J'ai toujours bloqué sur l'expérience de Michelson et Morley

[Deedee81]

Salut,

Est-ce que ma liste est complète ?

En tout cas suffisante pour illustrer le raisonnement. Peut-être ajouter "l'ensemble des expériences en électromagnétisme"

Ne peut-on pas remplacer cet éther d'antan par l'espace-temps, tout simplement ? Et ensuite songer à l'effet Lense-Thirring si on se demande si celui-ci peut être "entraîné" ou non...

Mais en oubliant le mot "éther" devenu sulfureux (utilisé par trop de cranks) et galvaudé (utilisé pour nommer tout et n'importe quoi).

Il ne faut pas oublier qu'en RG le vide n'est pas vide : il y a le champ gravitationnel. En l'absence de celui-ci, pas de référentiel privilégié, pas d'effet Lense-Thirring,.... La seule difficulté conceptuelle est cette intrication (au sens étymologique, pas quantique ) entre espace-temps et champ gravitationnel.
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[invitebdfd0719]

Bonjour,

Oui, les expériences en électromagnétisme, mais ces gens-là ne causent pas comme tout le monde, ils éructent des formules mathématiques à longueur de pages !Ils ne peuvent pas parler plus clairement ?

Le vide n'est pas seulement rempli de champ gravitationnel, il y a aussi les rayonnements électromagnétiques (justement !) qui doivent bien y circuler pour nous arriver du fin fond de l'univers, et tout ce qui nous parvient de ces contrées lointaines où l'on n'ira jamais en vacances, trop courtes les vacances !

[Amanuensis]

Ne peut-on pas remplacer cet éther d'antan par l'espace-temps, tout simplement ? Et ensuite songer à l'effet Lense-Thirring si on se demande si celui-ci peut être "entraîné" ou non...

On pourrait surtout refuser de réifier un arrière-plan. Quel besoin y a-t-il de considérer comme "substance" ce qui ne sert que de repérage, alors que ce qu'exprime la physique sont des relations observables?

https://en.wikipedia.org/wiki/Background_independence

[Amanuensis]

Oui, les expériences en électromagnétisme, mais ces gens-là ne causent pas comme tout le monde, ils éructent des formules mathématiques à longueur de pages !Ils ne peuvent pas parler plus clairement ?

Ben non justement. C'est pour être clair (au sens non ambigu, au sens le moins sujet à des interprétations personnelles) qu'ils utilisent un langage particulier.

Pour le comprendre, suffit de l'apprendre.

Pour faire un parallèle, si vous voulez programmer un ordinateur, vous pourrez toujours demander de le faire en "langage naturel" et pester contre les spécialistes qui vous répondent négativement ; mais si vous êtes vraiment intéressé à obtenir quelque chose, vous apprendrez et utiliserez un langage précis et adapté.

[Deedee81]

Je plussoie. Deux fois.

De toute façon, on peut aussi envisager l'aspect expérimental pur. Des expériences d'EM il y en a eut des centaines au XIXe.

Bien entendu, on doit revenir à Maxwell pour vérifier que :
- la théorie est bien validée par ces expériences (ça peut se vérifier avec assez peu d'expériences en fait, donnant le théorème de Gauss, le champ électrostatique de Coulomb, l'induction de Faraday, etc...) En particulier dans n'importe quel référentiel.
- elle prédit une vitesse de la lumière systématiquement égale à c (dans le vide)

Et si possible avec la formulation moderne (qui est simple et élégante, surtout en formalisme quadrivectoriel), pas avec celle de Maxwell qui était plutôt épouvantable (merci Heaviside d'avoir "nettoyé")

Concernant l'arrière-plan en RG, tout à fait d'accord. Il existe d'ailleurs des analyses purement relationnelle de la RG mais je ne connais pas bien (je crois que le champion de cette approche est Rovelli).

[chaverondier]

Il ne faut pas oublier qu'en RG le vide n'est pas vide : il y a le champ gravitationnel. En l'absence de celui-ci, pas de référentiel privilégié.

Bon, je pinaille un chouilla. La notion de référentiel privilégié est, en pratique, omini-présente en RG (bien qu'on prétende souvent l'inverse en raison d'une confusion entre invariance de Lorentz locale et invariance de Lorentz globale). La présence de référentiels privilégiés en RG découle le plus souvent, comme tu le signales, du champ gravitationnel.

Toutefois, l'absence de champ gravitationnel n'est pas une condition suffisante pour garantir l'absence de référentiel privilégié en RG. il faut rajouter une condition supplémentaire sur la topologie de l'espace-temps. Par exemple, ajoutée à l'absence de champ gravitationnel (1), l'hypothèse d'une topologie triviale (celle de R^4) suffit à garantir l'absence de référentiel privilégié. C'est normal puisque ces deux conditions suffisent à imposer à l'espace-temps de la RG d'être alors le cas particulier de l'espace-temps de Minkowski. Il est soumis à une invariance de Lorentz globale (et non seulement locale).

C'est cela qui garantit la non unicité (dans l'espace-temps de Minkowski) des référentiels chute libre (les feuilletages en géodésiques 1D de type temps)

• possédant un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité (pseudo)orthogonal au feuilletage 1D considéré
• tels que le temps propre séparant ces feuillets 3D de simultanéité soit le même pour tous les observateurs (les feuillets 1D) du référentiel.

Les observateurs d'un même référentiel inertiel vieillissent en effet à la même vitesse (2).
Dans l'espace-temps de Minkowski, les référentiels respectant l'ensemble des conditions ci-dessus sont les référentiels inertiels.

Dans l'espace-temps statique hypertorique (pourtant dénué de champ gravitationnel) un seul référentiel respecte ces 3 conditions. C'est le référentiel inertiel dans lequel les observateurs vieillissent le plus vite.

Dans l'espace-temps statique hypertorique :

• Les observateurs inertiels en mouvement à vitesse v (par rapport au référentiel inertiel immobile de cet espace-temps) vieillissent plus lentement que les observateurs immobiles. Leur horloge tourne au ralenti à une fréquence (1-v²/c²)^(1/2) fois moins rapide.
• Le mètre des observateurs en mouvement à vitesse v est plus court, selon le même rapport, que celui des observateurs immobiles.
• En se déplaçant à vitesse v le long d'une géodésique spatiale se "refermant sur elle même", un émetteur récepteur reçoit un signal lumineux émis "vers l'arrière" (donc se déplaçant à vitesse (c+v)/(1-v²/c²) par rapport à l'émetteur-récepteur (3)) avant le signal lumineux émis pourtant en même temps "vers l'avant" (donc se déplaçant à vitesse (c-v)/(1-v²/c²) par rapport à l'émetteur-récepteur)

(1) Ne pas confondre l'absence de matière avec l'absence de champ gravitationnel. Dans l'espace-temps vide de Schwarzschild par exemple la masse M est modélisée par la courbure gravitationnelle présente dans cet espace-temps, par contre, il n'y a pas d'objet de masse M contenu dans cet espace-temps.

