Vitesse autorisée dans une trajectoire circulaire

[invite0a531108]

bonjour à tous,

je suis en train de me creusé les méninges sur un exercice très intéressant mais un peu compliqué pour moi, pourriez vous m'aider s'il vous plait.


voici mon énoncé :


Une voiture doit négocier un virage en quart de cercle, de rayon 50m. Le profil
de l’asphalte est relevé d’un angle  = 40° vers l’extérieur et le coefficient
de frottement statique des pneus sur l’asphalte vaut μs = 0, 6. Déterminez la
plage autorisée pour la vitesse du véhicule afin qu’il reste sur une trajectoire
circulaire.


voici la réponse du syllabus


v = [8, 832; 37, 70]m/s


voici ma résolution :


je vous avoue que je suis un peu perdu pour la résolution de cet exercice :


nous avons le rayons : 50 m

la distance qu'il parcoure : un quart de cercle : 3,14 *25 m

l'angle de la route : 40°

le coefficient de frottement des pneus avec la route : 0,6


je sais que l'accélération centripète permet d’obtenir la trajectoire circulaire et l'accélération tangentielle permet de modifier le module de la vitesse v sur la
trajectoire circulaire.

a_c = V²/R

a_t = dv/dt


je n'arrive pas à relier toutes ces données afin d'arriver à un résultat, pourriez vous m'aider s'il vous plaît
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[Etrange]

Salut,

Je te conseille de te placer dans le référentiel accéléré de la voiture. Dans le bilan des forces sur la voiture apparaît alors la pseudo force centrifuge. Une fois cette force ajoutée tu pourras continuer en raisonnant normalement. Le bilan des forces doit être nul car la voiture est immobile dans son référentiel.

[invite0a531108]

bonsoir Etrange,

merci de tes conseils.

je ne sais ce qu'est "le référentiel accéléré de la voiture"

voici mon petit schéma de la situation





j'obtiens une sorte de repère tridimensionnel et je suis perdu

[Nicophil]

Bonsoir,

je ne sais ce qu'est "le référentiel accéléré de la voiture"

Il faut se placer dans le référentiel de la voiture et il est accéléré (par opposition à inertiel).
Le référentiel de la voiture, c'est celui où la voiture reste immobile à l'origine des trois axes x, y, z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a531108]

bonsoir ,

merci de vos explications , si je prend ce repère, les forces agissant sont alors la force de centripède la gravité et la force de frottement non ?

[Etrange]

Re.

Comme l'a précisé Nicophil, il faut se placer dans le référentiel immobile par rapport à la voiture. Ce référentiel subit la même accélération a que la voiture. Lorsque l'on se place dans ce référentiel tout se passe comme si le champ de pesanteur g était modifié. Le nouveau champ apparent est g-a et le poids apparent est donc lui aussi modifié. Le reste de l'étude se fait normalement, la voiture étant à l'équilibre, la somme des forces doit être nulle.

[invite7cd2b282]

Bonsoir,

Si tu veux, on peut faire la physique sans utiliser la force centrifuge et en restant dans le repère intertielle terrestre, mais il est alors très fortement conseillé d'exprimer les vitesses et accélération dans la base cylindrique. La base a le droit de tourner, ça ne change rien à Newton.

On a donc bien comme tu le dis que l'accélération vaut mv²/R, suivant . Les accélérations sont nulles sur et (on suppose qu'on fait le virage à vitesse constante).
Or, le poids est suivant tandis que la force de frottement se projette sur et avec l'angle de la route, ainsi que la réaction normale de la route.

Les conditions :
- la somme des projections de la force de frottement et de la réaction normale suivant doit être égal au poids
- la somme des projections de la force de frottement et de la réaction normale suivant doit être égal à -mv²/R

ect...

[invite0a531108]

bonjour,

tout d'abord un grand merci de vos explications ainsi que vos conseils.


si je comprend bien ce que Theophane me dit, j'ai alors les force suivante qui agissent :



donc

bilan des forces à l'horizontale:

-mv²/R= N*cos 40° + f*cos 40°

bilan des force à la verticale

P= N*sin 40° + f * sin 40°

ce qui me donne

-v²/R*g = 1,2

ensuite je suis blogué, pourriez vous m'aider s'il vous plait

[invite7cd2b282]

Bonjour,

(petit détail en relisant mon message, ce que j'ai appelé des conditions sont en fait la simple application de la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre, projetée sur la base cylindrique, ce n'est donc pas tout à fait un bilan des forces que tu fais).

Sinon, il faut que tu distingues 2 cas : f orientée vers l'extérieur du virage (cas des faibles vitesses) et f orientée vers l'intérieur du virage (cas des fortes vitesses).
Tes 2 lignes sont fausses dans la projection de N (n'oublie pas que ces 2 forces sont orthogonales), et tu as choisi le cas f vers l'extérieur du virage.

Ensuite, tu ne connais pas la valeur de N (en effet, N va dépendre de la vitesse), et le mouvement reste possible tant que |f|<0,6*N.
Tu as donc une condition du type |f|<u(v), où u est une certaine fonction à déterminer.

[invite0a531108]

merci,

je comprend que f et N soit perpendiculaire mais je ne comprend comment cela peut m'aider à corriger mes projections.

