Galilée, expérience de pensée et chute des corps

[Archi3]

Cà fait des années que j'entends cela. Mais personne ne fait de calculs. Non non. Surtout pas.
Puisque "tout le monde" sait bien que tous les corps tombent de la même façon sur terre.

Bah. Encore quelques centaines d'années !

si je comprends bien le sens de vos remarques, vous dites que la vitesse de chute de différents corps de masses m1 différentes attirés par un même corps de masse m2 constante dépend en fait de m1, et donc qu'il est faux de dire que tous les corps ont la même accélération.
C'est tout à fait exact si on considère une masse m2 finie , du fait que l'attraction que m1 exerce sur m2 dépend aussi de m1, et que donc le mouvement inverse de m2 vers m1 dépend de m1 .. du coup le mouvement de m1 vers m2 en dépend aussi (comme on l'a vu, il dépend de la somme m1+m2).
Ainsi en toute rigueur, un objet de 10 kg qui tombe vers la Lune (dans le vide), n'a pas rigoureusement la même accélération qu'un objet de 20 kg. Mais la différence relative est de l'ordre de m/M (la différence entre masse réelle et masse réduite), donc en pratique elle est totalement imperceptible, et en tout cas la vitesse de chute est très loin de varier proportionnellement à m bien sur.
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[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Ça ne me semble pas évident. Telle que l'histoire est racontée on a plutôt l'impression que la "petite pierre" est au-dessus de la plus grande. D'ailleurs Simplicio pose à un moment la question : "Mais si l'on plaçait la plus grande sur la plus petite ?". Cela sous entendrait qu'au début c'était l'inverse.

Très juste. Il faut également voir les différences d’exposés entre le Dialogue sur les deux grands systèmes du monde et le Discours sur deux sciences nouvelles. Il va falloir que je me penche de nouveau dans les deux. Si j’y pense, je reviendrais en parler par ici.

De toute façon, cela mets en évidence deux choses : d’une part, qu’il y a tout de même une ambiguïté, d’autre part que cette ambiguïté est connue de Galilée et qu’il la traite.

À bientôt.

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Je pensais me perdre vu la structure de l’ouvrage, mais je suis tombé tout de suite sur le passage concerné dans le Discours sur deux nouvelles sciences. C’est à la fin de la première journée. Dans la façon de présenter les choses de cet ouvrage, la position des pierres n’est tout d’abord pas précisée. Alors Simplicio propose de poser la plus grande pierre sur la plus petite, mais Salviati conclu que ça ne change rien au raisonnement.

Pour répondre au problème d’Arisme, on peut tout de même s’en sortir : il faut choisir une configuration et s’y tenir une bonne fois. De cette manière, on a une définition sans ambiguïté.

Je ne garantis pas de trouver si vite le bon passage dans les autres écrit de Galilée.

À bientôt.

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Sapristi saucisse (deux fois) !

Il faut arrêter de se faire avoir par cette histoire de parachute, on voit tout de suite un objet au bout duquel un autre pendouille. Sauf que : les deux pierres sont posées l’une sur l’autre, puis rendues solidaires. Par exemple, en ficelant le tout…

Comment ai-je pu passer à-côté ?

À bientôt.

[Lansberg]

Je ne garantis pas de trouver si vite le bon passage dans les autres écrit de Galilée.

Il n'y est pas ! Cette expérience de pensée ne figure pas dans le Dialogue sur les deux grands systèmes du monde. On peut par contre se rattraper sur la chute d'un boulet depuis l'orbite de la Lune en 3h22min4s ! C'est un autre sujet.

[Sethy]

si je comprends bien le sens de vos remarques, vous dites que la vitesse de chute de différents corps de masses m1 différentes attirés par un même corps de masse m2 constante dépend en fait de m1, et donc qu'il est faux de dire que tous les corps ont la même accélération.
C'est tout à fait exact si on considère une masse m2 finie , du fait que l'attraction que m1 exerce sur m2 dépend aussi de m1, et que donc le mouvement inverse de m2 vers m1 dépend de m1 .. du coup le mouvement de m1 vers m2 en dépend aussi (comme on l'a vu, il dépend de la somme m1+m2).
Ainsi en toute rigueur, un objet de 10 kg qui tombe vers la Lune (dans le vide), n'a pas rigoureusement la même accélération qu'un objet de 20 kg. Mais la différence relative est de l'ordre de m/M (la différence entre masse réelle et masse réduite), donc en pratique elle est totalement imperceptible, et en tout cas la vitesse de chute est très loin de varier proportionnellement à m bien sur.

Effectivement, si c'était ça la question posée, il aurait été plus judicieux de la présenter sous cet angle la.

Encore que, je me demande si l'accélération initiale est différente ? Que les trajectoires soient modifiées par la réaction de l'autre corps et par voie de conséquence, "la force" (où la courbure peu importe) et que dès lors les accélérations suivantes le soient, c'est clair, mais l'accélération initiale est-elle différente ?

Car justement, au niveau de l'accélération initiale, les 2 masses se simplifient. Autre manière de poser la même question : si les corps ne se meuvent pas (parce qu'ils sont arrimés par exemple), la Force d'attraction qu'ils ressentent, est-elle en toute rigueur, différente selon la masse de l'objet considéré ?

Je réponds ici aux autres messages, écrire m1.v1 = m2.v2 sans poser aucune contrainte supplémentaire, désolé, mais c'est en toute généralité, faux. Archi 3 l'a d'ailleurs bien précisé, ce n'est vrai que "dans le référentiel barycentrique".

J'ai d'ailleurs proposé une expérience (avec le piéton qui traverse), il suffisait de me dire que j'avais tort en utilisant ces données.

[Sethy]

Je réponds moi-même en partie, les forces sont bien proportionnelles. Reste la question de l'accélération initiale.

[Arisme]

Salut,

Yoann : Ah ok je pensais que la mécanique rationnelle c'était une sorte de mécanique proprement axiomatisé mathématiquement. Bon tant pis, si c'est plus utilisé aujourd'hui, je ne vais pas me lancer là-dedans.
Par contre, que voulez vous dire par "On peut parfaitement envisager de manière cohérente avec le modèle newtonien un point ponctuel non soumis à la gravité, mais soumis à une telle force." ?
Si j'appelle f=m^2 * g la force de gravitation, pourquoi dite vous que ce n'est pas la force de gravitation. Certe ce n'est pas confirmé par l'expérience, mais je peux très bien imaginer poser cela en axiome, indépendamment de l'expérience, sans que le modèle soit incohérent.

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Yoann : Ah ok je pensais que la mécanique rationnelle c'était une sorte de mécanique proprement axiomatisé mathématiquement.

