Matrice densité vs vecteur d'état

[chaverondier]

La première étant celle de Feynman, quelle est l'autre ?

J'ai un peu cherché mais je ne crois pas que Riemann ait travaillé sur les intégrales fonctionnelles, l'intégration dans un espace de fonctions (donc de dimension infinie). Je ne suis même pas sûr que l'intégration fonctionnelle soit un domaine complètement exploré au plan mathématique.

Je suppose, comme Gatsu et Amanuensis, que le qualificatif d'intégrale de chemin, quand il est associé à Riemann, concerne des intégrales le long de chemins dans une variété de dimension finie munie d'une métrique (avec une notion de mesure induite par cette métrique sur ces chemins).
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[Christian Arnaud]

Je suppose, comme Gatsu et Amanuensis, que le qualificatif d'intégrale de chemin, quand il est associé à Riemann, concerne des intégrales le long de chemins dans une variété de dimension finie munie d'une métrique (avec une notion de mesure induite par cette métrique sur ces chemins).

Il s'agit de la définition de la distance, " where the inØmum is taken over all paths from A toB" ; c'est ce "taken over all path" qui m'a fait réagir ; il ne s'agit pas d'une intégrale fonctionnelle ; et,apparemment, c'est ce qui permet de définir la métrique,pas l'inverse (voir le doc d'A.Connes p16 que tu m'as indiqué)

[chaverondier]

Il s'agit de la définition de la distance, " where the minimum is taken over all paths from A toB" ; c'est ce "taken over all path" qui m'a fait réagir ; il ne s'agit pas d'une intégrale fonctionnelle ; et,apparemment, c'est ce qui permet de définir la métrique,pas l'inverse (voir le doc d'A.Connes p16 que tu m'as indiqué)

Cette fois j'ai bien compris à quelle intégrale de chemin tu fais allusion.

Il y a une ambiguïté sur la notion mathématique de métrique. On peut définir un espace métrique comme un ensemble muni d'une métrique d caractérisée par les axiomes habituels tels que
d(A,B) = d(A,B) quels que soient A et B
d(A,B) = 0 équivaut à A=B
d(A,C) > ou égal à d(A,B) + d(B,C)
d est alors une distance définie sans qu'ils soit nécessaire de procéder à une intégration.

On peut, au contraire, considérer une variété et la munir d'une métrique (par exemple) Riemannienne dl définie de façon "infinitésimale" (donnée, par exemple, sous la forme dl² = somme des g_ij dx^i dx^j dans un système de coordonnées donné). Dans ce cas, on peut en déduire une métrique, cette fois au sens défini précédemment, comme le minimum d'une intégrale de chemin
d(A,D) = minimum de l'intégrale de A à B de dl étendue à l'ensemble de tous les chemins possibles allant de A à B
d(A,B) est alors (dans la cas Riemannien) une distance de A à B

Dans la cas d'une variété munie d'une métrique ds² pseudo-Riemannienne, la "distance" finie séparant deux évènements dont l'un z2 est situé dans le futur de l'autre z1 est (c fois) le temps propre maximal nécessaire pour aller de l'évènement z1 à l'évènement z2. Le chemin selon lequel l'intégration du temps propre dtau = ds/c donne ce maximum est une géodésique de l'espace-temps en question, c'est à dire la "trajectoire" spatio-temporelle d'un observateur tombant en chute libre de z1 à z2.

[Christian Arnaud]

[QUOTE=chaverondier;5301755 Dans ce cas, on peut en déduire une métrique, cette fois au sens défini précédemment, comme le minimum d'une intégrale de chemin
d(A,D) = minimum de l'intégrale de A à B de dl étendue à l'ensemble de tous les chemins possibles allant de A à B
d(A,B) est alors (dans la cas Riemannien) une distance de A à B

.[/QUOTE]

Ah, ok, ça me parait plus clair et consistant : il ne s'agit pas d'une intégrale étendue à l'ensemble des chemins, mais du minimum des intégrales possibles sur l'ensemble des chemins ouf ce qui rejoint intuitivement la notion de distance dans un espace euclidien Merci

[Amanuensis]

L'intégrale de chemin au sens de Feynman est bien une intégrale prise sur un ensemble de chemins.

