Attraction gravitationnelle entre deux personnes

[henryallen]

Bonsoir,

Je me suis récemment demandé ce qu'il adviendrait si l'on plaçait deux personnes dans un système isolé, et en laissant agir la gravité seule. J'ai donc réalisé des calculs, et j'aimerais savoir s'ils sont corrects ou non.

On considère deux personnes (réduites à de simples points pour faciliter les choses) de même masse, notée , et séparées par une distance . On a alors, en notant la force gravitationnelle s'exerçant entre ces deux personnes: où est la constante gravitationnelle.
D'après la deuxième loi de Newton, la somme des forces vectorielles est égale au produit de la masse par le vecteur accélération. Ici, la seule force est , et donc en passant aux normes, on obtient soit .
On considère désormais un repère tel que l'une des personnes soit à l'origine, et que l'autre se situe sur l'axe des abscisses, au point de coordonnées . On a, en intégrant (et avec le temps en secondes): , en supposant que la vitesse initiale est nulle, puis , puisque la personne est à l'origine.
Les deux personnes ayant la même masse, elles vont toutes deux se déplacer de la même manière l'une vers l'autre, et donc elles vont se rencontrer au point de coordonnées . On cherche donc pour quelle valeur de on a: , donc , soit . On a donc finalement: .

On passe maintenant à une petite application numérique. On prend , , et on prend . On trouve alors .

Donc si vous vouliez bien confirmer ou infirmer mes résultats, je vous en serais reconnaissant
Merci d'avance et bonne soirée.
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[coussin]

Bah oui mais non
C'est un problème bien connu, évidemment
Ce que vous appelez x(t) est en fait la distance entre les deux corps entrant dans la force.
Vous avez donc à résoudre une équation différentielle de la forme m d²x/dt² = Gm²/x²(t).

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Clas...sional_problem

[Archi3]

en plus les deux personnes bougent, mais on montre que ça revient à prendre la masse réduite mu = m1m2/(m1+m2) devant l'accélération, soit donc ici m/2.

[henryallen]

Bonsoir et merci pour vos réponses

Je pensais qu’en intégrant deux fois l’accélération, on obtenait la position et que ce raisonnement était valable (et utile) ici. Il s’avère donc d’après vos réponses que c’est un peu plus complexe ... Et en effet, je comprends que mon raisonnement est faux puisque je considère l’accélération constante, alors même que les corps se rapprochent ... Stupidité de ma part.

Merci encore et bonne soirée à vous deux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Deux personnes ou deux planètes, c'est le même problème : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%...%A0_deux_corps
La trajectoire dépend des conditions initiales.

[Archi3]

sinon pour info j'ai donné la solution exacte de la chute de deux corps l'un sur l'autre en mécanique Newtonienne ici :
https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6114740

(il est plus simple de partir de l'intégrale première de l'équation du mouvement qui donne la vitesse en fonction de la distance, qui s'exprime par la conservation de l'énergie totale
où d est la distance initiale et la masse réduite
Le temps de chute est la moitié du temps de l'orbite képlerienne pour la distance d , c'est à dire . Ce n'est pas très éloigné de la valeur calculée par Henryallen malgré l'approximation faite, il faut multiplier par (mais pour des raisons dimensionnelles c'est forcément un nombre sans dimension de l'ordre de 1 multiplié par , qui est le seul temps qu'on peut évaluer avec les données du problème.

[Archi3]

oups n'importe quoi pour la dernière valeur, je corrige :

Le temps de chute est la moitié du temps de l'orbite képlerienne pour la distance d , c'est à dire . Ce n'est pas très éloigné de la valeur calculée par Henryallen malgré l'approximation faite, il faut multiplier par (mais pour des raisons dimensionnelles c'est forcément un nombre sans dimension de l'ordre de 1 multiplié par , qui est le seul temps qu'on peut évaluer avec les données du problème.

[henryallen]

Encore une fois merci pour ces réponses ! J’essaierai de me pencher sur tout ça.

Bonne journée