Navier-Stokes à 1 million de dollars..

[soliris]

Bonjour,

Excusez le titre pompeux... et racoleur de ce message, mais j'aimerais comprendre ce qu'il faut résoudre concernant Navier-Stokes, qui justifierait l'octroi d'un million de dollars !
Bref: quelle est la question posée ?

navier-stokes-equation la body force est égal à Force sur Masse en concept anglais bis.jpg

[Ci-dessus: traduction de l'anglais, pour le lecteur: shear = cisaillement, stress = contrainte, f = "body force" = force / masse, donc une acc. ; les triangles valent 1/mètre, les lettres u sont analogues à des vitesses, upsilon = viscosité "êta"]

Merci d'avance.

Du point de vue de l'analyse dimensionnelle, l'équation en question s'exprime partout en accélérations [comme Bernoulli s'exprime en densités d'énergie, Poiseuille en unités de débit moyen..)].
-----

[invite82fffb5c]

Sur le site de l'institut

http://www.claymath.org/millennium-p...tokes-equation

Et ici
http://www.claymath.org/sites/defaul...vierstokes.pdf
En page 2, il y a une liste de 4 questions.
Si tu arrives à en démontrer une des 4 tu gagnes...

Voilà désolé,
On partage quand meêm le prix ok

[soliris]

Sur le site de l'institut

http://www.claymath.org/millennium-p...tokes-equation

Et ici
http://www.claymath.org/sites/defaul...vierstokes.pdf

En page 2, il y a une liste de 4 questions.
Si tu arrives à en démontrer une des 4 tu gagnes...
On partage quand meêm le prix ok

Merci pour les liens.. ceux qui m'ont aidé, je ne les oublie pas.. Peut-être aurais-je quand même des questions (en fait: parviendrai-je à y comprendre quelque chose ?).

[soliris]

Ce qui compte pour le lecteur c'est de passer au travers du langage protocolaire d'une part, avec une présentation des choses nettement mieux expliquée, comme dans ce lien, d'autre part..

https://images.math.cnrs.fr/Autour-d...er-Stokes.html

Déjà l'on y montre certains "clivages" ennuyeux pour certaines valeurs de l'équation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

L'équation de Navier-Stokes est une équation d'évolution pour le champ des vitesses d'un fluide incompressible visqueux tridimensionnel.

La question posée est la plus simple possible: est--il vrai que pour tout champ de vitesses initial régulier (au sens de infiniment dérivable) u(x,0) à t=0, il existe une évolution régulière (infiniment dérivable) u(x,t) solution de l'équation et définie pour tout ?

Exercice: résoudre cette question pour l'équation différentielle

Et pour l'équation différentielle

[Deedee81]

Salut,

Exercice: résoudre cette question pour l'équation différentielle

Et pour l'équation différentielle

Ah oui, là c'est tout de suite plus facile
Mais je préfère prévenir Soliris : non, si tu réponds, 0577 ne te donnera pas un million

Etape suivante, le même genre de question avec une équation aux dérivées partielles (même simples ces équations font un sacré bond dans la difficulté par rapport aux équations différentielles)

[soliris]

Salut,

Etape suivante, le même genre de question avec une équation aux dérivées partielles (même simples ces équations font un sacré bond dans la difficulté par rapport aux équations différentielles)

Hello, Deedee81. Où est la difficulté quand on comprend chaque mot ? M'en remettre aux termes usuels des physiciens m'est personnellement très difficile; c'est pour cela que j'ai largement utilisé l'analyse dimensionnelle. Mais en plus de cela, toutes ces notations comme "delta", différentiels, dérivées m'obligent à chaque fois à tout me réexpliquer ce qui est dit.

Merci à vous.

[stefjm]

Où est la difficulté quand on comprend chaque mot ?

??
Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

J'ose prétendre que je comprends tous les mots. Bon courage quand même...

J'avais la démo sur un coin de serviette au resto et je l'ai oubliée...

[invite82fffb5c]

La conjecture de syracuse ?

Je comprends aussi

Comprendre et intégrer un probleme n'est pas la même chose.

Quand je lance un baton à un chien il analyse/prédis tellement bien les équations usuelles de la mécanique.
Justement car j'arrive à le tromper quand je ne lance rien...

Comprendre et expliquer c'est pas pareil


Merci d'arrêter le flood systématique.

[Sethy]

Bonjour,

L'équation de Navier-Stokes est une équation d'évolution pour le champ des vitesses d'un fluide incompressible visqueux tridimensionnel.

La question posée est la plus simple possible: est--il vrai que pour tout champ de vitesses initial régulier (au sens de infiniment dérivable) u(x,0) à t=0, il existe une évolution régulière (infiniment dérivable) u(x,t) solution de l'équation et définie pour tout ?