(2) Comme dans le référentiel (unique par contre) de Lemaître de l'espace-temps de Schwarzschild ou encore comme dans le référentiel immobile (unique aussi) de l'espace-temps 4D statique hypertorique pourtant dénué de champ gravitationnel.

(3) Si l'émetteur-récepteur des signaux lumineux réalise une mesure globale de la vitesse relative de la lumière, entre instant d'émission et instant de réception après un tour d'univers, avec ses instruments de mesure de distance et de temps.

[Deedee81]

Salut,

Toutefois, l'absence de champ gravitationnel n'est pas une condition suffisante pour garantir l'absence de référentiel privilégié en RG.

Exact. Je ne voulais pas trop approfondir. Merci pour ces explications détaillées.

[Amanuensis]

La notion de référentiel privilégié est, en pratique, omini-présente en RG

Bof... Elle est omniprésente dans les solutions détaillées qui ont été étudiées, oui.

Mais c'est simplement parce que ces solutions sont très particulières, avec de très fortes symétries, choisies explicitement afin de simplifier suffisamment les équations pour qu'on puisse en exhiber des solutions. Ce sont ces symétries qui amènent des référentiels privilégiés, ce n'est pas intrinsèque à la RG. Au contraire, en toute généralité le cadre de la RG n'est même pas propice a des référentiels, encore moins à des référentiels privilégiés.

En d'autres mots il y a un très fort biais dans les exemples, biais directement lié à une très forte simplification. Et il ne faut pas prendre des propriétés liées à ces biais comme des propriétés générales.

[Deedee81]

Ah oui, excellente remarque ça. D'ailleurs, dans les situations "réalistes" étudiées numériquement (par les techniques hamiltoniennes etc...) ça pose parfois des problèmes épineux.

[chaverondier]

Bof... Elle est omniprésente dans les solutions détaillées qui ont été étudiées, oui.

Je détaille un peu votre remarque et je complète la mienne par la même occasion (je n'ai pas forcément été très clair).

Ce qui est omniprésent dans les solutions détaillées de la Relativité Générale qui ont été étudiées, c'est un référentiel privilégié (unique) qui soit à la fois:

• chute libre (un feuilletage en feuillets 1D de type temps qui sont des géodésiques donc)
• possédant un feuilletage 3D (pseudo)orthogonal en feuillets 3D de simultanéité
• ces feuillets 3D de simultanéité étant séparés par des temps propres identiques pour tous "les observateurs au repos" dans ce référentiel (les géodésiques dont l'ensemble est le référentiel)

Ce qui est toujours absent dans les espace-temps de la Relativité Générale c'est l'existence d'une classe de référentiels chute libre (sous-entendu non réduite à un référentiel unique) respectant ces propriétés. En Relativité Générale, sauf dans le cas particulier unique de l'espace-temps de Minkowski (très important puisque, dans toutes les variétés pseudo-riemaniennes, c'est l'espace-tangent modélisant l'invariance locale vis à vis des actions du groupe de Lorentz), quand existe un référentiel (global) chute libre possédant les propriétés ci-dessus, il est unique.

[chaverondier]

Correction

Ce qui est omniprésent dans les solutions détaillées de la Relativité Générale qui ont été étudiées, c'est un référentiel privilégié (unique) qui soit à la fois:

• chute libre (un feuilletage en feuillets 1D de type temps qui sont des géodésiques donc)
• possédant un feuilletage 3D (pseudo)orthogonal en feuillets 3D de simultanéité
• ces feuillets 3D de simultanéité étant séparés par des temps propres identiques pour tous "les observateurs au repos" dans ce référentiel (les géodésiques dont l'ensemble est le référentiel)

Ca, ça va.

Ce qui est toujours absent dans les espace-temps de la Relativité Générale c'est l'existence d'une classe de référentiels chute libre (sous-entendu non réduite à un référentiel unique) respectant ces propriétés. En Relativité Générale, sauf dans le cas particulier unique de l'espace-temps de Minkowski (très important puisque, dans toutes les variétés pseudo-riemaniennes, c'est l'espace-tangent modélisant l'invariance locale vis à vis des actions du groupe de Lorentz), quand existe un référentiel (global) chute libre possédant les propriétés ci-dessus, il est unique.

Ca non (désolé). Le toujours est incorrect. Exemple

Pour le référentiel de Lemaître, il faut une propriété de plus pour le distinguer de ses "collègues". Je veux parler des référentiels formés d'observateurs en chute libre "lâchés eux aussi de très haut" au dessus de la singularité initiale, mais à une même vitesse centripète (ou centrifuge) non nulle.

Dans l'espace-temps statique hypercylindrique, la notion d'immobilité absolue n'existe que dans une seule direction spatiale (et non pas 3 comme c'est le cas dans l'espace-temps statique hypertorique), celle des géodésiques spatiales les plus courtes qui se referment sur elles même (en un seul tour donc). Dans l'espace-temps statique hypercylindrique on a donc une famille de référentiels inertiels, immobiles dans la direction spatiale privilégiée de cet espace-temps, mais physiquement indistinguables les uns des autres sans pour autant être réduite à un référentiel privilégié unique.

Ps : Dans l'espace-temps statique hypertorique, un truc amusant c'est qu'un Michelson Morley y donne aussi un résultat nul. Pourtant, dans cet espace-temps là, il y a bien un référentiel privilégié d'immobilité, mais le Morley Michelson ne le "voit pas". Dans cet espace-temps, l'explication de l'absence de "vent d'éther" pour un observateur pourtant en mouvement inertiel à vitesse non nulle dans cet espace-temps est très simple : c'est celle proposée par Lorentz. Le bras de l'interféromètre de Morley Michelson colinéaire au mouvement est contracté par la contraction de Lorentz (et, vis à vis d'un Morley Michelson en mouvement, la lumière avance moins vite "vers l'avant" que "vers l'arrière").

