Dilatation de l'espace-temps: expérience de la lumière dans le train

[mach3]

Bon, je commence à avoir du mal à savoir comment vous expliquer sans répéter ce que j'ai déjà dit (vous pouvez toujours aller le relire, mais bon, si ça passe pas, ça passe pas).

Les transformations de Lorentz permettent le passage d'un système de coordonnées de Lorentz à un autre. Mais qu'est-ce qu'un système de coordonnées de Lorentz?
Vous avez une coordonnée temporelle, t, trois coordonnées d'espace x,y,z, cartésiennes, c'est à dire qu'il s'agit d'un repère orthonormé. La position d'un objet est encodé par un triplet (x,y,z) avec x, y, et z trois fonction de la coordonnée temporelle t. Les positions successives de l'objet forment une ligne, la ligne d'univers, dans un espace de 4 dimensions, l'espace-temps. La dérivée du triplet (x,y,z) par rapport à la coordonnée temporelle t donne un vecteur (vx,vy,vz) qui représente par définition le vecteur vitesse de l'objet. Une exigence : un objet dont le vecteur vitesse ne change pas doit être en mouvement rectiligne uniforme (c'est à dire qu'un accéléromètre attaché à l'objet doit indiquer 0). Ce n'est pas forcément évident, mais on peut très bien construire un système de coordonnées tel qu'un objet en mouvement rectiligne uniforme ait sa vitesse représentée par un triplet (vx,vy,vz) non constant : dans ce cas ce n'est pas un système de coordonnées de Lorentz.
Pour l'instant il n'y a pas de différence avec un système de coordonnées Galiléen.

Physiquement, les coordonnées spatiales doivent refléter exactement les distances et les angles mesurés par un observateur immobile dans ces coordonnées. Par exemple si on a un objet immobile en x=1,y=1,z=1, sa distance à l'origine du repère est , la droite qui le joint à l'origine fait un angle de avec l'axe z, le plan qui contient la droite et l'axe z fait un angle de avec le plan qui contient l'axe x et l'axe z.

De même, physiquement, la coordonnée temporelle doit refléter les durées mesurées. Par exemple un évènement se produit à t=125s, puis qu'un autre se produit à t=145s, la durée écoulée entre les deux doit être de 20s. Mais comment mesure-t-on ces 20 secondes? C'est là qu'il y a une différence majeure entre relativité galiléenne et relativité restreinte. Pour la première, n'importe quelle horloge, quelque soit sa position ou son mouvement, pourra servir à mesurer une durée : le temps est absolu. Alors que pour la seconde, seule une horloge immobile dans le système de coordonnées, c'est à dire dont les coordonnées x,y,z restent constante, est à même de mesurer les durées de façon à ce que la mesure coïncide avec une différente de coordonnée t.

Supposons qu'un évènement A se produise en t=5, x=3, y=0, z=0, puis qu'un autre se produise en t=10, x=6, y=0, z=0. Comment, concrètement, mesure-t-on la durée écoulée entre les deux évènements?
Première option : on reste tranquillement à l'origine (x=0, y=0, z=0), avec une horloge fixe est un instrument de mesure des distances adéquat. Grâce à la mesure de distance, on sait que A s'est produit à 3 seconde-lumière de nous, et que B s'est produit à 6 seconde-lumière de nous. On sait aussi qu'à cause de la vitesse finie de la lumière, l'heure à laquelle on va voir (avec nos yeux) les évènements A et B se produire sera retardée. On verra A se produire en t=8s, et B se produire en t=16s. En retranchant le temps de parcours de la lumière, on a déduira les coordonnées temporelles correctes de A et B, à savoir 5 et 10s.
Deuxième option : on dispose stratégiquement plusieurs horloges en supplément de celle que l'on a à l'origine. Une immobile en x=3, une immobile en x=6. On veut qu'elles soient réglées de façon à avoir une indication fidèle à la coordonnée temporelle, tout comme l'est notre horloge à l'origine. On doit donc opérer une synchronisation, qui fera que vu de l'origine, l'horloge en x=3 sera vue comme retardant de 3, et l'horloge en x=6 sera vue comme retardant de 6. Une fois cela fait, d'où que l'on se trouve et quelque soit notre mouvement, on pourra observer que l'évènement A se produit à l'endroit où se trouve l'horloge en x=3 quand celle-ci indique 5s, et que l'évènement B se produit à l'endroit où se trouve l'horloge en x=6 quand celle-ci indique 10s.
On trouve donc que la durée entre A et B, mesurée dans ce système de coordonnées, est de 5 secondes.

