distribution de dirac

[invite7ce6aa19]

En ce qui concerne le dirac plus spécifiquement, comme Amanuensis l'a précise plus haut, la notation <delta, phi> ne désigne pas un produit scalaire. C'est simplement une autre notation (malheureuse?) Pour delta(phi). Pour parler de distribution, donc de delta, il n'y à pas besoin de structure euclidienne (ou hermitienne) donc pas de produit scalaire.

En MQ on note dans une base discrete |m> la relation <m|F> qui signifie projection de |F> sur |m> ou <m| est le dual de |m>

Ce qui ne pose pas de probleme je pense pour les mathematiciens.

Par extension <r|F> est la projection de |F> sur le ket |r> ce qui signifie que <r| est le dual de |r>

C est je crois ce genre de notation qui pose problemes aux mathématiciens, a savoir qu a chaque point r on associe 1 vecteur et son dual.

Pour s en convaincre de la coherence de ces notations il suffit d ecrire cela sous forme matricielle. Ces notations sont universellement utilisées par tous les physiciens car ils ont une efficacité redoutable.

Le fait d introduire le concept de Ket est lié au fait qu il existe des etats quantiques qui n ont pas de reprsentations dans l espace des |r>.
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[invite47ecce17]

Vous avez parfaitement raison, une notation est avant tout une affaire de gout personnel.
Je ne sais pas si les notations discutés sont ambiguës ou non. A priori elles ne devrait pas l'être, des qu'on connait les définitions. Il faut quand même noter que le crochet de dualité utilise dans <delta,phi> n'est pas le "même" que celui utilise dans <bra, ket> dans le sens que les espaces a droites et a gauche ne sont pas les mêmes. Mais ça n'etait pas le point de mon message.

Sinon, il me semble aussi que un des intérêt de la notation de dirac réside dans son ambiguïté. <a|b> est il censé designer l'action du bra <a| sur le ket |b> ou du produit scalaire du ket |a> contre le ket |b>. La notation en ne faisant pas la différence entre les deux dit déjà que "c'est la même chose".
Mais je l'éloigne du sujet.

[invite47ecce17]

Il y aurait beaucoup à dire sur ce message.

En MQ on note dans une base discrete |m> la relation <m|F> qui signifie projection de |F> sur |m> ou <m| est le dual de |m>

En soi, ca n'a deja aucun sens.... ca commence mal.
Qu'est ce que c'est la projection d'un vecteur sur un autre vecteur... ca n'est tout simplement pas defini en l'etat. Ce qui est défini c'est la projection sur un espace parallèlement à un supplementaire de ce sous espace. En particulier des que l'on a un produit scalaire sur un Hilbert et un sous espace fermé on a une projection orthogonnale sur ce sous espace, c'est a dire la projection sur ce sous espace parallèlement à son supplmentaire orthogonnale.
La notion de forme "duale d'un vecteur" n'existe que lorsque l'on a choisi un plongement de E dans son dual (une manière simple et tres utilisée de faire ca est justement de choisir un produit scalaire, et c'est pour ca que dans un espace de Hilbert, on a cette dualité bra/ket, parce qu'il y a un produit scalaire.
Une autre manière de faire ca est de choisir une base de l'espace et de former la famille duale a cette base. C'est, je crois ce que vous voulez dire dans votre post, en l'occurence dans un espace de Hilbert on a pas besoin de faire ca. Le plongement (dans un hilbert) d'un espace dans son dual est canonique.

Ce qui ne pose pas de probleme je pense pour les mathematiciens.

Rien de tout ca ne pose vraiment probleme a aucun mathématicien, juste que votre laius est bourré d'imprecision, voire de choses en l'etat fausses, mais qu'on peut traduire souvent en choses correctes.

Par extension <r|F> est la projection de |F> sur le ket |r> ce qui signifie que <r| est le dual de |r>

Meme remarque que plus haut.... On peut bien sur tout manipuler formellement, et ne donner des definitions de rien.... Je ne trouve pas que ce soit un service a rendre.