[Amanuensis]

Ce qui est omniprésent dans les solutions détaillées de la Relativité Générale qui ont été étudiées, c'est un référentiel privilégié (unique) qui soit à la fois:

• chute libre (un feuilletage en feuillets 1D de type temps qui sont des géodésiques donc)
• possédant un feuilletage 3D (pseudo)orthogonal en feuillets 3D de simultanéité
• ces feuillets 3D de simultanéité étant séparés par des temps propres identiques pour tous "les observateurs au repos" dans ce référentiel (les géodésiques dont l'ensemble est le référentiel)

? Je ne vois comment l'espace-temps de Schwarzschild répond à ce critère. Le référentiel privilégié usuel ne respecte que la deuxième propriété, propriété qu'on trouve dans toutes les solutions statiques. Non?

[Deedee81]

Salut,

On est un peut HS mais c'est vraiment intéressant

? Je ne vois comment l'espace-temps de Schwarzschild répond à ce critère. Le référentiel privilégié usuel ne respecte que la deuxième propriété, propriété qu'on trouve dans toutes les solutions statiques. Non?

Pour la métrique extérieur, il n'y a pas de problème, mais pour la métrique extérieur je vois le même problème.

Je vais peut-être dire une énorme bêtise (Amanuensis, Chaverondier, corrigez-moi si je me trompe), mais il me semble qu'une telle définition ne peut s'appliquer qu'en présence de symétries suffisantes que pour pouvoir définir un champ de vecteurs de Killing. Or c'est en réalité une situation plutôt exceptionnelle.

[inviteb6b93040]

Salut

J'avoue moi ne pas avoir compris la question.

....

Mais même la vitesse de la vie lactée se mesure par rapport à quelque chose d'autre. Elle n'a pas de vitesse absolue, pas plus que le soleil, la lune, la terre, le train ou mon nez .

Moi non plus mais ton lapsus m'a fait chercher : 60 milliards de planètes pourraient être habitables dans la Voie lactée

Je comprend un peu plus pourquoi en inde la vache est sacrée

La vitesse de la vie , tient un nouveau concept, une théorie personnelle cachée dans un jolie lapsus c'est une bonne idée pour détourner la charte

[inviteb6b93040]

Pour la métrique extérieur, il n'y a pas de problème, mais pour la métrique extérieur je vois le même problème.

à y être, où met tu intérieur dans cette phrase , ce fil est déjà assez compliqué sans y ajouter des énigmes

[Amanuensis]

mais il me semble qu'une telle définition ne peut s'appliquer qu'en présence de symétries suffisantes que pour pouvoir définir un champ de vecteurs de Killing. Or c'est en réalité une situation plutôt exceptionnelle.

Si par définition on entend les trois conditions indiquées message #40, je n'en suis pas sûr. En tous cas, le champ des quadrivecteurs vitesse du référentiel (le quadrivecteur vitesse de la trajectoire immobile en chaque événement) n'est pas nécessairement un vecteur de Killing. Ce champ n'est pas nécessairement une isométrie, comme le montre le cas des coordonnées FLRW en général (qui respectent les trois conditions).

Toujours en prenant la métrique FLRW, il y a bien des vecteurs de Killing (6, de genre espace), mais je ne vois pas trop comment inférer des conditions indiquées l'existence de telles isométries spatiales.

[chaverondier]

? Je ne vois comment l'espace-temps de Schwarzschild répond à ce critère. Le référentiel privilégié usuel ne respecte que la deuxième propriété, Non?

L'un des référentiels privilégiés de l'espace-temps de Schwarzschild respectant les 3 propriétés (référentiel chute libre, existence d'un feuilletage 3D (pseudo)orthogonal à ce référentiel intégrable en feuillets 3D de simultanéité, ces feuillets 3D étant séparés par un temps propre identique pour tous les observateurs) est le référentiel de Lemaître. Il s'agit du référentiel des observateurs en chute libre lâchés à vitesse nulle très loin au dessus de la singularité centrale.

[Amanuensis]

OK.

De mon côté j'en était arrivé à la conclusion qu'un système de coordonnées respectant les critères est un SC synchrone. Reste la condition x=constante est une géodésique à traduire en condition sur la métrique.

Comment montrer-t-on que pour les coordonnées de Lemaître, x=constante est une géodésique?

(Question annexe: quel domaine, en termes de coordonnées de Kruskal, est couvert par les coordonnées de Lemaître? Manifestement les régions I et II sont couvertes, et cela doit être tout, non?)

[chaverondier]

De mon côté j'en était arrivé à la conclusion qu'un système de coordonnées respectant les critères est un SC synchrone.

La notion que j'évoquais était celle du référentiel de Lemaître, le feuilletage 1D des observateurs en chute libre lâchés à vitesse nulle très loin au dessus de la singularité centrale.

Cette notion de référentiel (un feuilletage 1D, donc aussi une variété 3D, la variété quotient de l'espace-temps 4D par ce feuilletage 1D) est liée à (mais différente de) celle de système de coordonnées de Lemaître. Un référentiel définit un état de mouvement alors que (intrinsèquement du moins) un système de coordonnées ne définit rien du tout. Il repère des évènements.

Il faudrait corriger l'erreur du Wikipédia français, très fréquente d'ailleurs, même dans des ouvrages sérieux, sur cette notion de référentiel. Elle y est confondue avec celle pourtant très différente de système de coordonnées.

Comment montre-t-on que pour les coordonnées de Lemaître, x=constante est une géodésique?

Dans le système de coordonnées de Lemaître,

• la coordonnée temporelle a un sens physique : elle mesure le temps propre des observateurs de Lemaître avec le choix d'un instant initial commun à tous les observateurs. Cet instant initial correspond au choix (arbitraire) d'un feuillet 3D pseudo-orthogonal au référentiel (je veux dire par là pseudo-orthogonal aux observateurs).
  
  Tous les évènements simultanés vis à vis du référentiel de Lemaître, c'est à dire appartenant à un même feuillet 3D pseudo-orthogonal au référentiel, ont alors une même coordonnée temporelle. De plus, le temps qui s'écoule entre deux feuillets 3D de simultanéité est le même pour tous les observateurs.
  