[Etrange]

Salut,

Personnellement je procéderais comme suit :
Je garderais l’égalité vectorielle issue de l'application de la deuxième loi de Newton qui donne P+R=ma. On a alors R=ma-P en remarquant que P=-Pe_z et a=-ae_r ou a et P sont les normes des vecteurs de mêmes noms. On connait ainsi les composantes de R dans notre repère cylindrique. On peut donc calculer l'angle (R, e_z) en prenant l’arc-tangente du rapport des composantes.
La contrainte de non glissement impose que la réaction du support R soit contenue dans le cône de frottement. On doit avoir |Rx/Ry|<0,6 où Rx est la norme de la composante de R selon la route et Ry celle normale à la piste. En prenant le cas limite on a Rx/Ry=0,6 ou Rx/Ry=-0,6.
La route forme un angle de 40° par rapport au sol. On traduit donc la condition de non glissement sous la forme d'une contrainte sur l'angle que l'on change de base pour se ramener dans le repère cylindrique de départ et l'on déduit la condition induite sur la vitesse du véhicule.

[invite7cd2b282]

Re,

Je t'ai dessiné le bilan des forces pour que tu y vois plus clair, même si ta figure est à peu près pas mal (a_r est dans le mauvais sens par contre). L'accélération centripète vaut v²/R*.



Tu te relis peut-être trop vite, mais tu as écrit 2 fois sinus et 2 fois cosinus pour les même vecteurs de projection.
Si on fait alpha = 0°, avec tes formules on trouve P = 0, ce qui est gênant (et aussi mv²/R = N+F_f, ce qui n'a pas trop de sens non plus).

Je n'avais pas pensé à la méthode d'Etrange, mais elle est bonne aussi.

PS : erreur sur la figure : en haut, c'est e_z au lieu de e_theta bien sûr.

[invite0a531108]

un très très grand merci de votre aide.

je remarque que je ne sais comment faire pour calculer une composante et cela est pourtant la base de ces calculs .

Si je prend la méthode d'Etrange, qui m'avait déjà donné ce même type de résolution pour un autre MCU également.


P+R=ma

R = ma-P

mon problème est donc toujours le même, les composantes...

pourriez vous m'expliquer comment je dois procéder pour obtenir les composantes s'il vous plait.

[invite7cd2b282]

Re,

Pour projeter, regarde cette image.


Par exemple ici, tu as

[Etrange]

Re.

La composante d'un vecteur quelconque A le long d'une droite (D) (le long d'une direction) de vecteur directeur unitaire u vaut A.u soit A*cos(A,u) car la norme de u est 1. Dans le cas où l'on dispose d'une base orthonormée comme c'est le cas ici avec (e_r, e_z), les composantes sont les coordonnées du vecteur dans la base. Ainsi, si un vecteur A s’écrit A_re_r+A_ze_z exprimé dans notre base alors A_r et A_z sont ses composantes suivant e_r et e_z respectivement.

Dans le cas du problème on a pu exprimer la réaction R du support en fonction des vecteurs de la base orthonormée (e_r, e_z) on a donc directement les composantes du vecteur. On peut ainsi déduire l'angle que forme le vecteur avec la verticale en utilisant la fonction arc-tangente.

EDIT: croisement avec Theophane, son image est parlante.

[invite0a531108]

comment puis je faire alors lorsque P et a sont soit parallèle à l'axe X ou orthogonale ? car c'est le cas ici

[Etrange]

Reprend la relation donnant R en fonction de P et a, remplace ces deux derniers vecteurs par leurs expressions en fonction des vecteurs unitaires de la base que j'ai écrites précédemment. Tu auras directement les composantes de R.

[invite0a531108]

Donc :

R =-aer - -Pez

R = -a + mg ?

[invite0a531108]

si je comprend bien .

si je fais les composantes chacune des force :

F = F cos 40 + F sin 40

N = -N cos 50 + -N sin 50

P = - mg

a = a

donc R = a+mg

[Etrange]

Non, R = -mae_r + mge_z. Attention aux signes ! P, la norme de P ne vaut pas -mg mais mg.

[invite0a531108]

pourquoi sa norme ne vaut telle pas -mg ?

si je dessine un graphique :



P est diriger mais vous me dites que sa norme est positive ... de plus vous dites : R = -maer + mgez. pour les norme donc nous retrouvons R= -ma-(-mgez)

[Etrange]

La norme est toujours positive ou nulle. Tu ne peux pas dire P = -mg. La valeur -mg viendra remplacer P dans la projection de l’équation selon l'axe vertical, le - vient de la projection sur la direction verticale de vecteur directeur unitaire e_z.
P.e_z = -mg.

[invite0a531108]

d'accord, je vient de comprend : en résumé une norme toujours possitive mais il fait regarder le e.. pour le signe

[invite0a531108]

a présent il faut que je fasse arctang le rapport des composant de R pour trouver l'angle associé mais il me manque l'accélération ..

[Etrange]

Oui en fait on part de l’équation vectorielle P+R=ma par exemple et on la projette selon les axes de notre repère. C'est cette projection qui va amener le signe négatif devant mg car, le plus souvent, l'axe vertical est dirigé vers le haut et P vers le bas.

EDIT: Oui, tu trouveras l'angle entre R et e_z.

[invite0a531108]

donc actg ( -maer/-mgez )

actg (a/g) mais il me manque toujours "a"

[invite7cd2b282]

Voir la fin de ton premier message !

a = v²/R car mouvement de rotation uniforme.

[invite0a531108]

actg (a/g) = 40

a = tg40 * g

v²/R = tg40*g

v = racine ( tg40 * g * r ) = 20,29 m/s

[Etrange]

Tu dois trouver la condition sur l'angle qui n'est pas atan(a/g) = 40. Tu obtiendras cette condition en calculant l'angle du cône de frottement. Regarde sur Wikipedia pour plus de détails.

[invite0a531108]

merci de cette correction