Lancer de masse.

[invite65931707]

Bonjour à toutes et à tous,
Je suis actuellement à la recherche d'un exercice que je n'arrive pas à conclure.

Soient M1 et M2 deux masses immobiles et reliées par un fil sans masse. A t=0 on lance M1 "en l'air" (c'est-à-dire suivant +Z, Z orienté vers le haut) avec une vitesse m/s.
On donne m.

1/ A quelle condition le fil est tendu ? On note t_1 cet instant : ça ok.

2/ Quelle est l'équation du mouvement quand cette condition est remplie ?

3/ Quelle est la condition pour que M2 décolle ? Trouver t_2 en faisant une résolution graphique.

On a comme indication : on associera une élasticité (comme un ressort) au fil sans masse.

La 2/ me pose problème : je tiens compte de l'élasticité du fil, mais je suppose que M2 ne décolle pas (au vue de la question 3). Auquel cas, je trouve . Mais je ne suis pas sûr.
La 3/ : la condition, pour moi, est que la réaction R du support du sol sur M2 soit nulle. Mais j'ai aussi la "tension" qui s'exerce sur M2 puisque le fil est tendu. Mais je ne sais comment trouver cette tension.

Merci d'avance pour vos indications.
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[Resartus]

Bonjour,
Le fil étant de masse nulle, la tension qui tire M2 vers M1 est exactement opposée celle qui tire M1 vers M2 (que vous avez exprimé comme -k(z-l0)) .
Si elle dépasse M2g, M2 décolle....

[LPFR]

Bonjour.
Ce n’est pas dit dans l’énoncé. Mais au départ, les deux masses sont à une distance ℓo et le fil est droit (mais avec une tension nulle).
Si non, quand la distance entre les masses attendrait ℓo, le fil casserait.
Et si on tient compte de l’élasticité, alors cela devient une usine à gaz (et on peut ajouter la friction avec le sol, si on est vraiment masochiste).

La suite se décompose en deux phases, qu’il faut étudier séparément. Dans la première, la composante verticale de la force du fil qui agit sur M2 est inférieure au poids de M2. Cette masse se limite donc à accélérer horizontalement dans la direction où se trouvait M1 au départ.
Bien sur, la même force (de signe opposé) est appliquée sur M1 qui va accélérer vers la droite et vers le bas (en plus de l’accélération de gravité).

La deuxième phase commence quand la force verticale soulève M2.
À partir de ce moment, les deux masses vont continuer à tourner autour de leur centre de masses à vitesse constante, et le centre de masses va évoluer comme un caillou lancé avec la bonne vitesse initiale.
Au revoir.

[invite65931707]

Tout d'abord merci pour vos réponses.

Pour Resartus : j'ai compris votre raisonnement. Mais cela sous entend (au vue de la question 3) de résoudre l'équa diff que j'ai trouvée en 2 afin de trouver z_1 et de réinjecter dans la condition ?

Pour LPFR : il faut vraiment prendre en compte l'élasticité du fil (sous la forme d'un ressort en fait). Et les deux masses à l'état initial sont au même point A, ce qui signifie que le fil n'est pas tendu. Par contre pour la suite, le fil est droit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Si les masses sont au même endroit au départ, le problème est plus simple. Mais c’est idiot d’appeler « ficelle » un « ressort ».
On peut écrire des équations à gogo.
Mais on peut aussi réfléchir et prévoir des résultats avant. Il faut séparer le problème en phases différentes qu’il faut traiter séparément.
On a une première phase avant que le ressort se tende. Pendant cette phase la masse 1 suit un mouvement habituel de chute libre.
Pendant la deuxième phase le ressort se tend et la masse subit une force constante de son poids plus celle du ressort. Il faut écrire l’équation F=ma, et la résoudre.
On peut calculer quand cette phase finit : quand la tension du ressort est égale au poids de la masse 2, et que celle-ci commence à se soulever.
À partir de ce moment, la nouvelle phase commence : le centre de masses du système suit un mouvement accéléré avec la force de gravité. La vitesse de départ est la moitié (puisque les masses sont égales) à celle de la masse 1.
Et les deux masses commencent un mouvement sinusoïdal centré sur le centre de masses.
Cette phase s’arrête quand la séparation entre les deux masses devient égale à la longueur ℓo.
Et ainsi de suite, de phase en phase, jusqu’à ce que l’une des masses retouche le sol.
A+

[invite65931707]

Merci pour votre réponse.
Je n'ai fait que retranscrire le sujet original (mais je suis plutôt d'accord avec vous!).