  C'est contraire au cas des observateurs de Schwarzschild. En effet, leur vitesse de vieillissement est ralentie par le facteur de dilatation temporelle de Lorentz 1/(1-v²/c²)^(1/2) avec v²/2 = GM/r. cette vitesse v (la vitesse dite de libération) désigne donc, en quelque sorte, la "vitesse absolue" des observateurs de Schwarzschild (leur vitesse v de déplacement par rapport aux observateurs de Lemaître, c'est à dire par rapport au "bon référentiel").
  .
• les coordonnées spatiales du système de coordonnées de Lemaître ont aussi un sens physique : ce sont les coordonnées angulaires des observateurs de Lemaître + une coordonnée spatiale supplémentaire. On peut la prendre égale à la coordonnée radiale naturelle de l'espace-temps de Schwarzschild : la circonférence, divisée par 2pi, du cercle passant à ce niveau (à un instant arbitrairement choisi comme instant initial commun à tous les observateurs de Lemaître).

Là encore l'impossibilité, pour un observateur de Schwarzschild, de détecter sa vitesse v par rapport au bon référentiel (le référentiel de Lemaître) en utilisant un interféromètre de Morley Michelson s'interprète selon le point de vue Lorentzien.

• Le bras de l'interféromètre est contracté selon (1-v²/c²)^(1/2) en direction radiale
• Selon le "bon point de vue", celui d'un observateur de Lemaître, la lumière tombe, par rapport à un observateur de Schwarzschild, à la vitesse c+v et remonte à la vitesse c-v
• L'horloge de l'observateur de Schwarzschild situé à l'altitude r égrène le temps à un rythme ralenti (la période de cette horloge est accrue dans le rapport 1/(1-v²/c²)^(1/2))

On retrouve la même chose que dans un référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski en inversant direction radiale et direction tangentielle. Il suffit de faire jouer au référentiel de Lemaître, dans l'espace-temps de Schwarzschild, le rôle du référentiel inertiel de l'espace-temps de Minkowski dans lequel l'axe du référentiel tournant est immobile (où encore le rôle du référentiel immobile de l'espace-temps statique hypertorique).

Comment montre-t-on que pour les coordonnées de Lemaître, x=constante est une géodésique?

Il suffit de choisir un système coordonnées tel que les 3 coordonnées spatiales d'un observateur de Lemaître ne dépendent pas du temps. Pour obtenir cette propriété, le choix des coordonnées spatiales ci-dessus convient ainsi que n'importe quel système de coordonnées spatiales s'en déduisant par un difféomorphisme de IR^3.

Reste la condition x=constante est une géodésique à traduire en condition sur la métrique.

La métrique spatio-temporelle est indépendante du choix de référentiel. Par contre la métrique spatiale du référentiel de Lemaître est Euclidienne.

Ce n'est pas le cas de la métrique spatiale du référentiel de Schwarzschild dont la courbure est positive. En effet, le mètre des observateurs de Schwarzschild est contracté, en direction radiale, par la contraction de Lorentz dans le rapport (1-v²/c²)^(1/2) (où v²/2 = GM/r correspond, en quelque sorte, à la vitesse v des observateurs de Schwarzschild par rapport au "bon référentiel" : le référentiel formé des observateurs de Lemaître).

Au contraire, le mètre de l'observateur de Schwarzschild a "la bonne longueur" en direction circonférentielle (parce qu'il est immobile dans cette direction par rapport au "bon référentiel").

C'est l'inverse du référentiel tournant. Sa courbure spatiale est négative au contraire puisque c'est en direction tangentielle que le mètre tournant est contracté.

[Amanuensis]

La notion que j'évoquais était celle du référentiel de Lemaître, le feuilletage 1D des observateurs en chute libre lâchés à vitesse nulle très loin au dessus de la singularité centrale.(...)Un référentiel définit un état de mouvement alors que (intrinsèquement du moins) un système de coordonnées ne définit rien du tout. Il repère des évènements.

Un SC de type (1,3) définit un et un seul référentiel (la réciproque est fausse). Et pour exprimer la métrique le plus simple est de prendre un SC. Il est bien plus facile de travailler avec un SC (1,3) correspondant au référentiel qu'avec le feuilletage 1D seul. La seule précaution à prendre est de n'exprimer que des propriétés dépendant du référentiel, i.e., valides pour tout SC (1,3) définissant ce référentiel.

Par contre la métrique spatiale du référentiel de Lemaître est Euclidienne.

???

Ce n'est pas le cas de la métrique spatiale du référentiel de Schwarzschild dont la courbure est positive.

???

[chaverondier]

Par contre la métrique spatiale du référentiel de Lemaître est Euclidienne ???

Un système de coordonnées bien adapté au référentiel de Lemaître est le système de coordonnées de Gullstrand-Painlevé (cf Regular coordinate systems for Schwarzschild and other spherical spacetimes, Karl Martel and Eric Poisson http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/0001069v4). Dans ce système de coordonnées, la métrique de Schwarzschild prend la forme :

ds² = −c² dT² + (dr + v dT)² + r² dthêta² + r² sin²(thêta) dphi² (2.7) où v²/2 = GM/r
L'observateur de Lemaître "tombe" à la vitesse dr/dT = v dans un espace Euclidien.

Equations (2.6) and (2.7) reveal the striking property that the surfaces T = constant are intrinsically flat: Setting dT = 0 returns ds² = dr² + r² dΩ², which is the metric of flat, three-dimensional space in spherical polar coordinates.

Ce n'est pas le cas de la métrique spatiale du référentiel de Schwarzschild dont la courbure est positive ???

Plus précisément :

• la métrique spatiale du référentiel de Lemaître est Euclidienne dl² = dr² + r² dthêta² + r² sin²(thêta) dphi²
• la métrique spatiale de référentiel de Schwarzschild s'écrit quant à elle dl² = dr²/(1-v²/c²) + r² dthêta² + r² sin²(thêta) dphi²
  où v²/2 = GM/r désigne la vitesse radiale centripète de l'observateur de Schwarzschild par rapport au "bon référentiel" : le référentiel de Lemaître

Le mètre de l'observateur de Schwarzschild est contracté par la contraction de Lorentz en direction radiale, si bien que la courbure spatiale du référentiel de Schwarzschild est positive.