C’était un peu le projet de ceux qui se sont lancés dans cette approche, mais en définitive ils ont surtout montré que la physique n’avait pas le même status ontologique que les mathématiques.

Par contre, que voulez vous dire par "On peut parfaitement envisager de manière cohérente avec le modèle newtonien un point ponctuel non soumis à la gravité, mais soumis à une telle force." ?
Si j'appelle f=m^2 * g la force de gravitation, pourquoi dite vous que ce n'est pas la force de gravitation. Certe ce n'est pas confirmé par l'expérience, mais je peux très bien imaginer poser cela en axiome, indépendamment de l'expérience, sans que le modèle soit incohérent.

Bon, là, on rentre plutôt dans une question d’épistémologie.

On aborde généralement la mécanique de manière calculatoire. En conséquence, on a tendance à la voir finalement que comme une série de lois posées de manière plus ou moins arbitraire et à partir desquelles on fait des calculs. Du coup, les forces ont l’air d’être de simples objets abstraits. Sauf que les lois physiques ne sont jamais posées au hasard. Certains développements mathématiques utilisés en physique ont même pour partie été réalisés justement pour la permettre d’établir la physique. C’est typiquement le cas du calcul différentiel.

Je vais me retrouver à simplifier l’histoire, mais la théorie newtonienne commence comme une théorie de la gravité. Il part notamment des constats de Galilée, à savoir qu’en l’absence de frottement les corps chutent à la même vitesse, des lois de KEPLER pour les corps spatiaux et du constat que ce qui fait chuter les objets est aussi ce qui fait tourner les planètes. Partant de là, il a construit le cadre théorique qui lui permet de formaliser tout cela.

Dit comme ça, c’est extrêmement schématique et il y a à redire. Je dois aborder le sujet prochainement, ce sera l’occasion de parler de jalousie et de faux et usage de faux. Bref.

La loi universelle de la gravitation n’a donc pas été posée dans un système théorique préexistent. Son établissement est intrinsèquement lié à la mise en place du cadre théorique, tant physique que mathématique, qui la sous-tend. Dire qu’on la remplace par une autre est d’un point de vue de l’exercice mathématique possible, cependant la loi universelle de la gravité telle que posée par NEWTON et aussi ce qui lui a permis de poser le cadre mathématique.

À bientôt.

[faissol]

Bonjour

Réponse à Archi3.

Dans les équations de Newton, il y a trois variables; Trois unités.
La masse (kilogramme); La distance (mètres); Le temps (seconde).
L'équation de Newton peut s'écrire (en valeur absolue....)

F 1->2 = F 2->1= m1.a1=m2.a2= G.m1.m2/d2.

Vous avez fait une belle intégration et dégager les valeurs des vitesses de la masse m1 et de la masse m2, en fonction de la distance X0 et de la distance X (D0 et D1).
Ce dont je vous remercie. (Ainsi que la vitesse de m1 par rapport à m2)
Vous avez aussi dégager les valeurs des distances parcourues par chaque masse.
(Dans le référentiel du centre de gravité des deux masses).

J'ai vainement essayé de trouver une fonction. Durée = f(m1, m2, X0 et X). Je n'y suis pas (encore) arrivé.
J'ai donc trouvé un subterfuge - intégration par itération ou par parties - pour calculer la durée d'une chute entre les distances X0 et X (D0 D1).

Si on prend une masse M. Et qu'on la divise en 2 parties, m1 et m2 (donc m1 + m2 = M).
Quelque soit la division qu'on fait, à distances égales (départ/arrivée), les durées sont similaires.
Les distances parcourues par chaque masse changent.
Les accélérations initiales de chaque masse changent.
Les vitesses de chaque masse "à l'arrivée" changent, dans le référentiel du centre de masse (dont la position d'ailleurs varie en fonction de la division de M...)
(mais comme vous l'avez si bien dit, la vitesse de la masse m1 par rapport à la masse m2 est toujours la même, quelque soit la division de M).
Mais la durée, elle reste identique. Qu'on prélève à la masse M quelque soit sa valeur quelques atomes ou la moitié de sa masse.

En mathématique, 1+1 = 2. Mais si m1 est très grand vis à vis de m2, alors m1 + m2 = "à peu près" m1.

A la conclusion de Galilée -Sur terre, tous les corps tombent de la même façon - il faut donc ajouter une condition; à condition qu'il soient petits par rapport à la masse de la terre.

Je me suis trompé. Encore une fois. J'ai avancé une conclusion plus globale. Théorique. Et personne ne fait de calcul de durées. C'est bien trop risqué.
Peut être que dans les calculs, je ne me suis pas trompé.......

Faissol.

Post scriptum.
Et les calculs montrent qu'une masse de 2 kg tombe en un temps plus court qu'une masse de 1 kg vers une masse de 20 kg par exemple.
Mais qu'une masse de 2 kg tombe "dans le même temps" qu'une masse de 1 kg vers la masse de la terre. Puisque il n'existe pas, je pense, de calculateur à ma portée qui garde une trentaine de chiffres après la virgule.......................

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

J'ai vainement essayé de trouver une fonction. Durée = f(m1, m2, X0 et X). Je n'y suis pas (encore) arrivé.

Deux corps soumis uniquement à l’attraction l’un de l’autre vont entrer en rotation autour de leur centre de masse (barycentre), ce que l’on nomme des orbites. Dans le cas du système solaire, cela a été établit empiriquement par KEPLER et ça se retrouve à l’aide de la physique de NEWTON. Cette théorie permet par ailleurs de calculer d’autres cas, par exemple les étoiles doubles ou triples (dans ce dernier cas il s’agit d’un problème à trois corps).

En conséquence, la distance va varier de manière périodique. Également, le référentiel le plus adapté est donc centré sur le barycentre et il est plus pertinent d’utiliser des coordonnées polaires. Le cas du problème à deux corps dans le cadre de la gravitation newtonienne est détaillé sur Wikipédia et les équations des trajectoires y sont données.

J'ai donc trouvé un subterfuge - intégration par itération ou par parties

Non, vous ne faites pas d’intégration par parties. Définitivement pas. « Intégration par parties » désigne une méthode de résolution analytique d’un intégrale. C’est une méthode que l’on apprend en même temps que l’on apprend la notion d’intégrale.

En mathématique, 1+1 = 2. Mais si m1 est très grand vis à vis de m2, alors m1 + m2 = "à peu près" m1.

On a toujours x + x = 2x, ce qui correspond à votre premier exemple. Votre deuxième exemple n’est pas du tout le même : dans le cas où une quantité est très supérieure à une autre, la deuxième n’a pas d’influence quantifiable. On dit que la deuxième quantité est négligeable par rapport à la première. C’est un élément de base.

