Loi de décroissance exponentielle : comment calculer lambda ?

[andretou]

Bonjour à tous
Nous savons qu'une loi de décroissance exponentielle (LDE) est caractérisée par un seul et unique paramètre le fameux .

Si on prend le cas d'une coupe de champagne que l'on laisse à l'air libre, le liquide s'évapore au fur et à mesure, proportionnellement à la surface, laquelle diminue au fur et à mesure de l'évaporation. En première approximation nous sommes donc en présence d'une LDE, dont le paramètre exprime la période de demi-vie de la surface (c'est à dire le temps nécessaire pour que la surface soit réduite de moitié).

Ma question : est-il possible d'arriver à déterminer par le calcul, simplement à partir des différents paramètres intervenant dans le phénomène de l'évaporation (pression atmosphérique, gravitation, température, masse des molécules, densité du liqude, etc, etc...) ?
Peut-on mettre tous ces paramètres en équation de manière à obtenir ? Comment ? Des exemples de tels calculs sur internet ?

Merci d'avance pour votre aide
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[XK150]

Bonjour ,
Vous avez une décroissance exponentielle expérimentale ; Vous déterminez la période T(1/2) ; vous obtenez lambda = 0.693/T .
exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Décroissance_radioactive

[coussin]

Qui vous dit que l'évaporation d'un liquide suit une loi de décroissance exponentielle ?

[XK150]

Soyons clair , la question ci-dessus s'adresse au primo-posteur ...J'aurai dû écrire :
" SI vous avez , si vous observez , une décroissance exponentielle expérimentale …. " .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Si on prend le cas d'une coupe de champagne que l'on laisse à l'air libre, le liquide s'évapore au fur et à mesure, proportionnellement à la surface, laquelle diminue au fur et à mesure de l'évaporation.

Cela dépend du profil de la surface du récipient. Dans un verre cylindrique, la surface reste constante.

[andretou]

Qui vous dit que l'évaporation d'un liquide suit une loi de décroissance exponentielle ?

Mon raisonnement sur la coupe de champagne est peut-être incorrect, dans ce cas une rectification sera la bienvenue !
Prenons alors l'exemple de la clepsydre dont la vitesse d'écoulement de l'eau en sortie est proportionnelle à la hauteur d'eau, laquelle diminue en fonction de la vitesse d'écoulement de l'eau, ce qui nous donne une loi de décroissance exponentielle.
Ma question est cependant la même : comment peut-on calculer à partir de la densité de l'eau, de la viscosité, de la pression atmosphérique, etc, etc... ?

[andretou]

Cela dépend du profil de la surface du récipient. Dans un verre cylindrique, la surface reste constante.

Oui, mais c'est pour ça que je prends une coupe de champagne et pas un cylindre, pour que la surface diminue au fur et à mesure...

[andretou]

Bonjour ,
Vous avez une décroissance exponentielle expérimentale ; Vous déterminez la période T(1/2) ; vous obtenez lambda = 0.693/T .
exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Décroissance_radioactive

Quand on est face à un phénomène obéissant à une LDE, fait en effet l'objet d'une mesure. Mais je voudrais savoir comment on retrouve la valeur de par le calcul...

[Gilgamesh]

Quand on est face à un phénomène obéissant à une LDE, fait en effet l'objet d'une mesure. Mais je voudrais savoir comment on retrouve la valeur de par le calcul...

Ben ça dépend de l'équation du profil d'une coupe de champagne. C'est un peu compliqué ton affaire.

[XK150]

Pourquoi vouloir à tout prix le calculer alors que l'observation de la loi expérimentale prend tout en compte correctement , même ce que vous , vous avez oublié !...

Nous avons suivi expérimentalement pendant plusieurs années la période de ce radio élément ainsi que plusieurs autres labos qui ont conduit
à donner une évaluation expérimentale internationale utilisée aujourd'hui . Nous sommes cités dans les références : la gloire !
Personne n'a rien calculé . Nous avions 16.11 ans de période , l'évaluation a donné 16.12 ans .
http://www.nucleide.org/DDEP_WG/Nucl...93m_tables.pdf

[andretou]

Ben ça dépend de l'équation du profil d'une coupe de champagne. C'est un peu compliqué ton affaire.

Oui, j'ai conscience que la géométrie de la coupe entre en jeu, c'est pour ça que par précaution j'ai indiqué dans ma question "en première approximation"...

[andretou]

Pourquoi vouloir à tout prix le calculer alors que l'observation de la loi expérimentale prend tout en compte correctement , même ce que vous , vous avez oublié !...

Non, non, je n'ai pas oublié que la valeur de est toujours déterminée par la mesure.
Simplement, je voudrais savoir comment, dans le cas de systèmes mécaniques régis par une LDE (tels que la clepsydre ou peut-être la coupe de champagne) on peut retrouver par le calcul la valeur de ...

