Loi de décroissance exponentielle : comment calculer lambda ?

[andretou]

Pour la chaleur en exponentielle, c'est la loi de Newton.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de...ment_de_Newton

D'expérience ça fonctionne sur des tronçons car le coefficient d'échange avec l'extérieur change et parfois brutalement comme lors d'une trempe.

Malheureusement cette loi de Newton repose sur un paramètre "r" qui n'est autre que lui-même...
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[andretou]

A votre avis, les rebonds successifs d'une balle de tennis lâchée verticalement obéissent-ils à la loi de décroissance exponentielle ?

[andretou]

A priori, si la hauteur H de chaque rebond est proportionnelle à la hauteur du rebond précédent, alors on est bien dans le cas d'une LDE.

Ainsi : -dH/H = k (k étant le coefficient d'amortissement, par exemple 0,2 si les rebonds diminuent de 20%)
D'où (je passe les calculs) : H_n = H₀ x e^-kn
On a ainsi k =

Or ce paramètre k (le coefficient d'amortissement) dépend de l'élasticité du choc entre la balle et le sol et du frottement de l'air (mais pour simplifier on va supposer que l'on fait rebondir la balle dans le vide).

J'analyse donc le paramètre k comme étant le rapport entre la quantité d'énergie cinétique transmise par la balle au sol et la quantité d'énergie restituée à la balle par le sol.

Pouvez-vous SVP m'indiquer s'il existe une loi physique qui détermine l'élasticité d'un choc (c'est-à-dire k) en fonction des caractéristiques moléculaires des matériaux ?

[stefjm]

Voir peut-être du coté du module d'élasticité de Young
https://fr.wikipedia.org/wiki/Module...h%C3%A9oriques

[coussin]

https://recreational-engineer.com/me...bouncing-ball/

[andretou]

https://recreational-engineer.com/me...bouncing-ball/

Merci ! Il y est question du "coefficient de restitution" que j'identifie au coefficient d'amortissement (donc à ), mais hélas ils ne donnent pas de précisions sur la manière dont on peut le calculer à partir des propriétés physiques des matériaux.

Merci aussi à Stefjm, je suis en train de découvrir le module d'élasticité de Young...

[Sethy]

Il y a peut-être une autre manière d'aborder le problème.

Sur toutes les constantes physiques existantes, à ma connaissance, il n'y en a qu'une qu'on peut "calculer" sans se référer à l'expérience et c'est (je crois) qui vaut 4pi.10^-7.

A partir de mu0, on peut trouver soit epsilon0, soit c, mais il faut mesurer l'autre expérimentalement.

[andretou]

Je crois que j'ai trouvé !...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Coeffi...de_restitution

[andretou]

A la lumière de cet article https://fr.wikipedia.org/wiki/Coeffi...de_restitution, je peux compléter mon idée précédente :

A priori, si la hauteur H de chaque rebond est proportionnelle à la hauteur du rebond précédent, c'est-à-dire si l'énergie restituée à chaque rebond est proportionnelle à l'énergie du rebond précédent (puisque E = mgH), alors on est bien dans le cas d'une LDE.

On a donc :

Appelons en effet cette Cte le "Coefficient de Restitution de l'Energie", que je note CRE (ne pas mélanger avec le "Coefficient de Restitution de la Vitesse" mentionné dans l'article et aussi appelé "Coefficient de Newton" et que je note CRV)



Or :


D'où


Soit :

D'où

Or l'article de Wikipedia nous indique que (attention, le CRV y est désigné par la lettre "e"):


Donc:


D'où


D'où

Ainsi dans le cas d'une bille en acier (CRV = 0,95) que l'on ferait rebondir verticalement, le calcul nous donne directement

Il ne reste plus maintenant qu'à découvrir la formule du CRV !!!...
Quelqu'un a-t-il une première idée des paramètres qui entrent en jeu dans la détermination du CRV ?