C’est vraiment important : d’un côté, vous pinaillez sur l’expression de la chute des corps, de l’autre vous utilisez du vocabulaire de manière totalement imprécise et même fausse – mésusage du terme « intégration par parties », mauvaise manipulation du concept de quantité négligeable, entre autre.

A la conclusion de Galilée -Sur terre, tous les corps tombent de la même façon - il faut donc ajouter une condition; à condition qu'il soient petits par rapport à la masse de la terre.

Bien entendu. Toute théorie a son domaine de validité, c’est également un point de base. Le domaine de validité du constat de Galilée ainsi que le cadre théorique permettant de l’expliquer, on les connait depuis NEWTON.

Je me suis trompé. Encore une fois. J'ai avancé une conclusion plus globale. Théorique.

En science, une théorie est un modèle cohérent permettant d’expliquer un ensemble de phénomènes et de réaliser des prévisions. Au risque de vous sembler méprisant, le fait est que vous n’avez fait que parler de points parfaitement connus depuis littéralement des siècles, ainsi que des banalités. Quant à la théorie sur les questions soulevées, le cadre newtonien est parfaitement suffisant et ce cadre théorique est disponible en de nombreux exemplaires sur Internet.

En tout état de cause, vous n’avez fait aucune théorie. Vous avez simplement réalisé des approximations numériques.

Et personne ne fait de calcul de durées. C'est bien trop risqué.

Sur quoi vous basez-vous pour faire une telle affirmation ? Que vous n’ayez pas les bagages mathématiques et physiques pour réaliser de tels calculs n’est pas un problème en soi, on ne peut pas tout connaître. En revanche, le fait que vous ne soyez pas capable de réaliser de tels calculs ne permet pas de tirer une conclusion générale.

Le cas du problème à deux corps est la base de la mécanique spatiale. Ceux qui travaillent dans ce domaine réalisent des calculs numériques portant sur de tels cas et même des cas plus complexes, ce tous les jours.

Puisque il n'existe pas, je pense, de calculateur à ma portée qui garde une trentaine de chiffres après la virgule.......................

Par exemple, SageMath et Xcas sur un ordinateur domestique le permettent. Si vous y tenez, vous disposez donc de tout ce qu’il faut pour réaliser des calculs avec une précision arbitraire.

Maintenant, avant de se lancer à corps perdu dans des calculs, il est toujours bon de prendre du recul. Prenons un exemple. La masse de la Terre est estimée à 5,9722 × 10²⁴ kg. La baleine bleue est l’espèce animale connue pouvant atteindre la plus grande masse, de l’ordre de 190 tonnes, ce qui donne 1,9 × 10⁵ kg, soit environ 3,18 × 10⁻¹⁸ % de la masse de la Terre. L’influence d’une baleine bleue sur la Terre n’est donc pas mesurable.

De toute façon, je ne comprends pas où vous voulez en venir. Si vraiment vous vouliez vous renseigner sur la gravitation, vous auriez très facilement trouvé énormément de renseignements sur le net. Vous auriez également pu vous rendre à une bibliothèque : il y a énormément d’ouvrages portant sur le sujet.

Ceci étant, encore une fois vous n’avez fait qu’aborder des points parfaitement connus depuis des siècles. Si vous voulez montrer qu’il y a des problèmes dans la physique classique, ce n’est de toute façon pas comme ça que vous y arriverez, dans la mesure où, encore une fois, tout ceci est bien connu et parfaitement pris en compte dans le cadre de la physique classique.

Surtout, si tel est bien votre but, vous avez au moins un siècle de retard : cela fait longtemps que les limites de la physique classique sont connues. C’est d’ailleurs pour résoudre ces problèmes qu’ont émergé les théories de la relativité restreinte, de la relativité générale et de la mécanique quantique. Entre autre.

D’ailleurs, nous savons déjà que relativité générale et mécanique quantique sont insuffisantes. Par exemple, elles sont incompatibles et on a cependant besoin des deux pour rendre compte des trous noirs ou de l’ère de PLANCK – si vous ne savez pas ce qu’est l’ère de PLANCK, j’en ai parlé sur mon site.

Si vous voulez proposer une nouvelle théorie, pourquoi pas, mais clairement il faut d’abord que vous fassiez l’effort d’acquérir les compétences en mathématiques et en physique. Agiter comme vous le faites des choses parfaitement connues ne mène à rien.

À bientôt.

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Deux corps soumis uniquement à l’attraction l’un de l’autre vont entrer en rotation autour de leur centre de masse (barycentre), ce que l’on nomme des orbites.

Avant que l’on pinaille pour rien, je précise : deux corps ayant des masses du même ordre de grandeur. Dans le cas où la masse de l’un est négligeable par rapport à celle de l’autre, le premier ne mettra pas en mouvement le deuxième et donc le premier chutera sur le deuxième.

À bientôt.

[Archi3]

J'ai vainement essayé de trouver une fonction. Durée = f(m1, m2, X0 et X). Je n'y suis pas (encore) arrivé.
J'ai donc trouvé un subterfuge - intégration par itération ou par parties - pour calculer la durée d'une chute entre les distances X0 et X (D0 D1).

effectivement il n'y a pas de solution qui s'exprime avec des fonctions connues pour trouver la solution t en fonction de x (où x en fonction de t) , cela reviendrait à trouver une primitive de . Mais on peut faire une intégration numérique pas à pas (ce que vous appelez incorrectement une "intégration par parties", qui est autre chose). Bien sur que ces calculs sont faits de manière routinière, dans des situations bien plus compliquées, pour faire de l'astronautique spatiale.

[faissol]

Bonjour

Yoaan Le Bar.
Merci pour votre reponse. C'est interessant.

Archi 3.
Oups. Je viens de me rendre compte de ma meprise de langage. Integration par parties signifie autre chose pour un mathématicien que ce que je fais. J'emploirai dorenavent integration numerique pas a pas. Merci

Bonne journée

Faissol

Deux corps soumis uniquement a l'attraction l'un de l'autre vont entrer en rotation autour de leur centre de masse (barycentre). Ce que l'on nomme des orbites...........

[Sethy]

Pour éclairer le débat, je vais prendre mon exemple fétiche, celui de la division.

En primaire, on apprend d'abord comment faire des multiplications à trous (en gros 3 x ... = 9), ensuite vienne les vrais divisions mais d'abord de nombre rectangle (issu du produit de nombres entiers).