[andretou]

Nous avons suivi expérimentalement pendant plusieurs années la période de ce radio élément ainsi que plusieurs autres labos qui ont conduit
à donner une évaluation expérimentale internationale utilisée aujourd'hui . Nous sommes cités dans les références : la gloire !
Personne n'a rien calculé . Nous avions 16.11 ans de période , l'évaluation a donné 16.12 ans .
http://www.nucleide.org/DDEP_WG/Nucl...93m_tables.pdf

Bravo !
Pour info, ce travail sur la désexcitation du Niobium a duré combien de temps ?
Sur quoi travailles-tu actuellement ?

[coussin]

Mon raisonnement sur la coupe de champagne est peut-être incorrect, dans ce cas une rectification sera la bienvenue !
Prenons alors l'exemple de la clepsydre dont la vitesse d'écoulement de l'eau en sortie est proportionnelle à la hauteur d'eau, laquelle diminue en fonction de la vitesse d'écoulement de l'eau, ce qui nous donne une loi de décroissance exponentielle.
Ma question est cependant la même : comment peut-on calculer à partir de la densité de l'eau, de la viscosité, de la pression atmosphérique, etc, etc... ?

Il me semble que dans les exemples que vous donnez, vous atteignez la valeur zéro (quantité de champagne dans la coupe, vitesse de l'eau en sortie) en un temps fini. Ça ne peut donc pas être une LDE...

[andretou]

Il me semble que dans les exemples que vous donnez, vous atteignez la valeur zéro (quantité de champagne dans la coupe, vitesse de l'eau en sortie) en un temps fini. Ça ne peut donc pas être une LDE...

N'est-ce pas aussi le cas de la radioactivité, puisqu'au bout d'un certain temps tous les éléments se sont désintégrés ?
Sinon, quel exemple mécanique simple peut-on donner pour illustrer la LDE ?

[andretou]

Je pense que dans le cas de la clepsydre il s'agit bien d'une LDE puisque la quantité d'eau qui s'en échappe à un instant donné est proportionnelle à la quantité d'eau contenue dans la clepsydre à cet instant, ce qui se traduit par :
- dQ/dt = Q

Il s'agit d'une équation différentielle qui se résoud par la LDE : Q = Q₀.e^-t

[Sethy]

Je pense que pas mal d'intervenants ont mal compris le sens de la question initiale.

La question n'est pas de déterminer lambda à partir de résultats expérimentaux, mais de pouvoir déduire une valeur à partir d'une approche théorique.

Malheureusement, le cas de l'évaporation est mal choisi car la quantité d'eau qui s'évapore n'est pas directement proportionnelle à la quantité d'eau qui reste dans le verre. Cela dépend principalement de l'humidité relative et de la diffusion. La meilleure cinétique n'est pas d'ordre 1, ce qui donne une exponentielle mais d'un ordre particulier appelé "pseudo-zéro".

L'ordre d'une réaction est :



Si a vaut 1, comme dans le cas d'une désintégration radioactive, l'intégrale donne



En ne se préoccupant pas des bornes d'intégration. Dans le cas de l'ordre 0, on obtient une droite de pente -k qui peut donc devenir négative (ce qui n'a pas de sens), c'est pour ça qu'on parle de l'ordre pseudo-zéro.

Cette parenthèse fermée, revenons à la question initiale.

La question est de savoir, si à partir des lois de la diffusion (si on était en chimie physique, on parlerait des 1ère et 2ème lois de Fick), il est possible "a priori" de déterminer la valeur de la constante k (ou lambda), soit la vitesse d'évaporation de l'eau dans un verre sans la mesurer.

A cela, je donne une réponse provisoire. Le problème, à mon avis, est qu'il n'est pas possible de prédire avec une théorie la valeur du coefficient de diffusion de l'eau dans l'air, ni du DeltaH de vaporisation de l'eau, ni des nombreux autres paramètres physico-chimiques nécessaires à ce calcul.

De même, si on pense au filtre lumineux (loi de Beer-Lambert), la détermination "a priori" de epsilon (le coefficient d'extinction) par voie uniquement théorique me parait impossible.

De même, si on s'intéresse au cas du transport de chaleur dans une barre chauffée à une extrémité, qui donne également une réponse exponentielle, il n'est pas possible de déterminer les coefficients de conduction thermique et de chaleur spécifique de manière purement théorique.

Dans tous les cas, ces grandeurs ne peuvent s'obtenir que par la mesure de ces paramètres au laboratoire.

[Sethy]

Je pense que dans le cas de la clepsydre il s'agit bien d'une LDE puisque la quantité d'eau qui s'en échappe à un instant donné est proportionnelle à la quantité d'eau contenue dans la clepsydre à cet instant, ce qui se traduit par :
- dQ/dt = Q

Il s'agit d'une équation différentielle qui se résoud par la LDE : Q = Q₀.e^-t

(suite de mon message précédent) :

Ici également, la détermination de la force de gravité, du coefficient de viscosité dynamique de l'eau et de l'effets des autres paramètres intervenants (diamètre de l'orifice) ne peut pas se faire de manière totalement théorique. Il faut mesurer ces grandeurs. A partir de la, il est possible de calculer lambda, en tout cas en 1ère approximation.