[andretou]

Bingo, c'est indiqué dans l'article en anglais !!!
https://en.wikipedia.org/wiki/Coeffi...of_restitution

[andretou]

D'après mes calculs, voici donc la formule simplifiée de dans le cas d'une balle de tennis qui rebondit verticalement (désolé, je ne comprends pas pourquoi le premier exposant 5/8 s'affiche ainsi : a/c 58)




Sy = dynamic yield strength (dynamic "elastic limit")
E′ = effective elastic modulus
ρ = density
v = velocity at impact
μ = Poisson's ratio

[coussin]

Je vais être méchant mais est-ce que ce sujet n'est là que pour documenter vos pérégrinations dans les pages Wikipédia ?

[andretou]

Si vous insistez je vais proposer de déterminer la valeur de pour un autre phénomène régi par la LDE !

[stefjm]

Facile...
Cela s'appelle de la modélisation de phénomènes (physiques ou autre) et de l'identification de paramètres.

Pour des relations linéaires, vous aurez toujours des exponentielles complexe éventuellement dégénérées e^(0.t).

Dépend de ce qu'on met derrière "loi".
La fonction e^(-t) est une loi de décroissance exponentielle et cette fonction caractérise tout système linéaire du premier ordre (aléatoire ou pas).

A partir du moment où l'évolution d'un phénomène dépend linéairement de sont état, alors les réponses font intervenir des exponentielles.

[andretou]

Je reconnais en effet que la détermination de dans le cas d'un échange de chaleur est bien trop compliqué pour moi, ne serait-ce que pour identifier les paramètres qui entrent en jeu... Est-ce un problème à ta portée ? La question sous-jacente est de déterminer pour quelle raison le calcul de est plus difficile dans un cas que dans l'autre. Est-ce simplement parce que l'équation de départ est plus complexe ? On pourrait alors classer les phénomènes régis par la LDE selon le niveau de difficulté pour le calcul de ...

[obi76]

Par le cas de l'équation de la chaleur n'est pasune equa diff linéaire du premier ordre mais une équation aux dérivées partielles du second ordre (dépend du temps et de l'espace).

[andretou]

Je pense que ce qui se cache derrière toute cette discussion est : peut-on calculer ab initio la période de demi-vie d'un élément radioactif ?

Peut-on éventuellement supposer que la période de demi-vie (d'un élément radioactif) est inscrite au coeur des équations qui décrivent les états d'énergie au sein de la matière ?

[andretou]

En fin de compte, dans le cas d'une balle qui rebondit verticalement, il me semble que peut se déduire des seules équations des forces de gravitation et électromagnétique, paramétrées selon les propriétés intrinsèques des molécules de la balle et du sol (dont découlent notamment leur élasticité respective).

De même, dans le cas de la pression atmosphérique, il me semble que peut se déduire des seules équations des forces de gravitation et électromagnétique, paramétrées selon les propriétés intrinsèques des molécules de gaz (dont découlent notamment la loi des gaz parfait ou la cinétique des gaz)

Idem, peut-être, dans le cas de la diffusion de la chaleur, où il me semble que peut se déduire des seules équations de la force électromagnétique, paramétrée selon les propriétés intrinsèques des molécules concernées (dont découlent notamment la thermodynamique)

Aussi, dans le cas de la radioactivité, ne devrait-il pas pouvoir se déduire des seules équations régissant les forces nucléaires forte et faible, paramétrées selon les propriétés intrinsèques des nucléons ?

[coussin]

Votre conclusion est qu'on peut calculer ce fameux lambda en prenant en compte tous les phénomènes entrant en jeu dans sa détermination...
Bravo.

[FC05]

Par le cas de l'équation de la chaleur n'est pasune equa diff linéaire du premier ordre mais une équation aux dérivées partielles du second ordre (dépend du temps et de l'espace).

Ce n'est pas l'équation de la chaleur que l'on utilise dans le refroidissement normal de Newton ...

[andretou]

Votre conclusion est qu'on peut calculer ce fameux lambda en prenant en compte tous les phénomènes entrant en jeu dans sa détermination...
Bravo.

Je n'ai fait que répondre à la question que vous avez posé.

Je pense que ce qui se cache derrière toute cette discussion est : peut-on calculer ab initio la période de demi-vie d'un élément radioactif ?