Diviser 7 par 2 n'a donc à ce moment la, aucun sens. Mais bien vite on apprend la division avec un reste. Ensuite viennent les fractions, mais il y a dans tout cela une constante : on ne peut jamais avoir de zéro au dénominateur car diviser par zéro n'a pas de sens.

C'est une règle définitive et tout élève qui obtiendrait un zéro au dénominateur d'une fraction d'un exercice obtiendrait automatiquement un 0 au numérateur de celles de ses points

Sauf qu'au début du secondaire, on attribue un nom a des fractions comme 0/0 et on les appelle des indéterminées.

Plus tard, on va même aller jusqu'à lever ces indéterminées et de se rendre compte que dans certains cas (comme par exemple la limite de sin(x)/x pour x tendant vers 0) ont une valeur bien réelle (ici 1) alors que sinus(0) = 0 et x en 0 vaut évidemment 0.

Quand un enseignant dit "on ne peut pas diviser par zéro" ou "0/0 est (une) indéterminé(e)", il sait que ce n'est pas tout à fait exact et qu'il y aurait des précautions à prendre mais dans son enseignement, à ce moment la, et face à l'âge du public qu'il a en face de lui, il sait que ces formulations sont celles à employer.

Il n'est pas rare d'ailleurs qu'il y a un parallèle entre l'ordre dans lequel les éléments sont enseignés et ceux dans lequel ils ont été découverts. Il fut probablement un temps ou les premiers "proto-mathématiciens" considéraient réellement que diviser par zéro n'avait pas de sens.

Ici quand Galilée fait son expérience de pensée, il ne sait pas tout ce qu'on sait aujourd'hui. Il n'empêche qu'il a deviné juste et qu'effectivement, contrairement à ce que des générations ont enseigné avant lui, Aristote avait tort. Depuis, évidemment, on a compris les choses et déjà Newton les avaient comprises.

Alors pourquoi garde-t-on l'apport historique originel ? D'abord parce que c'est reconnaitre le bond énorme qu'a permis la constatation de Galilée. Bien sûr, il n'avait pas tout compris, et alors ? Mais faut-il s'arrêter à cela ? C'est aussi parce que la réception de cette formulation va dépendre du public. Pour le profane ou l'étudiant, il va prendre la formulation dans l'acceptation immédiate. Au fur et à mesure que sa compréhension va augmenter, il va de lui-même mettre les guillemets supplémentaires autour de cette formulation, comme autant de précautions à prendre avant de l'utiliser.

La aussi, un parallèle peut être fait avec l'histoire. Quand on doit évaluer quelque chose, va-t-on systématiquement prendre la mesure la plus exacte (et certainement la plus couteuse en temps et en ressources) ? Est-il nécessaire de connaitre le poids d'un kilo de sucre avec une précision au milligramme ? Pour faire une recette de crêpes, probablement pas. Faut-il sortir les intégrales pour connaitre la quantité de produit nécessaire à traiter sa pelouse ? Probablement qu'une bonne approximation longueur x largeur permettra de savoir s'il faut acheter 2 ou 3 paquets d'engrais. Par contre si on veut planter des piquets avec une certain esthétique, mesurer un peu plus précisément la longueur du périmètre a du sens. Encore une fois, on va travailler par approximation successive jusqu'à obtenir le résultat nécessaire et c'est la le rapport à l'histoire, il est intéressant de remarquer que ces approximations suivent en général l'ordre des découvertes.

Pour en revenir au problème, se limiter à la formulation d'alors (ou à sa forme modernisée peu importe) et y appliquer ce qu'on sait par la suite va permettre de lever un lièvre en apparence, mais c'est comme si un docteur en mathématique entrait dans une classe de CM2 et reprenait l'instituteur pour manque de rigueur.

Ici dans le cas de la gravitation et outre le fait qu'on néglige les questions "des" relativités, tient-on compte du mouvement de la terre (et donc de la variation en fonction de la latitude : http://planet-terre.ens-lyon.fr/arti...r-latitude.xml) ? Tient-on compte de la distribution non régulière des masses au sein de la terre (voir ici le moment quadrupolaire : https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment...tion_de_masses ), etc, etc.

Et ces effets vont se marquer à un nombre de décimales plus petits que le recul de la terre face à une masse de quelques kg.

Si on veut inclure toutes ces précautions dans l'énoncé, de combien de pages aurait-on besoin ? Qui les liraient ? Qui les comprendraient ? Ne perdrait-on pas l'essentiel qui est que contrairement à ce qu'on voit tous les jours, un kg de plumes et un kg de plombe tomberaient à la même vitesse sans la résistance de l'air ?

Attention, je ne veux pas dire qu'il ne faut pas se poser de question, loin de la. Sinon que ferais-je ici comme chimiste. Mais qu'il faut admettre que les choses sont toujours plus complexes qu'on ne l'imagine de prime abord et qu'il y a très peu de vérités absolues.

[Arisme]

Salut Sethy, on en avait déjà parlé, mais je ne suis pas du tout d’accord avec toi sur l'enseignement des maths.
On ne peux pas divisé par 0 . Tu confond existence d'un symétrique et limite.
Les maths ce n'est pas comme la physique. Certes les choses ont évolués en maths avec le fil du temps, et on ne les pratique plus dans la forme comme il y a 2 siècle, et la méthode axiomatique est "relativement" récente, et donc l'enseignement suit (plus ou moins) cette évolution, et reviens au fur et à mesure du parcours de l'élève sur des notions pour les préciser, les améliorer, les formaliser, les approfondir, où les généraliser.
Mais contrairement à la physique, l'enseignement mathématique ne se contredit JAMAIS (enfin pour l'instant pour moi il ne s'est pas contredit) avec son évolution, et ce de la primaire au supérieur.
En maths, le théorème de Pythagore dans le plan euclidien, restera vrai ad vitam aeternam.

Ah oui, je le redis, diviser par 0 n'a pas de sens, simplement car il n'existe pas de symétrique de 0. J'imagine que tu as un meilleur niveau en maths que moi, et que tu sais facilement le démontrer en plus. En maths, les vérités sont établis pour de bon une fois que quelque chose est démontré. Bien sur rien n'empêche d'inventer (ou découvrir comme tu veux) de nouvelles choses, comme les géométries non-euclidiennes, mais cela ne dément pas pour autant la géométrie euclidienne.

[Sethy]

En maths, le théorème de Pythagore dans le plan euclidien, restera vrai ad vitam aeternam.

Rien que la manière dont tu formules cette idée montre ce que j'explique.

Pourquoi ? Parce que tu as pris la précaution d'ajouter "dans le plan euclidien".

Historiquement, penses-tu que ceux qui l'ont utilisé imaginaient qu'il pouvait exister une géométrie non-euclidienne ?