(Ce qui demande de définir et structurer un espace de chemins entre A et B, et d'y définir une mesure.)

---

Faut distinguer l'approche d'une part du principe de moindre action en classique, qui est bien chercher un extrêmum de l'intégrale curviligne (réelle) sur un ensemble de chemins, et d'autre part l'idée de l'intégrale de chemin de Feynman, qui est une intégrale (complexe) sur un ensemble de chemins, ensemble muni d'une mesure. L'usage des complexes est lié aux "interférences" entre chemins.

[Christian Arnaud]

L'intégrale de chemin au sens de Feynman est bien une intégrale prise sur un ensemble de chemins.

(Ce qui demande de définir et structurer un espace de chemins entre A et B, et d'y définir une mesure.)


Faut distinguer l'approche d'une part du principe de moindre action en classique, qui est bien chercher un extrêmum de l'intégrale curviligne (réelle) sur un ensemble de chemins, et d'autre part l'idée de l'intégrale de chemin de Feynman, qui est une intégrale (complexe) sur un ensemble de chemins, ensemble muni d'une mesure. L'usage des complexes est lié aux "interférences" entre chemins.

Bin, oui, mais l'interrogation ne portait pas sur moindre action de Maupertuis/intégrale de chemin de Feynman, mais sur intégrale de définition d'une distance (Riemann)/intégrale de Feynman
D'ailleurs, cette interrogation n'avait pas lieu d'être et n'a été due qu'à une lecture trop rapide de ma part(dans ce cas, la somme réelle sur une infinité de chemins divergeait de toute évidence) Désolé, si je t'ai fait chercher pour rien

[Amanuensis]

Bin, oui, mais l'interrogation ne portait pas sur moindre action de Maupertuis/intégrale de chemin de Feynman, mais sur intégrale de définition d'une distance (Riemann)/intégrale de Feynman

Et c'est sur quoi je répondais.

(dans ce cas, la somme réelle sur une infinité de chemins divergeait de toute évidence)

Certes. Mais dans le cas de l'intégrale de chemin de Feynman, la valeur intégrée est complexe, ce qui permet une convergence.

Désolé, si je t'ai fait chercher pour rien

Pas de mal, je n'ai rien cherché.

[Christian Arnaud]

Certes. Mais dans le cas de l'intégrale de chemin de Feynman, la valeur intégrée est complexe, ce qui permet une convergence.

Oui, je sais ; c'est l'idée du principe de stationnarité ,(ou variationnel, je ne sais plus)(les amplitudes s'annulent sauf là où l'intégrant est stationnaire)

A propos de ce raisonnement :
1) on admet que l'intégrant est stationnaire pour certains chemins
2) alors tout le reste s'annule sauf sur ces chemins privilégiés
3) conclusion : il existe un chemin privilégié sur lequel l'intégrale est minimale!

Ca se mord pas un peu la queue, ce raisonnement ? i.e Si on n'admet pas l'hypothèse 1, on ne démontre rien du tout, or admettre 1, c'est admettre que l'action sur certains chemins est un extrémum donc c'est admettre quasiment la conclusion, non ? (sauf qu'on est passé d’extremum à minimum en oubliant maximum au passage, mais sans le justifier)

[Amanuensis]

A propos de ce raisonnement :
1) on admet que l'intégrant est stationnaire pour certains chemins

oui

2) alors tout le reste s'annule sauf sur ces chemins privilégiés

Douteux.

3) conclusion : il existe un chemin privilégié sur lequel l'intégrale est minimale!

Que veut dire "minimale" pour une intégrale de valeur complexe?

[invite93279690]

(dans ce cas, la somme réelle sur une infinité de chemins divergeait de toute évidence)

la formulation par intégrale de chemin des processus stochastiques (par exemple Browniens) ne fait pas intervenir d'argument complexe et pourtant l'intégrale ne diverge pas; il suffit d'utiliser la bonne mesure; c'est ce que fait la mesure de Wiener.

[invitec998f71d]

Et il y a un parallelisme strict en tre equation de diffusion et equation de Schrodinger. Le Bellac insiste sur le fait qu'a toute situation
en mecanique satistisque avec des probabilités correspond une situation en Mecanique quantique avec des amplitudes de probabilités
(et avec le nombre i)

[Christian Arnaud]

"2) alors tout le reste s'annule sauf sur ces chemins privilégiés "
Douteux.

