Physique et Math: la dérivée et la primitive

[invited13f25d0]

Bonsoir à tous!

Alors voilà, en revoyant mon cours d'automatique, je me suis posé une question:
si la dérivée correspond à une variation, alors la primitive, à quoi elle correspond?

La question peut paraître vraiment très bête mais j'voudrais savoir...

Je sais bien que c'est "l'air sous la courbe de la fonction", ça les profs de maths le
disent tout le temps... mais réellement, qu'est qu'une primitive?

En méca on a bien vu que le déplacement était la primitive de la vitesse et la primitive de
la primitive de l'accélération...

Du coup, merci à ceux qui prendrons le temps de me répondre et dsl de poster une
question aussi simple
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Je sais bien que c'est "l'air sous la courbe de la fonction", ça les profs de maths le
disent tout le temps... mais réellement, qu'est qu'une primitive?

Non, l'aire sous une courbe c'est l'intégrale de la fonction entre les deux abscisses considérées : .
Le lien avec une (car si elle en admet une, elle en admet une infinité, qui diffèrent toutes d'une constante additive) primitive de est : .

Toutes les notions dont vous parlez, fonction, aire sous la courbe, primitive, intégrale, sont liées, mais si elles ont des noms différents c'est qu'il s'agit de notions différentes. Il faut déjà commencer par savoir à quoi elles correspondent avant tout, sinon vous ne pourrez pas communiquer avec les autres.

[pm42]

On peut toutefois dire que calculer une primitive, c'est essayer de faire l'inverse de la dérivation.
Si tu as la position avec le temps, tu peux dériver et connaitre la vitesse.
Si tu as la vitesse avec le temps et la vitesse initiale, tu peux intégrer et connaitre la position.

On utilise cela pour calculer des positions dans les avions par ex : on connait le point de départ et la vitesse initiale.
Pendant le vol, on mesure l'accélération, on intègre pour avoir la vitesse et on intègre une 2nde fois pour avoir la position.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Centrale_à_inertie

[invite69d38f86]

la dérivée de la primitive c'est l'identité, comme la racine carrée de la puissance 2 c'est l'identité aussi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Une demonstration intuitive

[invitedd6b7bcf]

Il y a un lien très fort entre dérivation et nombres complexes. En effet dans le repère complexe, dériver est analogue à effectuer une rotation de pi/2.
Multiplier par exp(i pi/2)=i.Donc en considérant le repère complexe, dériver revient à faire une rotation (et intégrer à effectuer l'anti-rotation associée).
Perso je le vois comme ça du coup géométriquement , on revient à l'identité comme dit plus haut !

Bonne journée !

[pm42]

Il y a un lien très fort entre dérivation et nombres complexes. En effet dans le repère complexe, dériver est analogue à effectuer une rotation de pi/2.
Multiplier par exp(i pi/2)=i.Donc en considérant le repère complexe, dériver revient à faire une rotation (et intégrer à effectuer l'anti-rotation associée).
Perso je le vois comme ça du coup géométriquement , on revient à l'identité comme dit plus haut !

J'ai comme un doute là. Un lien vers une explication détaillée ?

[mach3]

Il y a un lien très fort entre dérivation et nombres complexes.

en fait le lien est avec l'application exponentielle (exponential map) d'une manière générale

m@ch3

[stefjm]

Une intégration peut être vue comme une sommation continue.

Exemple:

[albanxiii]

Essayons de ne pas trop se focaliser sur des cas particulier ou exotiques. Cela donne plus l'impression d'un étalage (je pense au message #6 (*)) et n'aide pas la personne qui a posé la question initiale.

(*) totalement à côté du sujet et "même pas faux"

[invited13f25d0]

Merci à vous tous d'avoir rejoins la discussion ^^

C'est vrai que je me suis mal exprimé au début... merci d'avoir reformulé!

Mais du coup je n'arrive toujours pas à capter ce que représente "physiquement" une primitive... non pas que je ne sache pas en calculer,
mais disons qu'avec le temps et toutes les formules qu'on nous balance en maths, j'essaye de faire un lien avec le monde réel.