De même, lorsqu'on l'enseigne aux enfants, penses-tu qu'un seul instituteur limite la portée du théorème et introduit le fait qu'il existe des espaces qui ne respectent pas cette règle ?

Alors bien sûr, ils ne vont pas dire : ce théorème est valable dans tous les espaces imaginables, mais ils vont dire dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Point.

Et ça, comme tu le fais remarqué ce n'est toujours vrai que dans certains cas particuliers (l'espace euclidien).

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Je trouve les dernières réflexions intéressantes, j’en profite pour ajouter les miennes.

Encore une fois, on va travailler par approximation successive jusqu'à obtenir le résultat nécessaire […]

En effet, on est systématiquement amené à réaliser des approximations et des hypothèses. Par ailleurs, il importe de toujours interroger le bien fondé de ces approximations et hypothèses. L’établissement de la théorie mathématique du chaos a mis en évidence que l’influence d’une approximation peut s’avérer plus important que l’amplitude de départ de cette approximation.

Nous sommes bien d’accord que cela n’invalide en rien ce qu’a indiqué Sethy, il s’agit d’une remarque en passant.

Ici dans le cas de la gravitation et outre le fait qu'on néglige les questions "des" relativités, tient-on compte du mouvement de la terre (et donc de la variation en fonction de la latitude : http://planet-terre.ens-lyon.fr/arti...r-latitude.xml) ? Tient-on compte de la distribution non régulière des masses au sein de la terre (voir ici le moment quadrupolaire : https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment...tion_de_masses ), etc, etc.

Et ces effets vont se marquer à un nombre de décimales plus petits que le recul de la terre face à une masse de quelques kg.

Si on veut inclure toutes ces précautions dans l'énoncé, de combien de pages aurait-on besoin ? Qui les liraient ? Qui les comprendraient ? Ne perdrait-on pas l'essentiel qui est que contrairement à ce qu'on voit tous les jours, un kg de plumes et un kg de plombe tomberaient à la même vitesse sans la résistance de l'air ?

Par ailleurs, est-ce seulement possible de rentrer dans une telle précision ?

On peut faire beaucoup de calculs à la main. Par exemple, dans les années 50 la Nasa a envoyé des hommes dans l’espace en employant des gens à réaliser les calculs numériques, généralement des femmes noires, sans avoir recours aux ordinateurs alors balbutiant – sur ce sujet, vous pouvez aller voir le film Les Figures de l’ombre de Théodore MELFI sortit récemment. Cependant, au moins pour des raisons de temps, on comprend bien qu’un calculateur humain s’arrêtera à une certaine précision.

Les ordinateurs permettent de calculer plus vite. Cependant, étant des machines finies, ils ne calculent pas sur l’ensemble des réels, mais sur un sous-ensemble discret, les nombres à virgules flottantes. Cela génère des erreurs de calcul. Il y a certes des méthodes pour augmenter la précision (précision arbitraire), pour retarder au plus possible l’évaluation numérique (calcul formel), ainsi que pour évaluer et maîtriser ces erreurs de calculs. Cependant, d’une part ces méthodes augmentent les temps de calculs et ne sont donc pas utilisables en toutes circonstance et par ailleurs on finit toujours par évaluer les valeurs sur un ensemble discret.

En conséquence, il y a toujours une limite à la précision d’un calcul.

[…] il y a très peu de vérités absolues.

Ce n’est pas une preuve suffisante, mais en ce qui me concerne je ne connais personne – de vivant, avec le positivisme du XIXe siècle c’est autre chose – travaillant dans les domaines scientifiques et considérant qu’il s’y trouve des vérités absolues.

Soit dit en passant, ça pose la question de la théorie de la vérité : parle-t-on de correspondantisme, de cohérentisme, de pragmatisme, de constructivisme, de redondantisme, d’autre chose en « isme » ?

On ne peux pas divisé par 0 . Tu confond existence d'un symétrique et limite.

Cependant, dans on peut donner un sens et une valeur à la division par zéro. On le fait couramment. Laquelle valeur est cohérente avec la limite dans . Certes, il s’agit d’une valeur infinie, mais justement fait partie des éléments de , c’est-à-dire des valeurs acceptables dans cet ensemble. Ce n’est pas jouer avec les mots, c’est la différence fondamentale entre l’ensemble des réels et son compacifié.

Certes, je n’ai pas abordé le cas du rapport 0/0, mais on peut le traiter également.

S’il y a à redire dans les propos de Sethy, à mon sens il y en a également dans les vôtres. J’y reviens.

Mais contrairement à la physique, l'enseignement mathématique ne se contredit JAMAIS (enfin pour l'instant pour moi il ne s'est pas contredit) avec son évolution, et ce de la primaire au supérieur.

En fait, vous présentez là une vision du XIXe siècle des mathématiques. Cependant, les travaux de Georg CANTOR et Gottlob FREGE avaient mis en évidence des paradoxes dans la construction des mathématiques d’alors. En réponse, David HILBERT (également en réponse à l’ignorabimus du physiologiste Emil DU BOIS-REYMOND) a proposé un programme pour établir solidement les bases des mathématiques, que l’on nomme « programme de HILBERT ».

Le théorème d’incomplétude de Kurt GÖDEL, montrant qu’il existe toujours des propositions indémontrables dans un système axiomatique donné, a conduit à conclure que le programme de HILBERT était voué à l’échec.

En passant, les théorèmes de complétudes de GÖDEL permettent de tout de même construire des systèmes axiomatiques cohérents, même s’il faut accepter que certaines propositions ne sont pas démontrables.

Cet épisode dans le développement des mathématiques est appelé « la crise des fondements ». La bande-dessinée Logicomix d’Apóstolos K. DOXIÀDIS, Christos PAPADIMITRIOU, Alecos PAPADATOS et Annie DI DONNA porte là-dessus.

Cependant, je suis d’accord avec vous : la pratique des mathématiques n’est pas la même que celle de la physique.

Ceci étant, en effet, dans le cadre de l’axiomatique euclidienne, le théorème de PYTHAGORE est fermement établis. Cependant, il n’est pas vérifié dans d’autres systèmes axiomatiques, pas forcément très complexe : partez du pôle nord et dirigez-vous droit devant vous (vous parcourez alors une géodésique) jusqu’à atteindre l’équateur ; tournez à 90° et parcourez la même distance que vous venez de parcourir, mais cette fois-ci en suivant l’équateur ; enfin, tournez à 90° et remontez vers le pôle nord ; vous venez de réaliser un triangle rectangle équilatéral.

À bientôt.