La situation est très similaire à celle du référentiel tournant (dans l'espace-temps de Minkowski) vis à vis du référentiel inertiel (celui dans lequel l'axe du référentiel tournant est au repos).
En coordonnées sphériques (pour faciliter l'analogie) :

• métrique spatiale du référentiel inertiel dl² = dr² + r² dthêta² + r² sin²(thêta) dphi²
• métrique spatiale du référentiel tournant dl² = dr² + r² dthêta² + r² sin²(thêta) dphi²/(1-v²/c²)

Le mètre de l'observateur tournant est contracté par la contraction de Lorentz en direction circonférentielle, si bien que la courbure spatiale du référentiel tournant est négative.

[Amanuensis]

Un système de coordonnées bien adapté au référentiel de Lemaître est le système de coordonnées de Gullstrand-Painlevé (cf Regular coordinate systems for Schwarzschild and other spherical spacetimes, Karl Martel and Eric Poisson http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/0001069v4). Dans ce système de coordonnées, la métrique de Schwarzschild prend la forme :

ds² = −c² dT² + (dr + v dT)² + r² dthêta² + r² sin²(thêta) dphi² (2.7) où v²/2 = GM/r

OK, mais on n'a plus orthogonalité entre les lignes du référentiel et les surface T constant, puisqu'il y a un terme non nul en drdT, non?

Avec les coordonnées de Lemaître () , on a bien orthogonalité entre les partitions, mais la métrique induite sur les surfaces tau constant n'est pas euclidienne.

(Au passage, il y a toujours cette ambiguïté du mot référentiel entre 1) juste la partition en lignes de genre temps et 2) la partition en lignes de genre temps + une partition en hypersurfaces de genre espace. Utiliser des coordonnées et donner la métrique permet de différentier les deux cas. Dans le cas présent, il y a un référentiel de Lemaître unique au sens partition en lignes de genre temps, mais deux distincts au sens double partition.)

[Amanuensis]

Le mètre de l'observateur de Schwarzschild est contracté par la contraction de Lorentz en direction radiale, si bien que la courbure spatiale du référentiel de Schwarzschild est positive.

Il y a quelque chose qui m'échappe. La représentation par un paraboloïde de Flamm montre une courbure négative pour une surface t et theta constants; cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Schwar...27s_paraboloid, commençant par "The spatial curvature of the Schwarzschild solution for r>r_s can be visualized as the graphic shows."

[chaverondier]

On n'a plus orthogonalité entre les lignes du référentiel et les surface T constant, puisqu'il y a un terme non nul en drdT ?

Si.
Les propriétés géométriques du référentiel de Lemaître et celles du référentiel de Schwarzschild (1) (et donc la façon dont elles se distinguent) se déclinent à partir des propriétés géométriques de la métrique spatio-temporelle de l'espace-temps de Schwarzschild en faisant les observations suivantes :

Tout d'abord, dans l'expression ds² = c² dT² - (dr + v dT)² - r² (dthêta² + cos²(thêta) dphi²) prenons dr = r dthêta = r cos(thêta) dphi = 0. On immobilise alors brusquement l'observateur de Lemaître dans la position occupée par l'observateur de Schwarzschild passant à ce moment là par l'évènement z(T, r, thêta, phi) considéré. Immédiatement, son horloge se met à égrener le temps au rythme ralenti par la dilatation temporelle de Lorentz en (1-v²/c²)^(1/2) (due à la vitesse v = (2GM/r)^(1/2) de l'observateur de Schwarzschild mesurée dans le "bon référentiel"). L'écoulement du temps vaut en effet ds/c = (dT² - (v dT)²)/c. Les observateurs de Schwarzschild vivant à basse altitude vieillissent plus lentement.

Si maintenant, on on prend au contraire dr+vdT = 0 dans l'expression de ds², cela signifie qu'on laisse l'observateur de Lemaître libre de continuer à chuter à la vitesse v = (2GM/r)^(1/2).
Son horloge égrène alors le temps au rythme "normal" ds/c = dT.

Dans la forme Gullstrand-Painlevé de la métrique ds² de l'espace-temps de Schwarzschild, la coordonnée T a donc un sens physique précis relié aux observateurs de Lemaître. La 1-forme dT est une différentielle totale mesurant l'écoulement du temps propre entre les hypersurfaces T = constante (les hypersurfaces équipotentielles de la 1-forme). Entre deux telles hypersurfaces, les observateurs de Lemaître vieillissent tous d'un même nombre d'années.

Reste à vérifier qu'une hypersurface T = constante est bien une hypersurface (pseudo)orthogonale aux observateurs de Lemaître, c'est à dire une hypersurface de simultanéité pour ces observateurs (2). Cela découle du fait suivant:

• Si un observateur de Lemaître O1 passe par un évènement z1 situé à l'altitude r à la coordonnée temporelle T
• si un observateur de Lemaître O2 passe par un évènement z2 situé à l'altitude r+dr à la coordonnée temporelle T+dT
• alors ces observateurs sont radialement distants de dr + vdT où v = (2GM/r)^(1/2)

dr_LM = dr+vdT désigne maintenant la distance radiale séparant deux observateurs de Lemaître passant :

• l'un en l'évènement z1(T, r, thêta, phi)
• l'autre en l'évènement z2(T+dT, r+dr, thêta+dthêta, phi+dphi)

dl² = dr_LM² + r² (dthêta² + cos²(thêta) dphi²) désigne (le carré de) la distance entre ces deux observateurs
(c'est à dire la distance dl séparant les deux évènements z1 et z2 quand elle est mesurée dans le référentiel de Lemaître).

On considère maintenant un signal lumineux échangé entre deux observateurs de Lemaître,

• l'évènement d'émission est noté zE(T, r, thêta, phi)
• l'évènement de réception est noté zR(T+dT, r+dr, thêta+dthêta, phi+dphi)

Le signal lumineux suit une ligne d'univers de type lumière donc respecte ds = 0 (écart de type lumière). Exprimée avec la forme de métrique de Gullstrand-Painlevé cette condition s'écrit :
- c² dT² + (dr + vdT)² + r² (dthêta² + cos²(thêta) dphi²) = 0 soit,
- c² dT² + dr_LM² + r² (dthêta² + cos²(thêta) dphi²) = 0 donc,
- c² dT² + dl² = 0

Dans le référentiel de Lemaître, ds = 0 se traduit bien par deux possibilités de signes opposés pour dT : dT = +/- dl/c

Plus précisément encore, si un signal lumineux est émis en l'évènement zE1 à la coordonnée temporelle T-dl/c par l'observateur de Lemaître O1, il est réfléchi en l'évènement z2 à la coordonnée temporelle T par l'observateur de Lemaître O2 distant de dl puis reçu en l'évènement zR1 à la coordonnée temporelle T+dl/c par l'observateur de Lemaître O1.