Nous avons fait évidemment la supposition que la vitesse de la lumière était constante et isotrope, que ce soit pour calculer les temps de retard des perceptions, ou pour synchroniser nos horloges. Un rayon lumineux, comme tout objet, aura une ligne d'univers, décrite par trois fonctions x,y,z du temps coordonnée t, et sa vitesse, représentée par (vx,vy,vz) sera obtenue en dérivant x,y,z par rapport à t. Cette vitesse sera telle que vx²+vy²+vz²=c².

Si on considère un autre système de coordonnées de Lorentz, t',x',y',z', en mouvement par rapport au premier, t', x', y' et z' auront la même signification physique pour un observateur de coordonnées x',y',z' constante (immobile dans ce second système de coordonnées) que t,x,y,z pour un observateur de coordonnées x,y,z constantes (immobile dans le premier système de coordonnées).

La relativité galiléenne postule que t=t' (éventuellement à une constante additive près) : le temps est absolu. Cela implique que si la vitesse de la lumière est isotrope dans le premier système de coordonnées, elle ne l'est pas dans le second (la lumière devrait être plus rapide dans un sens, plus lente dans le sens inverse). Or ce n'est pas ce qu'on observe, on observe que la vitesse de la lumière est invariante, et toujours isotrope.

La relativité restreinte postule donc que dans tout système de coordonnées de Lorentz, la vitesse de la lumière est invariante. Si on considère un autre système de coordonnées de Lorentz, t',x',y',z', en mouvement par rapport au premier, un rayon lumineux devra être décrit par trois fonctions x',y',z' du temps coordonnée t', et sa vitesse, obtenue en dérivant par rapport à t', sera telle que vx'²+vy'²+vz'²=c².
Il faut donc que la transformation de coordonnées allant du système de coordonnée de Lorentz t,x,y,z au système de coordonnée t',x',y',z' respecte cela, et ceci peu importe la direction du rayon lumineux : tout ligne d'univers décrite dans le premier système par x,y,z tels que la dérivée par rapport à t est de norme c, doit être décrite dans le second système par x',y',z' tels que la dérivée par rapport à t' est de norme c.
Cette transformation est la transformation de Lorentz. Elle implique que les horloges en mouvement dans un système de coordonnées t,x,y,z ne mesurent pas la variation de la coordonnée t, mais la variation de la coordonnée t' du système t',x',y',z' dans lequel elles sont immobile. Elle implique aussi que de telles horloges, si elles sont bien synchronisées dans le système de coordonnées t'x'y'z' où elles sont immobiles, n'apparaissent pas synchronisées dans le système de coordonnées t,x,y,z, c'est à dire qu'à coordonnée t donnée, les horloges synchronisées dans le système t'x'y'z' afficheront des heures différentes (alors qu'à coordonnée t' donné elles indiquent exactement la même heure).

t est le temps de quelqu'un qui possède des coordonnées x,y,z fixes.
t' est le temps de quelqu'un qui possède des coordonnées x',y',z' fixes.

