Calculs relativistes et facteur de Lorentz

[benjgru]

Bonjour,

il y a quelque chose en relativité restreinte que je ne comprends pas depuis un certain temps...

Quand on applique le PFD, mettons à une particule chargée dans un champ électrique constant, on a quelque chose du type: .
le facteur de Lorentz.

La vitesse va varier, la particule va accélérer avec pour limite asymptotique . Jusque là rien d'exceptionnel (enfin si on peut dire).

Mais pour obtenir cela, il faut faire comme si le facteur de Lorentz était constant dans le calcul, sinon cela ne marche pas !

Sinon on doit intégrer , ce qui donne un Arcsinus...bref c'est faux !
Quelque chose m'échappe...j'ai du rater un invariant relativiste peut être

Où est donc mon erreur ? Merci !
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[Deedee81]

Salut,

Attend, si gamma était constant ça ne pourrait pas plafonner à c (ce serait juste comme si on utilisait une masse un peu plus grande, sans plus).
Oui, l'intégration n'est pas triviale mais gamma ne doit pas être considéré comme constant.

Peux-tu préciser pourquoi le résultat te semble incorrect ???

[Amanuensis]

Peut-être parce que arcsinus n'est pas défini sur tout R alors qu'on cherche v en fonction du temps, réputé aller à +inf.

[Sethy]

La fonction Arcsinus est relativement linéaire pour x petit. Or on divise v par c quand même. Il y a deux autres manières de la voir.

Le développement en série qui donne x + x^3/6 + O(x^5). On peut aussi transformer l'expression de gamma (en utilisant les développements en série 1-alpha^n ...) et ensuite en intégrant, ce qui donne le même résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[benjgru]

Non le résultat est correct mais il y a une étape du raisonnement et du calcul que je comprends pas vraiment .
Quand on intègre la première équation que j'ai donnée (PFD), mathématiquement on fait comme si Gamma était constant, alors qu'il ne l'est pas évidemment, voilà...sinon on ferait par "séparation des variables" comme on dit en maths, et Gamma serait intégré au propre comme au figuré avec .

Mais je l'ai dit, quelque chose m'échappe...!

[Amanuensis]

La fonction Arcsinus est relativement linéaire pour x petit

Certes, mais il me semble qu'on cherche l'asymptote pour t (aka x) tendant vers l'infini. Pas vraiment la partie "linéaire"...

Par ailleurs, il me semble que c'est le problème de la métrique de Rindler, et la solution doit y être ! J'ai la flemme d'aller chercher...

[mach3]

Il se serait peut-être utile de repartir de l'expression relativiste générale de force de Lorentz :

Avec p la 4-impulsion, q la charge électrique, u la 4-vitesse, F le tenseur de champ électromagnétique (1,1), et tau le temps propre de la particule chargée.

Plus à venir si plus de temps.

m@ch3

[Amanuensis]

J'ai des doutes, car on peut remplacer dans la description message #1 la force qE par n'importe quelle force "constante", et appliquer le même raisonnement.

[mach3]

Pour l'instant ce que je trouve au brouillon, c'est qu'en considérant E et v colinéaires, ce n'est pas gamma mais gamma cube du côté gauche de l'expression...

A confirmer.

m@ch3

[benjgru]

Merci pour vos réponses mais j'ai du mal m'exprimer car personne ne voit où est mon problème...j'ai du faire une erreur de raisonnement quelque part c'est obligé.
En fait ça doit venir de quelque part par là

[benjgru]

En fait au début j'avais écrit mais je ne savais pas quoi faire avec cela...

[Sethy]

En fait au début j'avais écrit mais je ne savais pas quoi faire avec cela...

Si tu pars de et que tu intègres, tu obtiendras forcément

[mach3]

Pour l'instant ce que je trouve au brouillon, c'est qu'en considérant E et v colinéaires, ce n'est pas gamma mais gamma cube du côté gauche de l'expression...

A confirmer.

Je me suis peut-être planté, pas encore sûr, et pas le temps d'aller plus loin.

Repartons de là (écriture en sommation d'Einstein, indices grecs allant de 0 à 3, indices latins de 1 à 3, 0 étant la coordonnée temporelle, on considère c=1, signature +---) :

(formule de la force de Lorentz relativiste)

On a u la 4-vitesse avec


p la 4-impulsion avec



Variante :


avec b la 4-acceleration

En l'absence d'un champ magnétique le tenseur de champ électromagnétique F est tel que :

et toutes les autres composantes ( et ) sont nulles

Donc d'une part :




Et d'autre part :



étant la partie spatiale de la 4-acceleration, à ne pas confondre avec qui est la 3-acceleration

Intéressons nous au carré de l'accélération propre (carré de la 4-acceleration b) :





Considérons le cas avec v et E colinéaires :





L'accélération propre est constante et on est bien dans un cas "Rindler", en accord avec Amanuensis dans le message 6.