Sans doute, mais ça vient de notes de cours de Cohen-Tanoudji : p9 de :http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d.../chapitres.pdf

"A la limite ou h_barre tend vers zéro, les seuls chemins qui contribuent à <x"t" |x't'>, sans se détruire mutuellement par interférence correspondent à une phase stationnaire, donc à une action stationnaire.


3) conclusion : il existe un chemin privilégié sur lequel l'intégrale est minimale!

Que veut dire "minimale" pour une intégrale de valeur complexe?

C'est pour ça que j'avais glissé :"(sauf qu'on est passé d’extremum à minimum en oubliant maximum au passage, mais sans le justifier)"

[Amanuensis]

C'est la phraséologie qui est douteuse. La phrase du C.T. est différente ; il n'est pas correct de dire que la phrase vient du C.T., ...

[Amanuensis]

sauf qu'on est passé d’extremum à minimum en oubliant maximum au passage, mais sans le justifier

Extrémum (local) est le cas général. On précise maximum ou minimum dans des cas particuliers. (Et on devrait préciser "local" dans tous les cas...)

Par exemple sur une sphère, il y a deux chemins extrémaux entre deux points ni confondus ni antipodaux, l'un un minimum de longueur l'autre un maximum de longueur.

[Christian Arnaud]

Extrémum (local) est le cas général. On précise maximum ou minimum dans des cas particuliers. (Et on devrait préciser "local" dans tous les cas...)

Par exemple sur une sphère, il y a deux chemins extrémaux entre deux points ni confondus ni antipodaux, l'un un minimum de longueur l'autre un maximum de longueur.

Oui, bon, tout ceci ne change rien à ce que j'écrivais plus-haut :

"1) on admet que l'intégrant est stationnaire pour certains chemins
2) alors tout le reste s'annule sauf sur ces chemins privilégiés
3) conclusion : il existe un chemin privilégié sur lequel l'intégrale est minimale!"

Qu'on peut abréger en :
A) Admettons que l'action soit stationnaire pour des chemins particuliers,
B) Alors le chemin réel suivi est celui de moindre action

Ce qui m'a toujours laissé perplexe,même si ma phraséologie est douteuse

[Amanuensis]

C'est quoi le "chemin réel suivi"?

Une interprétation de l'intégrale de chemin de Feynman est que tous les chemins sont "suivis". Difficile de parler d'interférences entre chemins non suivis, non?

[Christian Arnaud]

C'est quoi le "chemin réel suivi"?

Une interprétation de l'intégrale de chemin de Feynman est que tous les chemins sont "suivis". Difficile de parler d'interférences entre chemins non suivis, non?

bon, tu continues pfffffffffffffffffffffffffff !! les interférences ne jouent que sur les probabilités d'arriver quelquepart, pas sur la probabilité qu'un chemin soit suivi ou pas . Et puis, on ne peut pas parler d'interférences entre des chemins, ou alors tu as une interprétation personnelle de l'intégrale de chemins

Alors pour re-resumer mon propos, j'ai des difficultés à accepter un raisonnement du genre :
1) Admettons le principe de moindre action de Maupertuis,
2) Alors on peut démontrer le principe .... de moindre action...de Maupertuis C'est tout

[Amanuensis]

bon, tu continues pfffffffffffffffffffffffffff !!

Toujours aussi désagréablement familier. Vous êtes comme ça aussi dans la vraie vie, à traiter les gens dont vous ne connaissez rien comme des élèves dont vous seriez l'instit?

[Christian Arnaud]

Toujours aussi désagréablement familier. Vous êtes comme ça aussi dans la vraie vie, à traiter les gens dont vous ne connaissez rien comme des élèves dont vous seriez l'instit?

Désolé, ça me fatigue, je t'ai mis en ignoré

[azizovsky]

Bonsoir, ce que j'ai lu ici, http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d.../chapitres.pdf à la page 7, est LA SOMME DE CONTRIBUTION, une pour chaque chemin d'espace-temps....c'est le PRINCIPE DE QUANTIFICATION DE FEYNMAN.

ce principe de Feynman est le 'quantifié' du principe de Huyghens, chaque chemin suivie par les 'ondelettes' apporte sa contribution à l'amplitude de probabilité de l'onde.