En fait ce qui m'a fait me poser cette question se trouve ici:
http://geii.iut-nimes.fr/sites/defau...ue%20-2016.pdf
(page 10)

Ce n'est pas le cours que l'on a eu mais par curiosité j'ai cliqué sur le lien...

Et c'est la phrase "Le correcteur doit prendre en compte à la fois l’altitude, mais aussi sa dérivée et sa primitive"

Je la comprend en partie (du moins je crois) notamment en remplaçant "dérivée" par "variations" mais du coup,
qu'est-ce qu'on pourrait dire pour "primitive"?

[invite936c567e]

Bonsoir

Dans la mesure où la dérivée d'une fonction représente sa variation, la primitive d'une fonction représente l'accumulation des valeurs qu'elle prend.

[invite69d38f86]

On ne peut exclure que celui qui a fait les diapos n'a mis le mot primitive que pour faire son kéké.
ceci dit la dimension de cette primitive serait LT
je ne vois pas quelle grandeur a cette dimension. peut etre que pour les ingénieurs de l'aviation ca correspond a qqchose.

[pm42]

Je la comprend en partie (du moins je crois) notamment en remplaçant "dérivée" par "variations" mais du coup,
qu'est-ce qu'on pourrait dire pour "primitive"?

Dans le cas présent, le mot utilisé est impropre mais pour "que pourrait on dire", c'est exactement ce que les 1ères réponses à ta question ont expliqué avec exemples.

Lire les réponses plutôt que de reposer la question peut aider à comprendre.

[stefjm]

On ne peut exclure que celui qui a fait les diapos n'a mis le mot primitive que pour faire son kéké.
ceci dit la dimension de cette primitive serait LT
je ne vois pas quelle grandeur a cette dimension. peut etre que pour les ingénieurs de l'aviation ca correspond a qqchose.

Surement pas son kéké! Ne pas prendre les enseignants pour des plouks.
La correction intégrale (intégration, primitive) est très classique en automatique pour avoir une erreur statique nulle quelles que soient les consigne et un bon rejet de perturbation quelles que soient ces perturbations.

edit : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gulateur_PID

[stefjm]

Dans le cas présent, le mot utilisé est impropre mais pour "que pourrait on dire", c'est exactement ce que les 1ères réponses à ta question ont expliqué avec exemples.

On dit plutôt correction intégrale pour intégration, plutôt que primitive.
Ceci dit, dans les domaines technique, on voit bien pire.
Je sais, ce n'est pas une bonne raison...

[invite69d38f86]

ok ca existe
mais il reste a dire de quoi on parle.
la grandeur c'est l'altitude, sa dérvée la vitesse ascensionnelle mais la primitive c'est quoi?

[FC05]

Dans ce genre de système c'est l'intégrale de l'écart entre ta mesure et ta consigne (ce que tu veux avoir).
Pour faire simple, tu dois faire en sorte que ce résultat soit nul, ce qui te montre que tu n'a plus d'écart entre mesure et consigne (ou que tu oscilles autour de la bonne valeur). Ceci supprime l'erreur statique que tu as sur un régulateur proportionnel.

Donc pour répondre à la question de base, il faut plutôt voir l'intégrale comme une somme, d'ailleurs ce n'est pas pour rien que le signe de l'intégrale ressemble à un grand S.

[invite69d38f86]

supposons que le but du systeme soit de maintenir l'avion a une certaine altitude.
a priori un altimetre suffira. si on est en dessous l'ordi indique de monter tour de suite vers la bonne hauteur.
si de plus le comfort des passagers ou des problemes d'économie d'énergie entrent en jeu, le temps pour y arriver va intervenir.
on va avoir besoin de mesurer la vitesse ascensionnelle ou encore mieux un accélérometre (dérivée premiere ou seconde)
si l'on ajoute un controle sur une primitive du mouvement ca doit répondre a une certaine contrainte imposée supplémentaire.
laquelle?

