  31. #25
    invite76543456789
    Invité

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    L'air de rien, cet oubli conforte d'une certaine manière l'idée que la bonne réponse n'est pas vraiment intuitive...
    Pourquoi? J'ai juste fait une erreur de signe dans la formule de changement de variable. Si on applique bien cette formule, on a la bonne formule.

  32. #26
    gatsu

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message

    Bah c'est comme qu'on introduit le delta de Dirac lorsqu'on a pas besoin des distributions mais je crois me souvenir que les arguments permettant de conclure à la convergence ne sont pas évidents, sans compter qu'il existe plusieurs suites \delta_n possibles, que la limite de \delta_n n'existe pas et que la fonction ainsi définie n'en est pas une.
    Oui enfin on est en physique là, c'est aux matheux de s'occuper des arguments pour conclure à la convergence. Nous après on arrive et on dit "les matheux savent que : blablabla...".

    Pour ce qui est de la limite d'une suite de fonction, je ne vois pas trop où est le problème en pratique...de la même façon qu'une intégrale sur tout l'axe réel se fait en considérant des bornes finies et en prenant la limite infinie, ba ici on fait pareil : on obtient un objet qu'on n'a pas le droit d'écrire mais qui est bien défini mathématiquement en utilisant une limite.

    Ce n'est que mon avis, mais je vois ces notations comme une manière de contourner la théorie des distributions. Si on souhaite comprendre alors il est évident qu'il ne faut plus recourir à cet artifice. Surtout que la notation <\delta,f> est vraiment facile à manipuler !
    Pour les physiciens, il est plutot rare de travailler dans les duals des espaces dans lesquels vivent nos grandeurs physique. On préfère interpréter l'action d'un élément du dual comme un produit scalaire agissant sur deux éléments de l'espace de départ. La version "fonction" de la distribution de Dirac suit cette logique que certains ont tendence à trouver plus commode.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  33. #27
    Bruno

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Pour ce qui est de la limite d'une suite de fonction, je ne vois pas trop où est le problème en pratique...
    Le problème est que n'existe pas en 0.

    de la même façon qu'une intégrale sur tout l'axe réel se fait en considérant des bornes finies et en prenant la limite infinie
    Oui mais dans ces cas la limite existe (sinon on arrive à des interprétations type énergie infinie).
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson

  34. #28
    gatsu

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Le problème est que n'existe pas en 0.
    La limite n'est en effet pas clairement définie dans l'espace des fonctions mais elle ne vaut pas n'importe quoi non plus, son intégrale étant finie. On peut donc très bien le présenter comme un objet qui est la limite d'une suite de fonction mais qui converge dans un espace moins stricte que celui des fonctions i.e. l'espace des distributions dont le sens n'est clairement défini que via l'action d'une intégrale.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  35. #29
    Tryss

    Re : propriétés dirac

    La limite n'est en effet pas clairement définie dans l'espace des fonctions mais elle ne vaut pas n'importe quoi non plus,
    De fait, la limite peut parfaitement être définie dans l'espace des fonctions :

    Si

    Alors presque partout


    On a , donc elle pourrait converger dans , par contre , donc aucune chance qu'elle puisse converger dans L² (

    La question de savoir dans quel espace on se place, et quelle topologie on utilise, est fondamental pour parler de convergence.

    Par exemple, on peut dire que :
    - sur [0,1] ne converge pas (dans les fonctions continues, munies de la norme uniforme)
    - converge vers 0 (au sens faible dans L²)

  36. #30
    gatsu

    Re : propriétés dirac

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    De fait, la limite peut parfaitement être définie dans l'espace des fonctions :

    Si

    Alors presque partout


    On a , donc elle pourrait converger dans , par contre , donc aucune chance qu'elle puisse converger dans L² (

    La question de savoir dans quel espace on se place, et quelle topologie on utilise, est fondamental pour parler de convergence.

    Par exemple, on peut dire que :
    - sur [0,1] ne converge pas (dans les fonctions continues, munies de la norme uniforme)
    - converge vers 0 (au sens faible dans L²)
    Ok merci pour la précision.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

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