J'ai bien compris qu'il avait 3 phases.
La première je l'ai comprise : la masse M1 va faire tendre le ressort.
Ensuite, le ressort est tendu et il rentre alors en action. Dans ce cas, comme dans mon post plus haut, j'obtiens l'équation (valable pour t>=t_1).
La résoudre, je veux bien (on obtiendrait du cos et sin avec mon équation proposée) mais pour la résolution graphique de la question 3, il faut que je cherche t_2 (l'instant où M_2 se soulève) tq ?

[Resartus]

Bonjour,
S'il ne s'agissait que d'exprimer la condition de décollage, il ne serait pas nécessaire de résoudre l'équation différentielle trouvée en 2.
On peut exprimer la conservation de l'énergie totale entre le départ et le point le plus haut de la trajectoire (où les énergies cinétiques sont nulles, et il ne reste que l'énergie potentielle de M1 et l'énergie élastique du ressort (qu'on peut exprimer connaissant la force qui vaut exactement le poids de M2 à ce moment).

Mais s'il faut trouver le temps Tz, on ne peut pas y échapper. Comme vous l'avez dit, c'est une équation du second ordre avec un second membre constant, ce qu'on peut interpréter comme un décalage du zéro du ressort vers le bas de m1g/k % L0. C'est un arc de sinusoide dont on connaît la position et la vitesse initiales. Sur ce graphique, on peut tracer la droite horizontale correspondant à la tension du fil au décollage, soit z=m2g/k.
Il y aura décollage si cette droite coupe la sinusoide, et le temps sera alors l'abscisse...

[LPFR]

...
J'ai bien compris qu'il avait 3 phases.
La première je l'ai comprise : la masse M1 va faire tendre le ressort.
...

Bonjour.
NON.
Prenez la peine de lire ce que je vous ai expliqué avec un peu plus d’attention.
Il y a au moins 3 phases. Mais avec une vitesse de lancement élevée, le nombre de phases pourrait être beaucoup plus élevé.
Et dans la première phase, le ressort est distendu.
Au revoir.

[LPFR]

Re.
J’ai des doutes. Car si le texte est tel que vous l’avez transcrit, il n’est dit nulle part que les deux masses soient au même endroit ni qu’il faille considérer la ficelle comme un ressort.

Je voudrais voir le vrai original.
Pouvez-vous nous montrer une photo (lisible) : ?
http://forums.futura-sciences.com/ph...s-jointes.html
A+

[invite65931707]

Bonjour voici l'énoncé original.

[LPFR]

Re.
Bien. Merci.
De la façon comme l’énoncé est rédigé, on peut choisir la constante du ressort comme ça nous arrange.
Alors, on la choisit la plus grande possible (presque infinie).
Dans ce cas au moment où la corde se tend (fin de la première phase), il se passe comme s’il y avait un choc élastique entre les deux masses et que la masse 1 venait taper par le bas (grâce au fil) la masse 2.
La masse 1 s’arrête et la masse 2 part vers le haut à la vitesse de la masse 1 et cette dernière commence une chute libre qui ne s’arrêtera qu’à la rencontre avec la masse 2 qui monte (fin de la phase 2).
La phase 3 commence avec le choc élastique entre les deux masses. La suite dépend des valeurs numériques. Car le centre de masses peut, au moment du choc avoir une vitesse vers le bas ou vers le haut.. Donc il y aura une phase supplémentaire, ou plusieurs.
Remarquez qu'on n'a pas besoin d'utiliser des équations différentielles. Tous les mouvements sont des chutes libres avec des conditions initiales variables.
A+