Dynamique d'un corps massif et chargé dans l'Univers

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour à tous.

Au vu des discussions passées sur ce Forum autour du principe de Mach (Sous une nuit étoilée, on tourne sur soi..., Principe de Mach (s'il est enfin permis d'en parler bien sûr...) , Forum physique : qu'est-ce que la physique? , ...), et au vu de l'évolution du débat, ainsi que des points sur lesquels il semble y avoir accord,

Je propose un grand exercice, qui prendra sûrement des jours à résoudre, et qui nécessitera, très sûrement, les compétences, avis, remarques, corrections, suggestions, hypothèses, questions, objections, propositions, compléments, calculs, vérifications, ...du plus grand nombre possible de monde.

Nous ne nous rendons pas compte de l'exceptionnelle aventure dans laquelle nous nous lançons! Une nouvelle façon de résoudre des exercices, car certains son très longs! Et qui j'espère attirera du monde! Car oui, nous provenons d'horizons différents, mais face à la découverte : "tous les observateurs sont équivalents"

Il s'agit de trouver, dans le cadre de la Relativité Générale, de l'Electrodynamique classique (puis ensuite quantique), et du Modèle Standard de la Cosmologie, les équations du mouvement d'un corps (classique) de masse et de charge évoluant dans un espace-temps globalement homogène et isotrope et décrit par une métrique localement perturbée de la métrique de Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW).

Comme nous le savons, la version classique du Modèle Standard, et la Relativité Générale, constituent un système dynamique Lagrangien dont les équations du mouvement sont obtenues en annulant les différentielles de l'action (par le principe de moindre action) construite de manière manifestement invariante.

Nous partirons donc chaque fois de l'action généralement invariante suivante:



où est une densité Lagrangienne construite de manière manifestement invariante, et est le déterminant de la métrique considérée.

Il va de soit que dans le laboratoire local où se déroule l'expérience considérée, l'influence du facteur d'échelle peut a priori sembler négligeable, voire inexistante. Ne négligeons pas la puissance des fréquences de coupures, ou d'autres émergences exotiques modifiant, de par leur nature analytique, considérablement la dynamique. Mais il va de soi que nous nous attendons à observer une dynamique quasiment inchangée. L'effet de surprise sera total!

Cet exercice étant périlleux, je propose de le résoudre en plusieurs phases:
a) Le corps est "libre" : on ne considère que le terme cinétique dans l'action, ainsi que l'action de Einstein-Hilbert (EH) appropriée au problème (pas d'interaction électromagnétique)
b) On ajoute un champ électrique classique homogène et isotrope, puis de forme plus générale, dans une région locale de l'espace donnée, et on calcule les modifications que cela apporte aux équations du mouvement trouvées en a)
c) Il faudra penser à quantifier le champ ainsi que la particule à un moment ou à un autre...Cela posera visiblement des problèmes pour le lagrangien classique considéré jusqu'alors. On avisera...
d) Obtenir les équations du mouvement pour le cas complet, quantifié.
L'exercice est alors terminé.
Celui-ci aura au minimum servi qu'à s'exercer à manipuler le formalisme du principe de moindre action, à réfléchir, à produire des raisonnements physiques, à poser des hypothèses simplificatrices correctes dans le cadre du problème considéré, à dériver des expressions moins standards que d'habitude, etc etc.....et c'est déjà pas mal!

a) Pas d'interaction électromagnétique.

On souhaite décrire la dynamique du corps dans un référentiel inertiel auquel on associe les coordonnées , ainsi que dans un référentiel (pas nécessairement inertiel) au repos avec le corps, et auquel on associe les coordonnées
On considère tout d'abord le problème de manière unidimensionnelle ().

Les conditions aux limites du problème pour la trajectoire dans sont , si besoin: et .

Nous partons d'une densité lagrangienne constituée d'un terme cinétique et d'un terme Cosmologique issu de l'action de Einstein-Hilbert :



où





Dans le cadre de l'exercice, nous devons considérer la métrique de fond comme étant la métrique d'un univers, que nous considérons ici comme la métrique d'un univers de Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker :



De cette métrique nous pouvons calculer le scalaire de courbure ainsi que le déterminant , en gardant en tête la dépendance temporelle du facteur d'échelle :

et

Nous avons aussi par définition


où est le paramètre de Hubble.

