Masse et ressort non idéal

[Yezu]

Bonjour à tous !

Dans un problème de mécanique, je suis ammené à déterminer le mouvement d'une masse m accroché à un ressort de raideur k.
Le ressort n'est cependant pas idéal comme dans les problèmes de mécanique élémentaire : on lui attribue une masse M et on suppose que la répartition de la masse dans le ressort est uniforme et que la déformation est également uniforme. Mon problème est que j'ai besoin de l'énergie cinétique du système pour en déduire les équations du mouvement : il faut donc prendre en compte l'Ec du ressort en lui-même.

Soit d la longueur à vide du ressort (ressort 1D), on lui accroche une masse.

On l'allonge d'une distance x par rapport à la longueur à vide.
On sait trivialement que l'Ec de la masse est
En utilisant les propriétés du centre de masse du ressort, j'ai déduit que son Ec était de la forme cependant ce résultat n'est pas correct, car à la toute fin je n'obtiens pas les bonnes équations du mouvement (données à la fin de l'énoncé). Je reste persuadé que c'est pour l'Ec du ressort que j'ai fait du n'importe quoi.

Quelqu'un pourrait-il donc, svp, me donner une indication pour obtenir l'énergie cinétique d'un ressort non idéal ?

Merci d'avance,

Bon début de semaine.
-----

[petitmousse49]

Bonjour
Le raisonnement rigoureux se fait en considérant la propagation d'une onde stationnaire dans le ressort. Cependant, on obtient assez simplement un résultat approché assez satisfaisant de la façon suivante.
On "découpe" le ressort de longueur x en tranches élémentaires d'épaisseur élémentaire "du" située entre les distances u et (u+du) de l'extrémité fixe et on considère que cette tranche à une vitesse fonction linéaire de "u", sachant que cette vitesse vaut en u=x :

La masse linéique du ressort à la date t étant (m/x), l'énergie cinétique élémentaire de la tranche est ainsi :

Je te laisse intégrer entre u=0 et u=x...