[calculair]

l'integrale de l'ecart par rapport au temps entre la consigne et le réalisé permet de minimiser l'erreur en ajustant l'ordre de réalisation ..

[stefjm]

supposons que le but du systeme soit de maintenir l'avion a une certaine altitude.
a priori un altimetre suffira. si on est en dessous l'ordi indique de monter tour de suite vers la bonne hauteur.
si de plus le comfort des passagers ou des problemes d'économie d'énergie entrent en jeu, le temps pour y arriver va intervenir.
on va avoir besoin de mesurer la vitesse ascensionnelle ou encore mieux un accélérometre (dérivée premiere ou seconde)
si l'on ajoute un controle sur une primitive du mouvement ca doit répondre a une certaine contrainte imposée supplémentaire.
laquelle?

Oui, cela suffira pour un suivi de consigne constante, car il y a une intégration entre vitesse et position dans la boucle ouverte (BO), que cette intégration a un gain statique infini et que la boucle fermée (BF) aura donc un gain statique de 1 conduisant en régime permanent à altitude=consigne. BF=BO/(1+BO)

Deux cas typiques où cela ne va pas suffire :

1) Consigne d'altitude en rampe : Pour pouvoir suivre sans erreur de trainage une rampe, il faut deux intégration dans la BO. S'il n'y en a qu'une (celle entre vitesse et positon) il va falloir en rajouter une dans le correcteur.
Si on ne rajoute pas cette intégration, on a une erreur finie de trainage entre la consigne en rampe et l'altitude obtenue. En gros, l'avion est trop bas s'il monte et trop haut s'il descend. Ça peut être pénible...

2) Perturbation de vitesse verticale en échelon du à un trou d'air : Avec l'intégration dans le correcteur, on va pouvoir effacer l'influence de cette perturbation de vitesse en compensant en régime permanent avec l'intégration.
S'il n'y a pas d'intégration dans le correcteur, il y aura une erreur d'altitude constante, tant que durera le trou d'air.

En complément, l'intégration permet d'avoir une commande constante pour une erreur nulle, la commande qui justement permet cette erreur nulle, grâce au rebouclage de la boucle fermée.

Cordialement.

[stefjm]

ok ca existe
mais il reste a dire de quoi on parle.
la grandeur c'est l'altitude, sa dérvée la vitesse ascensionnelle mais la primitive c'est quoi?

J'ai posé plusieurs fois la question à des physiciens qui ne m'ont jamais répondu...
L.T = ??

Un autre intérêt de l'intégration est à la fois sa douceur dans les premiers instants et sa ténacité d'autant plus grande que le temps passe.
Démonstration : On imagine notre avion avec une "petite" erreur d'altitude constante au cours du temps.
Dans les premier instant, la commande intégrale fait ce qu'elle faisant avant sans changement parce que commande(t+1)=commande(t)+peti teErreur.dt
Au fur et à mesure que le temps passe, la commande intégrale augmente, linéairement en fonction du temps si l'erreur reste constante. (l'intégration d'un échelon donne une rampe)

Au bout d'un moment, la commande devient très forte! car elle a de plus en plus de gain. En régime permanent, le gain est infini! ce qui conduit à une erreur nulle et ensuite à une commande intégrale constante.

Inconvénient : la commande intégrale étant lente, elle ralentit les procédés et les déstabilise : On risque un avion qui fait le yoyo si on calcule mal le correcteur.

Cordialement.

[stefjm]

Et c'est la phrase "Le correcteur doit prendre en compte à la fois l’altitude, mais aussi sa dérivée et sa primitive"

Bonjour,
La correcteur dérivateur correspond à la vitesse et permet au correcteur d'anticiper ce qui va se passer : La prise de décision de traverser la rue pour un piéton dépend un peu de la présence de voitures, mais surtout de la vitesse des voitures!
Le correcteur intégrateur se souvient du passé (avec la constante d'intégration réactualisée en permanence par la boucle fermée) et agit en conséquence.