Dans un premier temps, nous pourrions nous intéresser à l'approximation dans laquelle on néglige l'accélération () et la courbure (), de manière à réécrire comme :



Prenant toutes ces remarques en considération, nous obtenons :





On voit que le facteur d'échelle intervient déjà dans le terme cinétique, via la métrique.

L'action s'écrit alors :



Il reste maintenant à intégrer ce lagrangien pour faire apparaître la masse dans le terme cinétique. Et à utiliser le théorème d'Euler-Lagrange pour obtenir les équations du mouvement en différenciant :


Questions
- Est-ce que ce raisonnement est correct?
- Dans le cas d'une métrique paramétrée spatialement par un facteur d'échelle...des choses particulières se passent-elles lors de l'intégration ? Si l'on intègre une fonction f(t) sur un volume dx³, mais dont l'élément de volume "grossit" (lentement), peut-on dire que ou bien ?
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[geometrodynamics_of_QFT]

En fait, comme ne dépend pas de , on a directement:



Il y a aussi le problème qu'on ne connait pas la valeur absolue de , mais uniquement et ??? Est-ce juste?

[geometrodynamics_of_QFT]

En fait, c'est complètement dingue :

si on regarde uniquement le terme cinétique, au facteur près, on a:



Or, il se trouve que , Donc où désigne la valeur actuelle.

donc le facteur peut se réécrire

En définissant le facteur adimensionnel

On peut écrire le terme cinétique:



De sorte que si après vérification numériques, est toujours bien << 1 :

, et le terme cinétique se scinde en deux parties, dont aucune n'est égale à la "classique" !



C'est fou! Où est mon erreur? (c'est bien c²/v² et non v²/c² dans le dernier dénominateur...j'en suis quasi sûr)

[geometrodynamics_of_QFT]

(pour comparer, le terme einsteinien classique est tout court...pour avoir ..

Je n attendais pas de surprise de sitôt!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[geometrodynamics_of_QFT]

Help...I need somebody's Help ♪♫ Not just anybody Help! You know i need someone..

Quelqu'un peut-il me dire si le terme cinétique que j'ai calculé est correct?

Je vous remercie beaucoup!!

@MODERATION : est-il possible de supprimer mon message #2, et de rassembler les #3, #4 et #5 à la fin de #1?
Je vous remercie énormément pour votre gentillesse et votre dévouement.

[geometrodynamics_of_QFT]

Donc d'après cette action, on a :

??

Peut-on me confirmer ce calcul svp?
Comment déterminer la valeur numérique de ?
Merci à tous!

[geometrodynamics_of_QFT]

Peut-on imposer cette expression à être approximativement égale à de sorte que:

?

et ainsi pouvoir déterminer ?

Je vous remercie pour votre aide...

[JPL]

@MODERATION : est-il possible de supprimer mon message #2, et de rassembler les #3, #4 et #5 à la fin de #1?
Je vous remercie énormément pour votre gentillesse et votre dévouement.

Désolé mais on a assez de travail sans ça ; merci de ne pas en rajouter. Et seuls les modérateurs on droit au vert.

[geometrodynamics_of_QFT]

Pourquoi ma question gagne instantanément du Karma sur Reddit/r/Physics et pas la moindre attention ici?

J'aimerais tout de même une confirmation de mon terme cinétique..car s'il est correct, l'exercice est déjà terminé : le complément d'énergie cinétique provient de , c'est-à-dire la vitesse d'expansion de l'espace...(qui est gouvernée par l'équation dynamique de Friedman-Lemaitre...)

[geometrodynamics_of_QFT]

En fait, on peut directement voir que les symboles de Christoffel seront modifiés dans l'équation géodésique...il y a quelques erreurs dans les équations ci-dessus...sans trop de gravité, mais qui changent un peu tout partout (a² au lieu de a au début)...Je vais donc déjà essayer de dériver l'équation géodésique pour une métrique en expansion (plate et d'accélération nulle)...(on néglige donc le terme de Einstein-Hilbert pour le moment, on ne calcule que pour la métrique de FLRW )
Si quelqu'un a déjà la réponse, elle est la bienvenue

Merci à tous.

[JPL]

Flood, je t'ai déjà dit de faire ça sur un bloc de papier brouillon au lieu de te servir du forum comme d'un tableau noir.