L'évènement z1 = (zE1+zR1)/2, de coordonnée temporelle T (et relatif à l'observateur de Lemaître O1) est donc bien simultané avec l'évènement z2 (de coordonnée temporelle T lui aussi) relatif à l'observateur de Lemaître O2.

Des évènements repérés par la même coordonnée temporelle T sont donc simultanés dans le référentiel de Lemaître (dit autrement, les hypersurfaces T = constante sont bien des hypersurfaces (pseudo)orthogonales au référentiel de Lemaître, c'est à dire, physiquement, des feuillets 3D de simultanéité de ce référentiel).

Au contraire, en notant dr_SCH la différence d'altitude dr (pour insister sur le fait que r_SCH nous place à une altitude fixe dans un référentiel de Schwarzshild), la condition d'écart de type lumière ds = 0, se traduit par :

-c²dT² + (dr_SCH + vdT)² + r² dthêta² + r² cos²(têta) dphi² = 0. Posons donc maintenant dl² = dr_SCH² + r² dthêta² + r² cos²(têta) dphi² on a

(c² - v²) dT² - 2 v dr_SCH dT - dl² = 0. Les deux solutions dT de cette équation du second degré sont donc

dT = [vdr_SCH +/-((c²-v²)dl²+v²dr_SCH²)^(1/2)]/(c² - v²)

A titre d'illustration, dans le cas particulier d'une trajectoire radiale dr_SCH notée dr, cela se traduit par deux temps dT.
dT = dr (v +/- c)/(c² - v²)

Il faut un temps dT1 à un photon pour monter de r à r+dr et un temps -dT2 différent pour descendre de r+dr à r.

Les durée différentes dT1 = dr/(c-v) et -dT2 = dr/(c+v) ci-dessus montrent que deux évènements se produisant "vraiment" au même moment dans l'espace-temps de Schwarzschild ne sont pas vus comme simultanés dans le référentiel de Schwarzschild. Autrement dit, les hypersurfaces de simultanéité du référentiel de Lemaître ne sont pas pseudo orthogonales au référentiel de Schwarzschild. Vue au sens de la "bonne simultanéité" (celle du référentiel de Lemaître), la lumière met plus de temps à monter qu'à descendre pour parcourir une même distance radiale dr. C'est assez évident. Par rapport aux observateurs de Schwarzschild :

• la vitesse c d'un photon est diminuée par la vitesse v = (2GM/r)^(1/2) d'une sorte de "courant d'éther" (quand il cherche à s'arracher à l'attraction du trou noir)
• la vitesse v du "courant d'éther" s'ajoute au contraire à la vitesse c du photon (par rapport à ce courant) quand il se laisse entraîner vers le bas.

En adoptant le "bon" point de vue (celui du référentiel de Lemaître) on trouve ainsi une anisotropie de la vitesse relative de la lumière vis à vis des observateurs de Schwarzschild (comme dans l'effet Sagnac mais en inversant direction radiale et direction tangentielle).

Avec les coordonnées de Lemaître () , on a bien orthogonalité entre les partitions, mais la métrique induite sur les surfaces tau constant n'est pas euclidienne.

Parce que dans la forme de métrique que vous considérez ici c'est au référentiel de Schwarzschild que vos surfaces tau = constantes sont (pseudo)orthogonales. De ce fait, la métrique spatiale que vous trouvez en faisant dtau = 0 est celle du référentiel de Schwarzschild et non celle du référentiel de Lemaître.

Effectivement (comme dans le cas du référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski, mais en inversant direction radiale et direction tangentielle) la métrique spatiale du référentiel de Schwarzschild n'est pas euclidienne. En direction radiale, le mètre de l'observateur de Schwarzschild est contracté par la contraction de Lorentz en (1-v²/c²)^(1/2) par sa vitesse radiale centripète v = (2GM/r)^(1/2) (3). De ce fait, l'espace du référentiel de Schwarzschild est à courbure positive.

Finalement l'impossibilité, pour un observateur de Schwarzschild, de mesurer la vitesse v = (2GM/r)^(1/2) du "vent d'éther" en utilisant un interféromètre de Morley Michelson se calque sur l'interprétation Lorentzienne du principe de relativité du mouvement :

• en direction radiale, le bras de l'interféromètre est contracté par la contraction de Lorentz ( en (1-v²/c²)^(1/2) )
• l'horloge d'un observateur de Schwarzschild bat au ralenti ( en (1-v²/c²)^(1/2) ) en raison de la dilatation temporelle de Lorentz
• la mesure de simultanéité est "faussée" par la vitesse du "vent d'éther" qui tend faire retarder les horloges les plus hautes en altitude et à faire avancer celles qui sont les plus basses (par rapport à la "bonne" simultanéité)

C'est très exactement la façon dont Lorentz proposait d'interpréter l'absence de détection d'un "vent d'éther" par l'interféromètre de Morley Michelson. Toutefois, si vraiment la non localité de la mesure quantique n'existe pas objectivement, on n'a pas besoin de l'hypothèse d'un référentiel privilégié (cela dit, les modèles de la gravitation écrits dans ce cadre font quand même, entre autres, disparaître les singularités. Ca mérite d'être noté).

Par ailleurs, les travaux de C. Rovelli, A. Connes et P. Martinetti (hypothèse du temps thermique http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074) font apparaître un référentiel privilégié et même quelque chose de plus riche que ça : un flot dans l'espace-temps de Minkowski relié à un observateur de durée de vie finie et à un flot dans une algèbre d'observables locales relative au "diamant" qui lui est causalement accessible.

Au passage, il y a toujours cette ambiguïté du mot référentiel entre
1) juste la partition en lignes de genre temps
2) la partition en lignes de genre temps + une partition en hypersurfaces de genre espace.

Il n'y a pas d’ambiguïté. Quand un référentiel (un feuilletage 1D) possède un feuilletage 3D pseudo-orthogonal intégrable en feuillets 3D de simultanéité, ce feuilletage 3D est unique. A noter que la condition d'existence d'un feuilletage pseudo-orthogonal intégrable en feuillets 3D de simultanéité est une condition suffisante, mais pas nécessaire, pour munir ce référentiel d'une métrique spatiale induite (dans ce référentiel là) par la métrique spatio-temporelle.