[obi76]

Bonjour,

vous confondez une vidange (clepsydre) d'une évaporation.

Dans le premier cas, quelque soit le profil vous avez une équation différentielle, qui aboutit généralement à une exponentielle (si le profil est un cone, un cylindre, un cube), dans le second cas l'évaporation est constante : c'est linéaire (dans le cas d'un cylindre, pour une sphère (goutte) c'est la surface qui décroit linéairement, etc).

[coussin]

C'est l'exemple de mécanique des fluides de cette liste : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Expo...s_and_examples

[azizovsky]

j'ai la même idée (essaye) que Gilgamesh, puisque la vaporisation dépend de la surface, on suppose que dm/dt=a.b.c....S(t) , a,b,c,....= pression de saturation, pression atmosphérique , vitesse du vent , masse molaire , température, ...., et on doit avoir dS/dt=-k.S,
dm/dt= a.b.c....S(0)exp(-kt)= w.exp(-kt)
c'est la surface ou le profil de la coupe qui est déterminant : S(x)=pi.f²(x).

[FC05]

Je pense que dans le cas de la clepsydre il s'agit bien d'une LDE puisque la quantité d'eau qui s'en échappe à un instant donné est proportionnelle à la quantité d'eau contenue dans la clepsydre à cet instant, ce qui se traduit par :
- dQ/dt = Q

Il s'agit d'une équation différentielle qui se résoud par la LDE : Q = Q₀.e^-t

Encore raté !

Le débit dépend de la vitesse du fluide et la vitesse dépend de racine carrée de la hauteur (donc du volume si la section du contenant est constante).

[Sethy]

Plutôt que de surenchérir sur la forme, si vous répondiez sur le fond ?

[FC05]

Plutôt que de surenchérir sur la forme, si vous répondiez sur le fond ?

Je pense répondre sur le fond. Pour faire des calculs il faut d'abord avoir une modélisation ou des expérience. Le demandeur cite deux exemples où il invente des résultats faux !

Alors ...

[azizovsky]

on prend cette courbe https://fr.wikipedia.org/wiki/Demi-v...onentielle.svg

on le fait tourner autour de l'axe verticale qui passe par 50 , on'a ta coupe , S(x)=a.pi.(exp(-kx))² avec x=t pour le cas simple ...

[azizovsky]

S(x)=a.pi.(exp(-kx))²=S(0)exp(-Lx) avec.....,L= lambda
qlq dit mieux

[obi76]

Bon, entre la mauvaise foi et les mélanges...

Si vous prenez un contenant en forme d'exponentielle, la vitesse d'évaporation va EVIDEMENT avoir une alure d'exponentielle (puisque la surface en fonction de la hauteur aussi). Mais ce n'est PAS dû à une équation différentielle.

L'équation différentielle, dans le cas qui nous préoccupe ici, c'est une VIDANGE, rien d'autre. Oubliez l'évaporation, à part essayer de se raccrocher aux branches avec de plus en plus de "mais si, et si..."... on en oublie le fond, qui parle bien d'EDO. Donc pas d'évaporation.

[andretou]

Je pense répondre sur le fond. Pour faire des calculs il faut d'abord avoir une modélisation ou des expérience. Le demandeur cite deux exemples où il invente des résultats faux !

Alors ...

http://https://en.m.wikipedia.org/wi...s_and_examples

On peut y lire ceci :
Fluid dynamics: A fluid emptying from a tube with an opening at the bottom will empty at a rate which depends on the pressure at the opening (which in turn depends on the height of the fluid remaining). Thus the height of the column of fluid remaining will follow an exponential decay.

Maintenant qu'il est donc établi que la clepsydre constitue un exemple de phénomène à décroissance exponentielle, pouvez-vous SVP m'aider à déterminer la valeur de par le calcul dans cet exemple ?

Dans un premier temps, peut-être pourrions-nous dresser la liste de tous les paramètres à prendre en compte dans l'écoulement du liquide ?
Pour ma part je recense :
- les dimensions de la clepsydre (hauteur, volume, section de l'orifice de sortie)
- la pression de l'air
- la densité de l'eau
- la viscosité de l'eau
- la température
- la pesanteur
- autres ?...

Ensuite il suffira (!) de mettre tout ça en équation, et on obtiendra alors la valeur de notre ...
Cette démarche est-elle correcte, au moins en théorie ?

[obi76]

Ensuite il suffira (!) de mettre tout ça en équation, et on obtiendra alors la valeur de notre ...
Cette démarche est-elle correcte, au moins en théorie ?

Oui, c'est un cas d'école, où une première approximation en utilisant Bernouilli permet d'obtenir la solution.

EDIT : cela dit, après re-vérification, le problème de vidange est un des rares cas où l'équation différentielle obtenue ne donne pas une exponentielle (je viens de corriger la page wikipedia en anglais, pour une fois c'est dans celle en français qu'iln'y avait pas l'erreur).

[azizovsky]

Désolé Obi78, d'abord l'évaporation, ensuite le vidange, ...,enfin la soupe .