Pour s en convaincre de la coherence de ces notations il suffit d ecrire cela sous forme matricielle.

Evidement si on reste dans le cadre de la dimension finie.... Y a pas vraiment d'interet. Si on sort de la dimension finie, il n'est justement plus possible d'ecrire des matrices, car ca n'a bien sur plus aucun sens. L'analogue des "matrices" en dimension finie, sont les noyaux des opérateurs à noyaux. Mais meme comme ca, tous les opérateurs (en particulier les <r|) ne sont pas des operateurs à noyaux.

Ces notations sont universellement utilisées par tous les physiciens car ils ont une efficacité redoutable.

Bof... Et quand bien meme, on peut utiliser ces notations et d'une part savoir ce qu'il y a rigoureusement derrière et d'autre part les utiliser dans le cadre strict de leur utilisation rigoureuse là où elles ont un sens. On est pas obligé de faire un travail dégueulasse quand on fait de la MQ, on peut tout faire rigoureusement, et (comme toujours) ca en devient franchement bien plus facile et élégant.

Le fait d introduire le concept de Ket est lié au fait qu il existe des etats quantiques qui n ont pas de reprsentations dans l espace des |r>.

Non. C'est vraiment encore autre chose.

[invite7ce6aa19]

Vous avez parfaitement raison, une notation est avant tout une affaire de gout personnel.
Je ne sais pas si les notations discutés sont ambiguës ou non. A priori elles ne devrait pas l'être, des qu'on connait les définitions. Il faut quand même noter que le crochet de dualité utilise dans <delta,phi> n'est pas le "même" que celui utilise dans <bra, ket> dans le sens que les espaces a droites et a gauche ne sont pas les mêmes. Mais ça n'etait pas le point de mon message.

Sinon, il me semble aussi que un des intérêt de la notation de dirac réside dans son ambiguïté. <a|b> est il censé designer l'action du bra <a| sur le ket |b> ou du produit scalaire du ket |a> contre le ket |b>. La notation en ne faisant pas la différence entre les deux dit déjà que "c'est la même chose".
Mais je l'éloigne du sujet.

<a|b> c est l action du bras sur le ket qui donne un nombre qui est le produit scalaire. Matriciellement c'est le produit d un vecteur ligne par un vecteur colonne.

[invite47ecce17]

Vous passez à coté du point...
Le porduit scalaire c'est entre deux kets... l'action d'un bra sur un ket ca n'est pas un produit scalaire, c'est l'action d'une forme linéaire sur un vecteur. On devrait normalement noter < |a>, |b>> pour le produit scalaire de deux kets, et <a| (|b>) pour l'action du bra <a| sur le ket |b>, la notation de Dirac désigne à la fois ces deux opérations, et sous entend donc (à raison) qu'elles sont egales, et on note plus simplement <a|b> pour les deux.
Il n'y a pas de vecteurs lignes/colonnes et encore moins de produit entre les deux, dans un espace de dimension infini.

[Amanuensis]

Vous passez à coté du point...
Le porduit scalaire c'est entre deux kets... l'action d'un bra sur un ket ca n'est pas un produit scalaire, c'est l'action d'une forme linéaire sur un vecteur. On devrait normalement noter < |a>, |b>> pour le produit scalaire de deux kets, et <a| (|b>) pour l'action du bra <a| sur le ket |b>, la notation de Dirac désigne à la fois ces deux opérations, et sous entend donc (à raison) qu'elles sont egales, et on note plus simplement <a|b> pour les deux.
Il n'y a pas de vecteurs lignes/colonnes et encore moins de produit entre les deux, dans un espace de dimension infini.

+1

(Et même en dimension finie parler de "vecteur ligne" et "vecteur colonne" est, euh, ...)

[invite7ce6aa19]

Il y aurait beaucoup à dire sur ce message.

En soi, ca n'a deja aucun sens.... ca commence mal.

Je pense que tu veux dire aucun sens pour les mathématiciens. Non!


Il faudrait que tu lises les travaux originaux, cad le livre de Dirac.