(1) Dans le référentiel de Schwarzschild :

• existence d'un horizon cosmologique. En dessous de cet horizon, les "observateurs au repos" (les feuillets 1D définissant le référentiel) sont de type espace,
• temps s'écoulant moins vite pour les observateurs de Schwarzschild les plus proches de la singularité centrale,
• mètre contracté par la contraction de Lorentz en direction radiale (courbure spatiale positive),
• photons "remontant moins vite" qu'ils ne tombent et vitesse de remontée du "courant" tendant vers zéro à l'approche de la sphère de Schwarzschild (quand, bien sûr, on adopte le point de vue des observateurs de Lemaître).

Dans le référentiel de Lemaître au contraire :

• tous les "observateurs" au repos dans ce référentiel sont de "vrais observateurs" (des feuillets 1D de type temps),
• temps propre s'écoulant entre deux feuillets 3D euclidiens de simultanéité identique pour tous les observateurs,
• métrique spatiale euclidienne,
• vitesse relative des photons identique vers le haut et vers le bas.

(2) Deux évènements ("infiniment") voisins z1 et z2

• z1 "passant par l'observateur O1"
• z2 "passant par l'observateur O2"

sont dits simultanés au sens d'un référentiel contenant les ("vrais") observateurs O1 et O2 (des feuillets 1D de type temps donc) si, par définition, z1 = (zE1+zR1)/2
où zE1 et zR1 désignent l'instant de d'émission et l'instant de réception par l'observateur O1 d'un signal lumineux reçu en z2 par l'observateur O2 et immédiatement réfléchi vers O1. La relation de simultanéité est bien symétrique. (Aucun des deux évènements n'est plus simultané que l'autre ).

(3) Quand on mesure cette vitesse v dans le "bon référentiel". Il s'agit du référentiel qui, dans l'espace-temps de Schwarzschild, joue le même rôle que l'éther rajouté par Lorentz dans l'espace-temps de Minkowski : le référentiel de Lemaître. Toutefois, dans l'espace-temps de Schwarzschild, pas besoin de rajouter à la main un référentiel privilégié non justifié puisqu'il y est déjà.

[Amanuensis]

Si.

Cette partie de la réponse est trop courte, et l'autre partie trop longue.

Si on prend une variété avec un système de coordonnées (T, r, theta, phi) et une pseudo-métrique ds² = c² dT² - (dr + v dT)² - r² (dthêta² + cos²(thêta) dphi²) où v²/2 = GM/r, les lignes (r, theta, phi) constant sont-elles pseudo-orthogonales aux hypersurfaces T constant?

Si oui, juste la démo mathématique, si possible.

(Le produit scalaire des vecteurs \partial_r et \partial_T vaut -2v)

[chaverondier]

Si on prend une variété avec un système de coordonnées (T, r, theta, phi) et une pseudo-métrique ds² = c² dT² - (dr + v dT)² - r² (dthêta² + cos²(thêta) dphi²) où v²/2 = GM/r, les lignes (r, theta, phi) constant sont-elles pseudo-orthogonales aux hypersurfaces T constant?

Non (à cause du terme v dT). Le référentiel de Schwarzschild n'est pas (pseudo)orthogonal aux hypersurfaces de simultanéité T = constante.

Les hypersurfaces T = constante sont au contraire (pseudo)orthogonales au référentiel de Lemaître (les lignes de type temps dr+vdT = r dthêta = r dphi = 0). Ces hypersurfaces forment donc le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité relatif au référentiel de Lemaître (les observateurs en chute libre à vitesse radiale centripète v = (2GM/r)^(1/2)).

[ordage]

Un système de coordonnées bien adapté au référentiel de Lemaître est le système de coordonnées de Gullstrand-Painlevé..

Salut

Qu'il serait plus convenable d'appeler de Painlevé-Gullstrand vu que la publication de Painlevé (CRAS 24/10/1921) est antérieure à celle de Gullstrand (1922), d'autant que Painlevé, avec bon nombre de ses collègues de l'Académie, a eu un débat intéressant à ce propos avec Einstein au Collège de France en avril 1922!




http://en.wikipedia.org/wiki/Gullstr...A9_coordinates

Que ces coordonnées soient plus adaptées que celles de Schwarzschild pour décrire la région "en effondrement" (trou noir), ce n'est pas douteux puisque cette solution n'étant pas singulière sur l'horizon elle décrit toute la région, de l'infini jusqu'à la singularité centrale (r = 0+), alors qu'il faut 2 patchs pour la solution de Schwarzschild par exemple du fait de la singularité sur l'horizon. Incidemment la géodésique radiale d'un observateur en chute libre depuis l'infini, sans vitesse initiale (propre) obéit à la loi de Newton, ce qui montre le caractère très particulier de cette solution relativiste du champ autour d'un corps unique à symétrie sphérique où il y a des convergences entre la RG et la théorie de Newton (lorsque le moment angulaire est nul).

Par contre, et c'est le sens de la "covariance, toutes les paramètres ayant un caractère physique relatives à un évènement donné et un observateur donné peuvent être calculés (plus ou moins simplement) dans n'importe quel système de coordonnées et donnent évidemment le même résultat ce qui montre que, si cela peut avoir un intérêt pratique et théorique pour mieux comprendre la structure d'un tel espace-temps, le fait de feuilleter comme ceci ou comme cela l'espace-temps n'a aucun caractère physique.

Un observateur sur sa géodésique, avec son horloge avec lui, se fiche pas mal de savoir comment l'espace-temps a été feuilleté, vu que cela n'a aucune influence sur son temps propre et sur les expériences et observations qu'il pourrait faire et que pour faire des calculs, en utilisant la théorie, pour vérifier que c'est bien ce qu'elle prédit, il peut utiliser n'importe quel système de coordonnées sur la variété décrivant cet espace-temps.


Cordialement

[Amanuensis]

Non (à cause du terme v dT). Le référentiel de Schwarzschild n'est pas (pseudo)orthogonal aux hypersurfaces de simultanéité T = constante.

Les hypersurfaces T = constante sont au contraire (pseudo)orthogonales au référentiel de Lemaître (les lignes de type temps dr+vdT = r dthêta = r dphi = 0). Ces hypersurfaces forment donc le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité relatif au référentiel de Lemaître (les observateurs en chute libre à vitesse radiale centripète v = (2GM/r)^(1/2)).