[Arisme]

Le cas de la droite des réelles achevées est un peu à part, et à une construction un peu artificielle, (bon cela dit comme à peu près toutes les notions de ZF hein)... Mais de toute façon, tout les cours de mathématiques au collège et dans le secondaire se font dans R ou C. Donc c'est complètement vrai dans ce cadre, de dire qu'on ne peux pas diviser par 0. Je crois qu'il y a ici une confusion entre "mentir" aux élèves, et s'arrêter à un stade qu'on pourra approfondir et généraliser plus tard.
Pour ce qui est de la crise des fondements, je ne m'y connais pas énormément là dessus, mais premièrement, le fait qu'il existe des propositions indécidables ne change en rien la valeur de vérité des propositions démontrées vrai. Et oui on ne peux pas démontrer la cohérence des mathématiques, mais je pense que si on venait à montrer que ZF est contradictoire, ça ne changerait pas la valeur de vérité de la plupart des propriété démontrés dans ZF, et les mathématiciens auraient tôt fait de trouver une meilleur axiomatique.
Ce n'est pas parce qu'on ne parle pas de quelques choses, que ce dont on a parlé est faux. Le fait de ne pas introduire des géométries non-euclidienne ne dément pas la géométrie euclidienne.

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

Le cas de la droite des réelles achevées est un peu à part, et à une construction un peu artificielle, (bon cela dit comme à peu près toutes les notions de ZF hein)...

À part dans quel sens ?

Construction artificielle dans quel sens ? Une grande partie des constructions de topologie peut être vue comme artificielles. PYTHAGORE considérait que tout devait pouvoir s’écrire à l’aide de nombres rationnels – d’ailleurs, le théorème qui porte son nom n’a pas été démontré par ses soins, on l’associe à lui parce qu’il démontre incidemment que l’on peut construire de manière rigoureuse des distances de valeur irrationnelle, mettant à mal le pythagorisme. Au moment de leur introduction, tant les nombres relatifs que les nombres imaginaires étaient considéré comme artificiels. Et ainsi de suite.

Que signifie artificiel dans le cadre des mathématiques ?

Mais de toute façon, tout les cours de mathématiques au collège et dans le secondaire se font dans R ou C. Donc c'est complètement vrai dans ce cadre, de dire qu'on ne peux pas diviser par 0.

Tout à fait. Ni Sethy ni moi n’avons dit le contraire. Simplement, l’affirmation suivante (que vous avez posée dans l’absolu puisque vous n’en avez pas donné le cadre) :

On ne peux pas divisé par 0 . Tu confond existence d'un symétrique et limite.

Est en toute rigueur fausse. C’est-à-dire qu’elle ne peut être utilisée pour contredire cette affirmation de Sethy :

Quand un enseignant dit "on ne peut pas diviser par zéro" ou "0/0 est (une) indéterminé(e)", il sait que ce n'est pas tout à fait exact et qu'il y aurait des précautions à prendre mais dans son enseignement, à ce moment la, et face à l'âge du public qu'il a en face de lui, il sait que ces formulations sont celles à employer.

Parce que, en effet, il existe un cadre plus général ou il y a bien un sens à diviser par 0, il n’est donc « pas tout à fait exact » de dire qu’on ne peut pas diviser par zéro.

Soyons clair, je suis d’accord pour dire que ce n’est pas bienvenu de systématiquement ajouter « dans le cas des réels », parce que c’est ajouter des détails qui vont noyer un public qui n’aurait (à mon sens non pas l’âge) pas la culture mathématique nécessaire à prendre tous les détails en compte. Simplement, en effet, il est tout à fait possible de mettre en place un cadre mathématiquement cohérent où la division par zéro est tout à fait possible et Sethy a raison de faire remarquer que le moindre enseignant ayant au moins le CAPES de mathématiques en est parfaitement au courant.

Je crois qu'il y a ici une confusion entre "mentir" aux élèves, et s'arrêter à un stade qu'on pourra approfondir et généraliser plus tard.

Je ne veux pas parler à sa place, mais il me semble que Sethy n’a jamais proposé de mentir. Il a seulement dit qu’on ajoute des détails au fur-et-à-mesure.

Pour ce qui est de la crise des fondements, je ne m'y connais pas énormément là dessus, mais premièrement, le fait qu'il existe des propositions indécidables ne change en rien la valeur de vérité des propositions démontrées vrai.

En effet. En revanche, avant l’établissement des théorèmes d’incomplétudes et de complétudes, il a été montré qu’il y avait des paradoxes dans les mathématiques. La crise des fondements commence avant GÖDEL et a entraîné à l’invalidation de résultats mathématiques que l’on tenait pour acquis alors – et que, en conséquence, on n’enseigne plus, raison pour laquelle environ un siècle plus tard on ne se rend plus compte de ces invalidations.

Et oui on ne peux pas démontrer la cohérence des mathématiques, mais je pense que si on venait à montrer que ZF est contradictoire, ça ne changerait pas la valeur de vérité de la plupart des propriété démontrés dans ZF, et les mathématiciens auraient tôt fait de trouver une meilleur axiomatique.

Vous ne devriez pas vous avancer si vite, dans la mesure où vous n’en savez rien – et moi non plus – puisqu’en l’état actuel des connaissance il n’a pas été mis en évidence d’incohérence de ZF et qu’on ne sait pas sur quel point une hypothétique incohérence porterait. En revanche, la validité d’un résultat mathématique est dépendant de l’axiomatique dans laquelle il a été établi, comme vous en avez fait la remarque :

Le fait de ne pas introduire des géométries non-euclidienne ne dément pas la géométrie euclidienne.

En effet, les résultats de la géométrie euclidienne sont dépendant de l’axiomatique euclidienne.

Il y a déjà eu des invalidations de résultats tenus pour acquis. Cela pourrait se reproduire et une éventuelle démonstration de l’incohérence de ZF pourrait (notez que je ne suis pas catégorique) en être l’occasion.

Ce n'est pas parce qu'on ne parle pas de quelques choses, que ce dont on a parlé est faux.

Tout à fait. En revanche, il n’en demeure pas moins qu’un résultat mathématique est dépendant de son axiomatique et qu’on peut donc – en fait, on le fait couramment – enseigner un résultat en sachant pertinemment qu’il existe un cadre l’invalidant.

Par exemple, il me semble que vous avez dit avoir un niveau de math de L2 (très bien). Vous avez donc vu l’intégrale de RIEMANN et sa version généralisée. Elle est très utile en pratique. Cependant, si vous avez l’occasion de découvrir la théorie de la mesure (c’est plutôt du niveau L3), vous verrez que l’intégrale de RIEMANN généralisée pose problème. Par ailleurs, vous verrez qu’il y a plusieurs manières de définir une intégrale (en fait la mesure définissant l’intégrale).