[azizovsky]

voir tome II de Claud Cohen Tannoudji.

[Christian Arnaud]

, ce que j'ai lu ici, http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d.../chapitres.pdf à la page 7, est LA SOMME DE CONTRIBUTION, une pour chaque chemin d'espace-temps....c'est le PRINCIPE DE QUANTIFICATION DE FEYNMAN.

ce principe de Feynman est le 'quantifié' du principe de Huyghens, chaque chemin suivie par les 'ondelettes' apporte sa contribution à l'amplitude de probabilité de l'onde.

Bonjour,

oui, c'est le document que j'avais indiqué précédemment au post #42 .
Mais tu parles de la page 7 du pdf ou de la page 7 du document scanné ?
car le document traite des deux sujets successivement : Fermat/Huygens(principe du chemin le plus rapide pour la lumière),puis Maupertuis/Hamilton/Feynman(principe de moindre action), et là, il me semble que tu prends dans chaque sujet En passant, on voit bien que ces deux "principes" titillent les physiciens(De Broglie dans sa thèse,Feynman,Cohen-Tannoudji)

Mais, si l'on se concentre sur la partie mécanique Lagrangienne (page 7 du scan,page 9 du pdf), on retrouve bien ce qui m'interpelle : on ne retient comme contribution à la somme que les chemins de phase stationnaire, i.e d'action stationnaire ; en clair on suppose que l'action est stationnaire sur certains chemins pour démontrer le principe de moindre action !


Mais tu voulais peut-être mettre en évidence un autre point ?

[Christian Arnaud]

J'ajouterai également que, dans cette même page, en dessous de la première figure, se trouve un & qui me titille également :

"Comment la particule trouve-t-elle le chemin d'action minimum ? La réponse est fournie par la théorie quantique : elle "sent" les autres chemins grâce à son aspect ondulatoire"

On se croirait en 1925 avec la théorie de l'onde pilote (De Broglie/Bohm)

C'est pas abandonné depuis longtemps cette hypothèse ?

[benjgru]

Au fait Bernard d'Espagnat est mort au début du mois c'est bien triste...sa mort est-elle passée inaperçue ??

[chaverondier]

On se croirait en 1925 avec la théorie de l'onde pilote (De Broglie/Bohm) . C'est pas abandonné depuis longtemps cette hypothèse ?

Il y a quelques physiciens qui continuent à y lui trouver un intérêt (Bricmont et Goldstein notamment), mais ils sont peu nombreux. En effet, à ce jour, la Bohmian Mechanics (Introduction to Bohmian Mechanics) n'a pas apporté de prédictions nouvelles que l'on n'aurait pas su trouver avec la formulation standard (mathématiquement plus simple). Il y a eu pas mal de discussions à ce sujet sur sci.physics.research il y a une quinzaine d'années.

Pour ma part, je pensais que la non conservation du nombre de particules dans l'effet Unruh avait un caractère potentiellement mortel pour cette modélisation de physique quantique.

L'impossibilité d'attribuer un caractère ontologique aux particules est défendu, par exemple, dans Quantum Information and Relativity Theory Quantum Information and Relativity Theory, Asher Peres, Daniel R. Terno, jul 2003 §B. Quantum mechanics and information. Or je pensais que les particules de la Bohmian mechanics devaient impérativement se voir attribuer un caractère ontologique. Universus a au contraire très soigneusement expliqué en (Effet Unruh, Bohm de Broglie, mesure faible de trajectoires, fentes de Young : reponse Universus)
* que ce n'était pas forcément le cas,
* que, d'autre part, les particules détectées par un détecteur accéléré dans l'espace-temps de Minkowski (perçu comme vide de toute particule par un observateur inertiel) pouvaient être interprétées comme créées par interaction entre vide quantique et détecteur.