Je reviendrais sur votre histoire de carré plus tard.

m@ch3
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[mach3]

Pour vous faire part de mon scepticisme, j'aimerais développer une variante de l'histoire des jumeaux que j'ai modifié, vous me direz ce que vous en pensez.
2 jumeaux sont dans 2 vaisseaux munis de ces horloges lumineuses avec un miroir de chaque côté et la lumière qui fait un va et vient. Ils partent dans leurs vaisseaux en suivant des directions orthogonales pour décrire chacun la même moitiè d'un carré puis ils se rejoigne au sommet de ce carré. Comme ils ont parcouru la même distance à la même vitesse, la RR nous dit syrement que leur horloge indiquera la même heure précisément à la fin et en tout temps du trajet. Pourtant quand l'un des jumeaux visualisait de loin l'horloge de l'autre vaisseau, celle-ci faisait toujours une succession de zigzag lumineux. D'après la RR, pour chaque jumeau, dans le vaisseau de son frère, l'horloge allait donc moins vite que celle de son propre vaisseau, mais à l'arrivée pourtant d'après la RR, les deux horloges indiqueront la même heure. Ceci n'est pas un paradoxe, elle montre pour moi la non pertinence de cette théorie.

Illustrons la situation avec des coordonnées (t,x,y)
Le départ se situe en
Le premier jumeau voyage dans une direction jusqu'à l'évènement , puis change de direction, jusqu'à l'évènement
Le second jumeau voyage dans une direction jusqu'à l'évènement , puis change de direction, jusqu'à l'évènement

On a bien un carré dans le repère (x,y), comme demandé. La vitesse des jumeaux dans ce repère est d'environ 0.7276c (). Le facteur est de .

Cette situation étant potentiellement compliquée à analyser telle quelle (en fait non, sauf si on a pas du tout d'expérience), nous allons changer de référentiel. On va se placer dans un référentiel avec des coordonnées t',x',y' qui se meut suivant l'axe x de telle façon que dans ce référentiel les jumeaux partent dans deux directions opposées puis reviennent sur leurs pas. On peut montrer qu'il faut que la vitesse de ce référentiel sur l'axe x est d'environ 0.5145c (). La transformation de Lorentz à appliquer est :




Appliquons la :
Le départ se situe en
Le premier jumeau voyage dans une direction jusqu'à l'évènement , puis change de direction, jusqu'à l'évènement
Le second jumeau voyage dans une direction jusqu'à l'évènement , puis change de direction, jusqu'à l'évènement
Dans ce référentiel la vitesse des jumeaux est de 0.6c. Le facteur est de .

On peut encore simplifier la situation en appliquant une autre transformation de Lorentz suivant l'axe des y :



On peut aussi appliquer son inverse :




Appliquons la première :
Le départ se situe en
Le premier jumeau reste immobile jusqu'à l'évènement , puis se met en mouvement, jusqu'à l'évènement
Le deuxième jumeau voyage jusqu'à l'évènement , puis reste immobile jusqu'à l'évènement

Dans ce cas les jumeaux n'ont pas une vitesse unique (de facteur gamma 1), il y a une phase à vitesse nulle et une phase à vitesse 0.882c (15c/17) (gamma de 17/8)

Appliquons son inverse :
Le départ se situe en
Le premier jumeau voyage jusqu'à l'évènement , puis reste immobile jusqu'à l'évènement
Le deuxième jumeau reste immobile jusqu'à l'évènement , puis se met en mouvement, jusqu'à l'évènement

Ces 4 descriptions (en t,x,y en t',x',y' en t'',x'',y'' et en t''',x''',y''') sont physiquement équivalentes, on a juste changé de référentiel inertiel entre chaque pour faire la description.
Les deux dernières sont intéressantes parce qu'il y a des phases où l'un des jumeaux est immobile. Dans ces phases (surlignées en gras rouge), la variation de coordonnée temporelle est égale à la durée mesurée par le jumeau qui est immobile.

On en déduit donc que la durée écoulée pour les deux jumeaux est de 8.

Pendant la première partie de leur voyage, chaque jumeau compte 4, puis ils comptent 4 à nouveau durant la 2e partie.