Tu peux consulter également. les livres de Cohen- tannoudji.

Le probleme est que les mathématiciens regardent le langage des physiciens avec l oeil des mathematiciens.

Et ce n est pas nouveau Dieudonné a qualifier les livres de Cohen Tannoudji de bouillie pour chats. Pour rappel ses livres sont ceux qui ont ete traduits dans plus de 20 langues et accessoirement ce Monsieur a reçu un prix Nobel.


J ai comme l impression que l on s en sortira jamais dans ce genre de discussion.

Evidement si on reste dans le cadre de la dimension finie.... Y a pas vraiment d'interet. Si on sort de la dimension finie, il n'est justement plus possible d'ecrire des matrices, car ca n'a bien sur plus aucun sens. L'analogue des "matrices" en dimension finie, sont les noyaux des opérateurs à noyaux. Mais meme comme ca, tous les opérateurs (en particulier les <r|) ne sont pas des operateurs à noyaux.]
]

ou as-tu vu que j ai ecrit que |r> etait un opérateur a noyaux. |r> est un Dirac que l on pense comme une fonction centrée aubpoint r.

Bof... Et quand bien meme, on peut utiliser ces notations et d'une part savoir ce qu'il y a rigoureusement derrière et d'autre part les utiliser dans le cadre strict de leur utilisation rigoureuse là où elles ont un sens. On est pas obligé de faire un travail dégueulasse quand on fait de la MQ, on peut tout faire rigoureusement, et (comme toujours) ca en devient franchement bien plus facile et élégant.

Tu sait ce qu il te reste a faire, c est prendre le livrecde Cohen-Tannoudji et tu réecris les premieres pages apres on verra. Je te rappelle que le langage doit avoir un rapport avec la physique, cela va de soi.

Non. C'est vraiment encore autre chose.[/QUOTE]

[Amanuensis]

Il faut quand même noter que le crochet de dualité utilise dans <delta,phi> n'est pas le "même" que celui utilise dans <bra, ket> dans le sens que les espaces a droites et a gauche ne sont pas les mêmes.

On peut s'y retrouver comme suit: < blabla | représente toujours une forme linéaire, l'étiquette à l'intérieur n'est là que pour préciser laquelle. Et par convention, si on note f une fonction et f* son "dual" (notion non ambigüe dans le contexte), alors |f> = f et <f| = f*. Et <bip | bop> est toujours le résultat de l'application d'une forme sur une fonction ; quand il se trouve que bip réfère aussi une fonction, cela donne automatiquement le produit scalaire.

Le point essentiel est que < | impose la nature de forme linéaire (et | > celle de fonction). (Et du coup encode "naturellement" l'injection de l'espace des fonctions test dans l'espace dual.)

Les crochets <| et |> jouent simplement le même rôle que la position des indices en notation tensorielle ou . De même <u | v> est similaire à . Juste un autre jeu de conventions d'écriture pour au fond la même chose.

Sinon, il me semble aussi que un des intérêt de la notation de dirac réside dans son ambiguïté. <a|b> est il censé designer l'action du bra <a| sur le ket |b> ou du produit scalaire du ket |a> contre le ket |b>. La notation en ne faisant pas la différence entre les deux dit déjà que "c'est la même chose".

J'obtiens la même chose avec le jeu de conventions d'écriture plus général décrit ci-avant.

[Amanuensis]

J ai comme l impression que l on s en sortira jamais dans ce genre de discussion.

Bonne impression. Mais sûrement avec un mauvais diagnostic quant aux causes!

|r> est un Dirac que l on pense comme une fonction centrée aubpoint r.

Intéressant

[invite47ecce17]

J ai comme l impression que l on s en sortira jamais dans ce genre de discussion.

Oui, restons en là. Cela vaut mieux.

[invite7ce6aa19]

Les crochets <| et |> jouent simplement le même rôle que la position des indices en notation tensorielle ou . De même <u | v> est similaire à . Juste un autre jeu de conventions d'écriture pour au fond la même chose.