Voir ce fil pour les explications d'un PID : http://forums.futura-sciences.com/ph...erivateur.html

[invite69d38f86]

Pour cette histoire de dimension, comme je n'ai aucune connaissance en automatisme je suis allé sur wiki
ca m'avait fait penser aux équations intégro différentielles bien moins connues que les équa diff.
dans le lien on retrouve le parametre s qui a pour dimension l'inverse du parametre d'intégration.
en fait pour que les calculs soient cohérents du point de vue dimensionnel a chaque fois qu'on a
dérivation ou intégration il y a un facteur dimensioné associé qui fait que le résultat est sans dimension.
ou ce qui revient au meme que tous les résultats intermédiaires aient la meme dimension.
le probleme du LT ne se pose donc pas. (De la meme facon qu'on n'a pas un probleme avec l'ajout de la grandeur et
de sa dérivée.)

[stefjm]

Normal.
Le coefficient qui caractérise l'intensité de
la dérivé est un temps Td, action Td.dX/dt
l'intégration est l'inverse d'un temps 1/Ti, action 1/T1 int X.dt

N’empêche que se demander ce que représente physiquement LT est une question intéressante que je me suis déjà posée.

[invite69d38f86]

une mesure de surface dans l'espace temps pour un truc de dimension 2 orthogonal a une surface de type espace....

[invitecea37fe7]

Bonjour,

J'ai l'impression qu'on ne peut pas vraiment parler de primitive d'une distance dans ce cas là, ca a plutôt l'air d'être une transformée de Laplace
Je ne connais moi non plus rien en automatisme mais c'est surement pour traiter une imprécision liée à la mesure en considérant que l'altitude et la vitesse instantanée données sont à moyenner sur le temps de mesure et qu'il faut prendre en compte le fait que le système évolue pendant ce temps.
Du coup on définit un écart à la mesure et on le traite comme un oscillateur pour coller le plus possible à une "mesure absolue".
Pour résoudre l'équa diff sur plusieurs variables on identifie une transformée de Laplace F(p)=L[f(t)] telle que L[f '(t)] = pF(p) - f(0) et tout plein d'autres propriétés
p a la dimension d'une fréquence
1/p représente un temps caractéristique de mesure ou de retard du signal.
F(p) est une intégrale de "dimension L" puisqu'on considère f(t) comme une distance moyenne dans le temps (il y a d'autres variantes selon les écritures de L[f(t)] )

J'imagine que ca n'est que de l'analyse statistique et parler de distance et de temps n'est pas très rigoureux et que ce qu'on fait c'est remplacer dans les équations dérivation et intégration par des produits car la fonction z(t,v) n'admet pas de différentielle totale.. Je peux me tromper
A la limite on pourrait parler de "distance caractéristique de mesure" et de "vitesse caractéristique de mesure" afin d'obtenir des mesures instantanées convenables ?

[stefjm]

Trop de points à reprendre. Pas le courage...

[invite4213ed4a]

Bonjour à toutes, tous,

Brievement, je reprends des études pour le plaisir, sans m'inscrire pour l'instant en fac, je bosse juste de mon côté afin d'avancer un peu et pouvoir reprendre officiellement les études en physique.

J''ai une petite question pour la dérivée seconde niveau écriture...
Je lis le cours de mécanique et la dérivée s'écrit souvent ainsi dx/dt (pour connaitre la vitesse par exemple)

pour l'accélération je vois la notation comme telle : d^2(x)/ dt^2
désolé, pas évident de taper cela sur clavier, mais vous voyez ce que je veux dire

question : pourquoi le 2 est associé à d au dessus, et le 2 associé ensuite au "t" en dessous ?

pourquoi pas noter le "2" sur les deux "d"...

un peu confus pour moi.

En vous remerciant!

[mach3]

Bonjour,

En fait on applique deux fois de suite l'opérateur de dérivation par rapport à t, , à la position x. Ca donne :



m@ch3