[obi76]

Ce n'est pas l'équation de la chaleur que l'on utilise dans le refroidissement normal de Newton ...

J'étais resté sur la question d'avant...

Pour répondre à andretou, pour le refroidissement de Newton, le coefficient en question dépend de beaucoup de paramètres (capacité calorifique de l'objet, conduction de celui-ci, du fluide qui l'entoure, de sa mise en mouvement ou non, de sa capacité calorifique, et de tout un tas de coefficients dépendant de la géométrie du problème).

[andretou]

Ce que je trouve finalement assez remarquable, c'est que intègre la totalité des coefficients jusqu'aux constantes ultimes de la physique.
C'est-à-dire que , ce paramètre anodin que l'on regarde habituellement comme une simple variable mathématique d'ajustement, récapitule et résume à lui seul les lois fondamentales de la physique dont certaines nous sont encore largement inconnues (en particulier celles qui concernent les forces nucléaires faibles et fortes) !...

[obi76]

C'est-à-dire que , ce paramètre anodin que l'on regarde habituellement comme une simple variable mathématique d'ajustement, récapitule et résume à lui seul les lois fondamentales de la physique dont certaines nous sont encore largement inconnues (en particulier celles qui concernent les forces nucléaires faibles et fortes) !...

Heu non, c'est du cas par cas... Selon l'équation que vous voulez résoudre, il contient les coefficients de la dite-équation, c'est tout. C'est un peu comme si vous disiez "les équations c'est génial, il y en a toujours au moins une qui contient une grandeur fondamentale dedans". Ben évidement...

[andretou]

Heu non, c'est du cas par cas... Selon l'équation que vous voulez résoudre, il contient les coefficients de la dite-équation, c'est tout.

C'est bien sûr ce que je voulais dire ! En effet, d'un phénomène à l'autre, ne fait pas appel aux mêmes coefficients, donc aux mêmes constantes physiques fondamentales.

C'est un peu comme si vous disiez "les équations c'est génial, il y en a toujours au moins une qui contient une grandeur fondamentale dedans". Ben évidement...

Il y a une différence essentielle : dans une équation "ordinaire" de type E = mc² on ne peut pas déterminer E si on ne connait pas "c".
Ce que je trouve fascinant avec c'est qu'on n'a pas besoin de connaître les grandeurs fondamentales impliquées dans le phénomène pour résoudre l'équation...

[andretou]

La décroissance de l'intensité lumineuse (d'une étoile, d'une bougie, etc...) avec l'éloignement ne suit-elle pas la loi de décroissance exponentielle ?

[stefjm]

Pas trop!
C'est plutôt une loi en 1/r^2 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_en_carr%C3%A9_inverse

Si vous voulez de l'exponentielle suivant l'espace, vous avez la chaînette que forme une corde attachée à ses deux extrémités.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEnette

[XK150]

Re ,
Non , c'est la loi du carré inverse juste en relation avec l'angle solide : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_en_carré_inverse

Doublé par stef….

[andretou]

Pas trop!
C'est plutôt une loi en 1/r^2 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_en_carr%C3%A9_inverse

En effet, je te remercie !
Du coup j'en déduis qu'il en va de même pour la décroissance du son avec la distance.

Mais qu'en est-il de la décroissance d'une vague à la surface de l'eau (avec la distance) ?
Ou de la décroissance d'une onde qui se propage sur une corde ?
Ces 2 derniers cas sont-ils des exemples de décroissance exponentielle ?

edit : merci aussi à XK150 !

[andretou]

Si on considère la vague produite par une goutte d'eau tombant sur une surface liquide, alors la vague forme un cercle qui va en grandissant et sa hauteur H (l'amplitude de la vague) diminue proportionnellement au rayon R (quand R double, la hauteur de la vague est réduite de moitié puisque l'énergie de la vague est répartie sur un cercle 2 fois plus grand).
Est-ce correct ?
Si oui, alors on a une loi de décroissance exponentielle : H = H₀e

Question subsidiaire : est-ce que la vitesse V de propagation de la vague est constante ?
Si oui, alors R = Vt et dans ce cas, H = H₀e

Pouvez-vous SVP valider ou invalider ?