C est presque que ca , sauf que la notation | A> est equivalente a la notation A avec une fleche dessus. cela veut dire que c est independant de la base, contrairement aux notations que tu as indiquees.

Par contre: su tu choisis une base |m> la quantité <m |A> represente la projection de A sur m autrement dit:

c'est une produit scalaire qui est la composante de |A> dansla base |m>

[invite7ce6aa19]

Intéressant

Tu peux rigoler car le jour ou tu auras compris cela tu diras eureka, car c est la principale raison de Dirac d avoir inventé sa "Fonction".

Le livre de Dirac a éte réedité recemment. Tu peux lire Cohen Tannoudji, amoins que tu prennes au sérieux les critiques de Dieudionné.

[invite7ce6aa19]

############# suppression référence aux messages effacés

Ceci je voudrais te faire comprendre qu il existe un PDF qui ressence les fautes de maths de Dirac. Aucun doute sur ces fautes. Le probléme est que c est Dirac qui a finalement construit tout le paradigme de La MQ. Aujour d hui tout les physiciens du 'onde entier ont adopté son formalisme pour la simple et bonne raison qu il est efficace pour expliquer tous les comportements quantiques. Cela donne a réflechir. Je suis devenu un converti car cela force l evidence au bout d un certain temps de familiarisation.

Tu remarqueras que je n ai jamais emis le moindre jugement sur des travaux mathématiques car c est une question de principe.

Un conseil. Prends connaissance du livre de Dirac et conclue ce qui te convient, maissache que tous lesphysiciens utilisent ce langage.

[azizovsky]

Bonsoir , il y'a http://books.google.be/books?vid=ISB...=dirac&f=false

à partir de la page 18 .(je ne suis pas fort en anglais).
ps : je ne suis qu'un carreleur :toutes sotes d'intégrations du sol et mur.. .

[azizovsky]

Bonsoir , il y'a une définition que j'ai lu : on note H' et on l'appelle DUAL TOPOLOGIQUE de H l'ensemble des formes linéaires continues sur H .
définition : les éléments de H' sont appelés BRAS et notés génériquement <./

et qu'il y'a des bras généralisés ,càd des formes linéaires qui ne sont pas forcément dans H' (c'est le cas de delta)

ça devient du chinois pour moi ? (sans mentionner le triplet de Gelfrand....).

est ce qu'il y'a moyen d'éclaircir un peu le contenu des définitions , merci d'avance.

[azizovsky]

Bonsoir , il y'a une définition que j'ai lu : on note H' et on l'appelle DUAL TOPOLOGIQUE de H l'ensemble des formes linéaires continues sur H .
définition : les éléments de H' sont appelés BRAS et notés génériquement <./

et qu'il y'a des bras généralisés ,càd des formes linéaires qui ne sont pas forcément dans H' (c'est le cas de delta)

ça devient du chinois pour moi ? (sans mentionner le triplet de Gelfrand....).

[azizovsky]

Bonsoir , il y'a une définition que j'ai lu : on note H' et on l'appelle DUAL TOPOLOGIQUE de H l'ensemble des formes linéaires continues sur H .
définition : les éléments de H' sont appelés BRAS et notés génériquement <./

et qu'il y'a des bras généralisés ,càd des formes linéaires qui ne sont pas forcément dans H' (c'est le cas de delta)

ça devient du chinois pour moi ? (sans mentionner le triplet de Gelfrand....).

est ce qu'il y'a moyen d'éclaircir ses définitions ,merci d'avance.

[albanxiii]

Bonjour,

Les notations de qui ?

Sinon, ça n'est peut-être pas pile dans le sujet, mais ça peut intéresser : http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

@+

[invite47ecce17]

Sinon, ça n'est peut-être pas pile dans le sujet, mais ça peut intéresser : http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

@+

Je ne peux que conseiller tres chaudement ce papier.

[shokin]

Je viens de le trouver ici en français.

Et, juste après, je vois qu'ù100fil l'avait trouvé avant moi.

En français : http://arxiv.org/pdf/quant-ph/9907070.pdf

Patrick