Et cela on peut en fait le déduire dans chaque référentiel.
Dans le premier (t,x,y) la durée impropre des deux voyages est , si on divise par le facteur gamma de , on trouve bien 8
Dans le second (t',x',y') la durée impropre des deux voyages est 10, si on divise par le facteur gamma de 5/4, on trouve bien 8
Dans les deux derniers, la durée impropre d'une phase où un jumeau est en mouvement est 8.5, si on divise par le facteur gamma de 17/8, on trouve bien 4 pour durée propre de cette phase, qui s'ajoute au 4 de la phase où il est immobile, pour un total de 8.

Tout est parfaitement cohérent.

m@ch3

[souadphil]

Merci pour vos longues réponses, je suis sûr que cela pourra préciser les choses pour certains, quand à moi, je reste sceptique mais j'essaierai de comprendre par ailleurs votre démonstration. Pour en revenir à l'histoire des jumeaux qui partent d'un sommet et se rejoignent sur le sommet opposé, si j'ai bien compris, vous êtes d'accord, ils arrivent en même temps d'après la RR, ce qui intuitivement semblait évident. En revanche vous n'avez pas abordé le paradoxe que je voulais mettre en évidence, c'est que le jumeau du vaisseau A quand il regarde la trajectoire du rayon lumineux de l'horloge du vaisseau B, tout le long du parcourt, voit une trajectoire en zigzag et donc plus longue de l'horloge du vaisseau B, mais comme la célérité est constante de la lumière, cela veut dire que le temps s'est dilaté. Pour A, l'horloge du vaisseau B est en train de retarder, le temps s'écoule plus lentement. Le problème, c'est que B voit que c'est A qui retarde et au final vous me confirmez qu'aucune des deux horloges ne retarde, vous ne pensez pas qu'il y a un problème?!

[Archi3]

Pour A, l'horloge du vaisseau B est en train de retarder, le temps s'écoule plus lentement. Le problème, c'est que B voit que c'est A qui retarde et au final vous me confirmez qu'aucune des deux horloges ne retarde, vous ne pensez pas qu'il y a un problème?!

non, il n'y a pas de problème, mais c'est une confusion très courante sur le ralentissement du temps, et même la source la plus courante des erreurs de raisonnement.

Le ralentissement du temps dans un référentiel en mouvement ne signifie pas que TOUS les intervalles de temps sont ralentis (divisés par gamma) en passant de A à B. Ce n'est aucunement un "film au ralenti" qui ferait que tout semble ralenti. L'analyse des transformations de Lorentz montre que ça ne concerne que les intervalles entre évènements ayant au même endroit dans B (le référentiel en mouvement), c'est à dire tel que B soit le référentiel propre. En fait le ralentissement du temps n'est valable que pour le rapport du temps propre sur le temps impropre (toujours < 1 , égal à 1/gamma). Réciproquement, ce sont les évènements ayant au même endroit dans A qui paraissent ralentis pour B. Mais comme A et B sont en mouvements relatifs, ça ne peut pas être les mêmes , donc il n'y a pas de paradoxe.

Pour les évènements impropres dans les deux référentiels , qui n'ont lieu au même endroit ni pour A ni pour B, le rapport des temps peut etre >1, < 1, ou = 1 suivant les intervalles de temps et d'espace considérés. La simultanéité n'étant pas absolue, justement, il n'y a pas de paradoxe, deux évènements simultanés pour A (donc ayant le même intervalle de temps avec un 3e temps de référence), peuvent très bien ne pas l'être pour B (avec donc des intervalles de temps différents par rapport au même évènement de référence, par exemple un peut etre plus grand que celui de A, et un plus petit).

Note bien qu'un "film au ralenti" ne change pas la simultanéité , qui reste absolue : deux évènements simultanés dans un film passé à vitesse normale, le restent dans un film accéléré, ou ralenti, mais ce n'est pas ça que dit la relativité. Il ne faut pas visualiser ça comme un ralentissement d'ensemble, qui conduirait effectivement au paradoxe que tu soulèves : A ne peut pas etre ralenti par rapport à B, et en même temps B par rapport à A !!