OK, mais alors on a plus équi-temps propre entre ces surfaces, il me semble.

On peut choisir différents feuilletages spatiaux (différentes synchronisations) pour un même référentiel (au sens de feuilletage en lignes temporelles sans synchronisation), en imposant telle ou telle propriété supplémentaire, mais on ne peut pas tout avoir sauf dans le cas de l'espace-temps de Minkowski.

Et, pour agréer avec Ordage, quelle est la finalité de trouver des référentiels ou des référentiels+synchronisation qui aient des propriétés particulières? À la rigueur si on peut montrer que pour toute solution de la RG on peut trouver localement (sur un ouvert contenant un événement donné) un référentiel + synchronisation ou un système de coordonnées ayant telle ou telle propriété particulière (comme par exemple le référentiel tangent à une trajectoire temporelle donnée en un point donné). Mais cela n'a pas l'air d'être ce qui est discuté, qui est juste des SC particuliers pour un espace-temps vide de symétrie spatiale sphérique.

[chaverondier]

Que ces coordonnées soient plus adaptées que celles de Schwarzschild pour décrire la région "en effondrement" (trou noir), ce n'est pas douteux.

Ca c'est juste.

le fait de feuilleter comme ceci ou comme cela l'espace-temps n'a aucun caractère physique.

Ca c'est inexact. L'espace-temps de Schwarzschild et l'espace-temps de Friedmann-Lemaître Lemaître (pour ne citer que ces deux là) possèdent un référentiel privilégié (feuilletage 1D) et un feuilletage privilégié en feuillets 3D pseudo-orthogonaux ayant un sens physique : le sens physique que lui confère la métrique spatio-temporelle (et/ou la topologie) dont émerge ce référentiel privilégié.

Un observateur sur sa géodésique, avec son horloge avec lui, se fiche pas mal de savoir comment l'espace-temps a été feuilleté vu que cela n'a aucune influence sur son temps propre et sur les expériences et observations qu'il pourrait faire.

Quant à l'espace-temps de Schwarzschild (ou un espace-temps de Friedmann-Lemaître), il se fiche pas mal de l'horloge des observateurs qui ne sont pas au repos dans son référentiel privilégié vu que leur temps propre n'a aucune influence sur son feuilletage 1D privilégié et son feuilletage 3D pseudo-orthogonal. De plus on peut utiliser n'importe quel système de coordonnées sur la variété décrivant cet espace-temps. Cela n'a aucune incidence sur son feuilletage privilégié car la notion de feuilletage est une notion géométrique alors que (intrinsèquement) la notion de système de coordonnées n'est pas une notion géométrique.

[chaverondier]

OK, mais alors on a plus équi-temps propre entre ces surfaces, il me semble.

Si, c'est ça qui est remarquable dans l'espace-temps de Schwarzschild (et dans les espace-temps de Friedmann-Lemaître aussi d'ailleurs, cf le référentiel dit comobile et son feuilletage intégrable en feuillets 3D de simultanéité séparés par des temps propres identiques pour tous les observateurs). L'espace-temps de Schwarzschild possède un référentiel chute libre, possédant un feuilletage 3D intégrable en feuillets 3D de simultanéité séparés par des temps propres identiques pour tous les observateurs. Qui plus est, la métrique spatiale de ce référentiel (le référentiel de Lemaître) est euclidienne.

On peut choisir différents feuilletages spatiaux (différentes synchronisations) pour un même référentiel

Ha non. Un référentiel (un feuilletage 1D) a toujours un unique feuilletage 3D (pseudo)orthogonal associé (un fibré vectoriel 3D tangent dont les hyperplans 3D sont (pseudo)orthogonaux aux observateurs). Par contre, ce feuilletage 3D n'est pas toujours intégrable en feuillets 3D de simultanéité. Par exemple, le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité du référentiel tournant n'est pas intégrable en feuillets 3D de simultanéité (effet Sagnac).

mais on ne peut pas tout avoir sauf dans le cas de l'espace-temps de Minkowski.

Si, mais par contre, il n'y a pas toujours plusieurs référentiels privilégiés parfaitement équivalents (globalement) comme c'est le cas dans le cas particulier de l'espace-temps de Minkowski. Tous les référentiels inertiels sont équivalents dans l'espace-temps de Minkowski alors qu'aucun référentiel (gobal) n'est équivalent au référentiel inertiel immobile de l'espace-temps statique hypertorique et aucun référentiel (global) n'est équivalent au référentiel comobile d'un espace-temps de Friedmann-Lemaître (dans l'espace-temps de Minkowski aucun référentiel inertiel n'est "plus comobile" que les autres).

Quelle est la finalité de trouver des référentiels ou des référentiels + synchronisation qui aient des propriétés particulières ?

Il n'y en a pas beaucoup plus (et pas beaucoup moins) que de trouver les différentes propriétés physiques et mathématiques de ces différents espace-temps. C'est booo les math et la physique.

Ce qui est discuté, qui est juste des SC particuliers pour un espace-temps vide de symétrie spatiale sphérique.

L'espace-temps statique hypertorique ne possède pas de symétrie sphérique. Il est anisotrope du fait de sa topologie (L'espace-temps hypercylindrique aussi est anisotrope). Après, on peut déformer un peu un espace-temps de Friedmann-Lemaître si on veut en mettant une densité un peu plus forte ici où là. Ca changera un peu son référentiel comobile en déformant un peu les géodésiques.

Qui plus est, un même système de coordonnées peut parfaitement être utilisé pour repérer les évènements dans deux référentiels distincts. Comme tu as pu le constater, un même système de coordonnées de Lemaître peut aussi bien repérer des observateurs de Lemaître (dr+vdT= r dthêta=r dphi=0) que des observateurs de Schwarzschild (dr=r dthêta=r dphi=0).

PS : tu avais raison concernant le signe négatif de la courbure spatiale du référentiel de Schwarzschild. J'étais tellement convaincu que l'inversion de la direction de la contraction de Lorentz entre direction radiale et direction circonférentielle en passant du référentiel tournant (courbure spatiale négative) au référentiel de Schwarzschild se traduirait (forcément pensais-je) par une inversion du signe de la courbure spatiale que je n'ai pas vérifié ce point. L'image donnée sur Wikipédia pour illustrer la métrique spatiale du référentiel de Schwarzschild (que tu as transmise en lien) est tout à fait correcte.