Bien entendu, on ne commence pas à perdre les étudiants dans ces détails, parce qu’ils ne s’en sortiraient jamais. De toute façon, même en M1 on arrive facilement à planter les étudiants avec la théorie de la mesure, pas la peine d’aborder ça en L1, ils n’y arriveront jamais.

Ce qui, en l’espèce, va plutôt dans le sens de Sethy.

À bientôt.

[faissol]

Bon bon bon bon.
Pas de calcul? J'y viens.

Faissol

[Archi3]

Mille excuses, j'ai dit une bêtise, il y a bien une solution analytique donnant le temps en fonction de r lorsqu'on a une chute libre sans moment orbital (donc "en ligne droite"

Reprenons l'équation donnant la vitesse en fonction de X = X1-X2 obtenue à partir de l'équation d'énergie

(j'avais omis un signe - mais comme X diminue quand t augmente il le faut)
soit


Posons
soit

d'où

l'équation se transforme alors en :



la primitive de se calcule en posant et elle vaut

on en déduit donc en intégrant :


(la constante vaut 0 car à t = 0, u vaut aussi 0)

finalement on obtient , sauf erreur de calcul toujours possible :



on à t en fonction de la distance relative X=X1-X2 ; on ne peut pas inverser la fonction pour trouver X en fonction de t mais c'est déjà pas mal ! faissol pourra vérifier si ça redonne bien la meme chose que son intégration numérique ...

[faissol]

Bonjour.

Oups.
J'ai donc comparé le résultat de la formule de Archi3 (un grand merci...)
Avec une intégrale numérique pas à pas.
Cela me paraît correct.
La différence entre les deux valeurs obtenues diminue lorsqu'on augmente le nombre de pas. Là je suis à 5000... Je continue?
J'ajoute que vu la courbe de la vitesse en fonction de la distance parcourue. Et sa concavité.
L'intégration numérique calcule pour chaque pas la surface d'un parallélogramme.
Or la surface sous la courbe de la vitesse est un peu plus petite.Quels résultats? C'est une question.....

Donc, je me suis trompé quelque part.
Je me demande bien où.
Un grand merci à Archi3........................ ......

Faissol

[faissol]

Oups oups oups.

Or la surface sous la courbe de la vitesse est un peu plus petite.

Donc la durée par intégration numérique pas à pas minimise un peu la durée.
Ce que montre les calculs....

Mais d'autres ont fait des calculs avant moi. Et trouvent d'autres résultats.

Quels résultats. C'est une question.
A laquelle personne ne semblent vouloir répondre.
Tout le monde le sait. Mais personne ne le dit.
Comme la recette de la fricadelle.
Amusant non?

Donc, je me suis trompé quelque part.
Je me demande bien où.
Un grand merci à Archi3........................ ......

Faissol

10000 pas. Je continue?

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

La différence entre les deux valeurs obtenues diminue lorsqu'on augmente le nombre de pas.

Qu’en concluez-vous ? Ce n’est pas une question rhétorique.

Vous constatez qu’au plus vous affinez votre approximation, au moins il y a de différence entre les deux valeurs. La précision de vos calculs est donc fortement dépendante du nombre de subdivisions que vous faites.

Par ailleurs, vers quelle limite tend cette différence ?

L'intégration numérique calcule pour chaque pas la surface d'un parallélogramme.

Si je comprends bien, vous utilisez la méthode des trapèzes. La méthode du point milieu n’est pas plus difficile à mettre en œuvre et son erreur est plus faible. La méthode de SIMPSON est à peine plus compliquée et son erreur est bien meilleure. Voir par exemple Wikipédia.

Notez que je parle d’erreur, car une évaluation numérique est de toute façon entachée d’erreur.

Quels résultats?

Oui, justement : quel résultat. Si vous voulez que nous les commentions, il faut nous les donner.

Donc, je me suis trompé quelque part.

Peut-être, peut-être pas. Sans connaître l’algorithme utilisé, sans avoir le code et sans avoir les résultats, on ne peut rien dire.

Quels résultats. C'est une question.
A laquelle personne ne semblent vouloir répondre.
Tout le monde le sait. Mais personne ne le dit.

C’est-à-dire que lorsque, suite à votre message privé, je vous ai donné le calcul qui montre pourquoi il n’y a pas moyen de déterminer quelle est la différence de temps de chute sur la Lune entre une plume et un marteau, vous l’avez rejeté en disant que c’était se réfugier derrière des erreurs de calculs bien pratiques… Si vous ne prenez pas en compte ce qui ne va pas dans votre sens, c’est un peu compliqué.

10000 pas. Je continue?

Pourquoi pas, mais je vous le redis : pourquoi faire des calculs ? Qu’est-ce que vous essayez de mettre en évidence ? Peut-être est-il utile de continuer les calculs, peut-être pas. Demandez-vous d’abord pourquoi vous les faites, cela permettra de savoir s’ils ont un intérêt. S’ils ont un intérêt, foncez.

À bientôt.

[faissol]

Bonjour Joaan

Oufti. Je vous lis...
Mes domaines de compétences sont les mathématiques appliquées et l’informatique théorique. Mon champ d’application est l’océanographie physique. Concrètement, je reproduis sur ordinateur le fonctionnement des océans.
Bon bon. Bien bien.
Orbit3.gif

Commençons par le début.
J'ai ouvert il y a très longtemps le livre de mécanique générale de Mr José-Philippe Pérez. 7me édition. Et j'ai regardé l'explication et le développement mathématique sur les marées.
Comme ce n'était pas très clair -je ne comprenais pas-, j'ai écrit à Mr Pérez. Avec du papier et un timbre.
Mr Pérez m'a répondu. Internet n'existait pas encore... C'était au siècle dernier.
Puis j'ai découvert, dans un autre livre, une autre explication. C'est le livre de mécanique générale de Christian Gruber, Willy Benoit
Presses polytechniques et universitaires romandes, 1998.
Que j'ai envoyée à Mr Perez (par internet). Il m'a répondu que son explication était la bonne. Et que tout cela était farfelu.
En 2000, un article est paru dans une revue de vulgarisation scientifique. Avec la seconde explication.
La première explication est une explication statique.
Elle ne tient pas compte, entre autre, de la rotation de la terre autour du barycentre terre - lune. Qui se trouve entre le centre de la terre et l'écorce terrestre, côté lune.
(c'est le gif qui se trouve ci dessus, et que j'espère vous pouvez voir.......)
La seconde est dynamique.

Il me semble donc que je suis tombé sur un spécialiste. Vous. Une aubaine...