Bref, dans une démarche un peu (trop) jusqu’au-boutiste, les inconditionnels de la Bohmian Mechanics peuvent continuer à s'y accrocher (malgré l'absence de résultats nouveaux dont elle aurait permis ou favorisé la découverte, un peu comme la théorie des cordes et la supersymétrie) par exemple parce que, entre dynamique des évolutions quantiques "normales" et mesure quantique, elle rétablit la cohérence :
* au prix du sacrifice de l'invariance de Lorentz (au niveau interprétatif). Il y a un référentiel quantique privilégié, son feuilletage en feuillets 3D de simultanéité et son temps universel (conformément à l'interprétation lorentzienne de la Relativité Restreinte).
* mais sans sacrifier le principe de causalité associé à la structure causale de l'espace-temps d'Aristote (plus communément connu sous le nom d'espace-temps de Newton).

En particulier, en Bohmian Mechanics :
* la non localité quantique devient la manifestation d'une action instantanée à distance,
* il n'y a pas de quanton (a hoho ! hoho ! etc, etc) mais des particules et une onde guidant ces particules (et une observable privilégiée, l'observable position des particules),
* il n'y a pas une dynamique d'évolution déterministe "normale" et une "dynamique" de mesure incompatible avec cette dynamique "normale" violant ce déterminisme.

[benjgru]

Donc tout le monde s'en fout que d'Espagnat soit mort...ok

[Amanuensis]

Un nouveau fil de discussion, peut-être? Dans actualités?

Une news en préparation?

[azizovsky]

J'ajouterai également que, dans cette même page, en dessous de la première figure, se trouve un & qui me titille également :

"Comment la particule trouve-t-elle le chemin d'action minimum ? La réponse est fournie par la théorie quantique : elle "sent" les autres chemins grâce à son aspect ondulatoire"

On se croirait en 1925 avec la théorie de l'onde pilote (De Broglie/Bohm)

C'est pas abandonné depuis longtemps cette hypothèse ?

j'ai oublié la discussion, c'est la page 7 du document scanné, il n'y a pas d'onde pilote, mais un champs pilote qui existe dans les fentes de Young, c'est en traversant se champs que les photons semble avoir un comportement ondulatoire(bande interdite et passante du champs quantique), je suis toujours partisan du grand Einstein , je prépare une expérience pour démolir l'idée d'onde ...

ps: la MQ quantique est une boucle à l'envers particule , onde.......champs .

[Christian Arnaud]

Il y a quelques physiciens qui continuent à y lui trouver un intérêt (Bricmont et Goldstein notamment), mais ils sont peu nombreux. En effet, à ce jour, la Bohmian Mechanics (Introduction to Bohmian Mechanics) n'a pas apporté de prédictions nouvelles que l'on n'aurait pas su trouver avec la formulation standard (mathématiquement plus simple). Il y a eu pas mal de discussions à ce sujet sur sci.physics.research il y a une quinzaine d'années.

Pour ma part, je pensais ....

Bonjour,

Je vois que tu avais creusé le sujet

Pour ma part, j'avoue que lors de ma première incursion dans le domaine, j'avais été attiré par cette voie, continuité de l'onde de De Broglie, et qui me "rassurait" un peu : ah, d'accord, il y a bien une onde qui"explore" et "guide", ça explique tout ! Et, en effet on peut voir aujourd'hui que les travaux ont repris avec, notamment, ces vidéos du MIT sur les "walker droplets"
Mais, déception !! Ca ne permet, comme tu le dis, aucune nouvelle avancée - et ce n'est pas étonnant puisque les maths sont les mêmes et donc ce n'est qu'une interprétation de plus

J'avais cependant été étonné de le trouver sous la plume de CT avec cette expression : "la particule sent ...grâce à son aspect ondulatoire"

Bon, mais l'histoire s'écrit tous les jours De Broglie avait donné l'idée, Bohm l'avait formalisée plus solidement, peut-être que cela sera repris par un jeune surdoué

[Christian Arnaud]

j'ai oublié la discussion, c'est la page 7 du document scanné, il n'y a pas d'onde pilote, mais un champs pilote qui existe dans les fentes de Young,

...un champ pilote ..... ou une onde de probabilité peut-être

c'est en traversant se champs que les photons semble avoir un comportement ondulatoire(bande interdite et passante du champs quantique), je suis toujours partisan du grand Einstein , je prépare une expérience pour démolir l'idée d'onde ...

Ah, enfin un espoir

ps: la MQ quantique est une boucle à l'envers particule , onde.......champs .

Une boucle, c'est comme un béret, ça n'a pas de sens (comme le disait Raymond Devos