Dans ce cas, en considérant le cas 1D+1D, le mouvement est décrit dans un système de coordonnées de Lorentz t,x par :


Avec g l'accélération propre, le temps propre de la particule, t_0,x_0 l'évènement où la vitesse s'annule. Cela donne une 4-vitesse de la forme :

(on peut vérifier que son carré est bien de 1)
et une 4-accélération de la forme :

(on peut vérifier que son carré est bien de -g²)

plus qu'à utiliser ça pour transformer les en et vérifier que l'expression proposée au premier message est correcte.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
une masse avec une accélération propore constante g parcoure une distance x:

->

et si je multiplie par la masse m :

c'est la version relativiste du TEC.
L'ennui est que tu as dans ton cas.
EDIT mach3

[benjgru]

@Sethy : oui je crois que tu as raison c'était tout bête...!
Je crois que je me suis emmêlé les pinceaux avec tous les facteurs de Lorentz car quand on applique le PFD en relativité restreinte, il en apparaît partout ! (via les notamment).

@Zefram :euh...ton formalisme est un peu abstrait pour moi mais sans doute plus rigoureux...ton c=1 je suppose ? après je n'obtiens jamais de sinus hyperboliques par contre moi...!

[Zefram Cochrane]

Pour ce qui est du formalisme :



................
quand une capsule accélère avec une accélération propre (ressentie par l'observateur de la capsule ) constante g, la formule nous dit que du point de vue de l'observateur externe l'accélération coordonnée a sera plus faible au fur et à mesure que la vitesse de la capsule augmente; ce qui est logique car la vitesse de la capsule est limitée par la vitesse de la lumière c.
Maintenant, dans ton cas, la force qE qui est constante.
Si je ne me trompe pas :
( ce qui semble coreller avec ce que dit mach3 à confirmer)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Princi...e_la_dynamique
C'est cool parce que cela veut dire que l'accélération ressentie est constante g = qE/m ( ce que je ne savais pas forcément)
donc ca facilite grandement les chose parce que c'est un Rindler classique :
la distance parcourue est en s.l :

en une durée coordonnée

la vitesse atteinte sera (surprenant mais c'est ça il n'y a pas d'erreur)

Confirmez SVP que je ne raconte pas de cracks et si il y a des explications complémentaires je suis preneur.

[mach3]

C'est un peu un sac de noeuds, mais je crois que j'ai réussi à m'en dépatouiller.

On a :




ce qui donne :










Or on a :



Donc :



et comme





Bon ben ce serait bien un gamma cube. L'expression serait fausse.

A vérifier, je ne suis pas à l'abri d'une erreur de calcul.

m@ch3

[Amanuensis]

On réinvente Rindler, non?

[benjgru]

C'est quoi un Rindler ?

[mach3]

On réinvente Rindler, non?

oui. J'avais la flemme de retrouver une bonne source sur le sujet, et l'envie de le "redémontrer".

C'est quoi un Rindler ?

C'est lié à la description d'un objet uniformément accéléré (au sens que l'accélération qu'il subit, celle que mesurerait un accéléromètre attaché à l'objet, qu'on appelle accélération propre, est constante) en relativité restreinte, et plus généralement d'un ensemble d'objets uniformément accélérés qui peut servir à matérialiser un référentiel uniformément accéléré (dit référentiel de Rindler), référentiel qui peut se décrire avec les coordonnées dites de Rindler (entre autres).

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

EDIT décidément, c'est la quatrième fois que je me fais griller aujourd'hui. Je suis maudit.

C'est quoi un Rindler ?

La métrique (en relativité restreinte) pour un observateur accéléré.
EDIT et en effet on parle plutôt de "coordonnées de Rindler", voir Wikipedia par exemple.

[Zefram Cochrane]

https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4518706
quelques détails dans ce fil.

[Archi3]

Bon ben ce serait bien un gamma cube. L'expression serait fausse.

Elle EST fausse, l'équation correcte a été donnée au 11) , , ce qui donne , et pour avoir v, on peut utiliser simplement , ce qui donne , où , tendant bien évidemment vers c.

[Archi3]

donc ici c'est finalement plus simple de paramétrer en fonction du temps du référentiel que du temps propre (qui fait apparaître les cosh ...) , mais pourquoi faire simple si on peut faire compliqué .

[mach3]

https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4518706
quelques détails dans ce fil.

avis mitigé sur ce fil, il y a quelques schémas de mailou intéressants, mais il y a aussi un peu trop de dérives sur de la RG mal digérée.

m@ch3

[Amanuensis]

Elle EST fausse, l'équation correcte a été donnée au 11) , , ce qui donne , et pour avoir v, on peut utiliser simplement , ce qui donne , où , tendant bien évidemment vers c.

E a deux significations distinctes dans ce calcul

[benjgru]

Je crois que j'ai compris !!
Mais il y a aussi des facteurs quui apparaissent à droite et à gauche du signe égal du PFD (avec le temps propre et la quadri-force), mais il se neutralisent entre eux !! à croire que cela a été fait exprès

[coussin]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lore..._Lorentz_force

[Mailou75]

avis mitigé sur ce fil, il y a quelques schémas de mailou intéressants, mais il y a aussi un peu trop de dérives sur de la RG mal digérée.

Je confirme, le début du fil est plus juste que la fin

[Archi3]

Je crois que j'ai compris !!
Mais il y a aussi des facteurs quui apparaissent à droite et à gauche du signe égal du PFD (avec le temps propre et la quadri-force), mais il se neutralisent entre eux !! à croire que cela a été fait exprès

exactement, l'équation correcte relativiste est , ou est le 4-vecteur force, mais la partie spatiale de cette équation donne , ce qui fait qu'on retrouve à la fin l'équation classique qui reste valable en relativité .