Je vais chercher les livres que vous m'avez renseignés. Promis.
J'ai dans mon ordinateur. Ou sur clé USB, copie des pages intéressantes des livres que je mentionne.
Commençons donc par le livre de Mr Pérez. Page 81.
pérez81.jpg
Qu'en pensez-vous?

Je répondrai sous peu dans le forum sur la chute des corps.

Faissol.

[Sethy]

Oufti ... tiens tiens ...

Qui beu-ti ? du peket
Qui Mang-ti ? du poré
Qui fai-ti ? des p'tis vê

[Yoann LE BARS]

Salut à tous !

[…] j'ai regardé l'explication et le développement mathématique sur les marées.

Je vais reprendre ce que je vous ai indiqué en privé, car dans la mesure où nous sommes sur le forum public, la plupart n’ont pas lu ce message (puisque privé). Je vais ajouter un peu de détails et commenter les pièces que vous avez jointes.

Cela dit, je me permets de faire remarquer que cela s’écarte fortement du sujet de départ.

J’ai commencé à parler des marées sur mon site. Je dois continuer, mais d’abord je dois introduire d’autres notions. En particulier, si la mécanique classique est suffisante pour étudier les marées, comme on le verra la méthodologie de NEWTON ne permet de considérer que la marée statique.

Je vais donner un résumé un peu rapide, qui sera incomplet, pour une présentation plus complète il faudra attendre que j’ai publié suffisamment d’éléments sur mon site. La raison en est que si on veut être compréhensible, il faut d’abord introduire clairement plusieurs notions, ce qui serait trop long ici.

Il y a une présentation rapide du phénomène des marées sur le site du SHOM.

Ce qui est à l’origine des marées, ce sont les actions combinées de l’attraction lunaire et de l’attraction solaire. Ce sont ces deux attractions qui expliquent la plus grande partie du phénomène. La rotation de la Terre sur elle-même, ainsi que sa rotation autour du Soleil ne sont pas à l’origine des marées, leur influence est plus faible. Cette influence est néanmoins mesurable, la physique classique permet de la déterminer et, pour autant que je sache, la plupart des modèles la prennent en compte.

Concernant l’histoire de la marée à partir du barycentre, ça me fait penser à la théorie de John WALLIS que je mentionne dans l’article dont j’ai donné le lien. En gros, elle surestime l’influence de la vitesse de translation. Notamment, cette théorie peine à expliquer l’existence de deux marées par jour. Les mouvements relatifs de la Terre par rapport à la Lune et au Soleil ont bien une influence, mais elle est inférieure à celle des attractions lunaire et solaire. Le mécanisme générateur est donc bien la combinaison de ces attractions, les déplacements relatifs de la Terre formant un mécanisme perturbateur.

Commençons donc par le livre de Mr Pérez. Page 81.

Il s’agit du calcul de la marée statique, qui correspond à celui de NEWTON dans les Principia. Ce calcul ne prend en compte que les effets des attractions lunaire et solaire. Cela permet déjà d’expliquer les trois principales propriétés des marées : les deux marées par jour, la relation entre l’amplitude et les phases de la Lune et l’inégalité diurne. Cependant, ce calcul de statique considère que la surface des océans prend la figure d’équilibre correspondant à la position de l’astre attirant, ce qui le rend incompatible avec l’inertie des masses d’eau et la rapidité du mouvement des astres. Il est donc inapte à expliquer l’âge de la marée – c’est-à-dire le retard des vives-eaux sur le moment de la syzygie (pleine-lune ou nouvelle-lune) – ou l’importance des amplitudes observées le long des côtes. La méthodologie de NEWTON ne permet pas de réaliser un calcul dynamique.

En introduisant la mécanique analytique, LAPLACE va réaliser un calcul de la dynamique des marées. S’il introduit une méthodologie mathématique permettant un calcul de la dynamique, il n’ajoute pas d’hypothèse ou de force à celles proposées par NEWTON. En l’absence des équations de la mécanique des fluides, établies au XIXe siècle par Claude-Louis NAVIER et George STOKES, il va établir une formule harmonique applicable à la prévision des marées, appelée « équation de LAPLACE » et reposant sur deux principes essentiels :

• celui des oscillations forcées, suivant lequel les masses d’eau soumises à une force périodique exécutent des oscillations de même période que cette force ;
• celui de la superposition des petits mouvements, suivant lequel le mouvement total d’un système soumis à de petites forces est égal à la somme des mouvements élémentaires.

Ces principes posent en fait l’hypothèse de la linéarité de la réponse des océans à la sollicitation de la force génératrice des marées. Cette hypothèse est assez bien vérifiée pour Brest, mais ne peut être transposée universellement.

L’établissement des équations de la mécanique des fluides permettra de sortir de l’hypothèse de linéarité et ce n’est qu’ensuite, pour ajouter de la précision, que l’on va prendre en compte les mouvements relatifs de la Terre par rapport à la Lune et au Soleil.

À bientôt.

[Arisme]

Bonsoir, ne voulez-vous pas créer une nouvelle discussion ? Le sujet me semble clos depuis un moment.
Merci d'avance

[faissol]

Bonjour Arisme.
Bonjour Yoaan.
Bonjour Sethy.

Vous avez raison Arisme.
Ce serait bien d'ouvrir une nouvelle discussion sur les marées. Je vais y penser.
Merci pour votre intervention Sethy. Eh oui, Liège est une ville de coeur pour moi.
Pour la chute des corps.
J'ai cherché (pas à temps plein...) une équation t=f(m1, m2, X0 et X) pendant plus de dix ans.
J'ai eu des discussions parfois passionnées sur l'intégration (où mes compétences sont très faibles...).
Je suis donc en train de ré ouvrir ou de rechercher les références anciennes.
Et de relancer mes anciens contacts. Cà prend un peu de temps.....
Archi3 ne se rend peut être pas compte. Mais le petit développement mathématique qu'il a fait. Et qui me paraît correct - je compare avec une intégration numérique pas à pas- me paraît correct. Cette intégration donc, beaucoup se sont penchés dessus sans trouver de solutions......

Pour les chiffres. m1=10kg ; m2=2kg; X0=100m; et X=50m.
La formule de Archi3 donne 32126923 secondes.
L'estimation numérique (à 10000 pas...) 32126916 secondes. Donc une différence de 7 secondes.
Et vu la méthode de calcul de l'estimation numérique (surévaluation de la surface sous la courbe de vitesse...) une durée un peu plus courte....

Je rappelle mes conclusions. Galilée et Aristote ont raison. C'est d'où provient la masse qu'on laisse tomber sur terre la bonne question.
Me semble-t-il.
Faissol