Exercice: résoudre cette question pour l'équation différentielle

Et pour l'équation différentielle

Je m'y colle, en tout cas pour le premier.

Face à ce type d'équation, il y a deux solutions. Soit on propose une solution, soit on tente de la résoudre. Je vais tenter les deux approches.

f est donc une fonction du temps, t. Imaginons que f = t

df/dt, c'est la dérivée de f par rapport à t. Donc si f = t, df/dt = 1. Injectons maintenant ce résultat dans l'équation 1 + f = 0, or j'ai supposé que f était égal à t, donc j'obtiens 1 = t. Cela n'a pas de sens. Donc f = t n'est pas une solution.

Imaginons que je propose f = exp(t). La dérivée, c'est simple, vaut exp(t) car l'exponentielle est sa propre dérivée. Si je remplace dans l'équation, j'ai

exp(t) = exp(t)

OK f = exp(t) est bien solution de l'équation différentielle proposée par 0577.

Maintenant l'autre approche, plus mathématique :



Je peux permuter les deux quantités (attention, avec une dérivée seconde, cela ne fonctionnerait pas).

Maintenant j'intègre :



L'intégrale de dt donne t, facile. L'intégrale de df/f donnt ln(f). J'ai donc l'équation :



Tiens, je n'ai pas le même résultat qu'avec l'autre méthode ? En fait si, si on se souvient que prendre l'exponentielle du logarithme, revient à considérer la quantité en elle-même. J'ai donc :



Et voilà. Si tu ne parviens pas à faire le second exercice proposé par 0577 tout seul, ça ne sert à rien d'essayer de comprendre Navier-Stokes.

N'utilise pas l'intuition, tu ne trouveras pas. Utilise la 2ème méthode, la mathématique (celle qui passe par l'intégrale).

[Sethy]

Bonjour,

L'équation de Navier-Stokes est une équation d'évolution pour le champ des vitesses d'un fluide incompressible visqueux tridimensionnel.

La question posée est la plus simple possible: est--il vrai que pour tout champ de vitesses initial régulier (au sens de infiniment dérivable) u(x,0) à t=0, il existe une évolution régulière (infiniment dérivable) u(x,t) solution de l'équation et définie pour tout ?

Exercice: résoudre cette question pour l'équation différentielle

Et pour l'équation différentielle

Je m'y colle, en tout cas pour le premier.

Face à ce type d'équation, il y a deux solutions. Soit on propose une solution, soit on tente de la résoudre. Je vais tenter les deux approches.

f est donc une fonction du temps, t. Imaginons que f = t

df/dt, c'est la dérivée de f par rapport à t. Donc si f = t, df/dt = 1. Injectons maintenant ce résultat dans l'équation 1 + f = 0, or j'ai supposé que f était égal à t, donc j'obtiens 1 = t. Cela n'a pas de sens. Donc f = t n'est pas une solution.

Imaginons que je propose f = exp(t). La dérivée, c'est simple, vaut exp(t) car l'exponentielle est sa propre dérivée. Si je remplace dans l'équation, j'ai

exp(t) = exp(t)

OK f = exp(t) est bien solution de l'équation différentielle proposée par 0577.

Maintenant l'autre approche, plus mathématique :

\frac{df}{dt} = f
\frac{df}{f} = dt

Je peux permuter les deux quantités (attention, avec une dérivée seconde, cela ne fonctionnerait pas).

Maintenant j'intègre :

\frac{df}{f} = dt
\int{\frac{df}{f}} =\int{dt}

L'intégrale de dt donne t, facile. L'intégrale de df/f donnt ln(f). J'ai donc l'équation :

\int{\frac{df}{f}} =\int{dt}
ln(f) = t

Tiens, je n'ai pas le même résultat qu'avec l'autre méthode ? En fait si, si on se souvient que prendre l'exponentielle du logarithme, revient à considérer la quantité en elle-même. J'ai donc :

ln(f) = t
exp(ln(f)) = exp(t)
f = exp(t)

Et voilà. Si tu ne parviens pas à faire le second exercice proposé par 0577 tout seul, ça ne sert à rien d'essayer de comprendre Navier-Stokes.

N'utilise pas l'intuition, tu ne trouveras pas. Utilise la 2ème méthode, la mathématique (celle qui passe par l'intégrale).

[JPL]

Tu n’as pas encadré tes formules par la balise [Tex]... [/Tex].

[Sethy]

Tu n’as pas encadré tes formules par la balise [Tex]... [/Tex].

Merci

En fait, dans le premier message, je l'avais fait mais j'ai une icone d'image manquante. D'où mon second message, avec juste le texte sans les balises (pour ne pas perdre le contenu).

[0577]

Bonjour,

OK f = exp(t) est bien solution de l'équation différentielle proposée par 0577.

je vais pinailler: la question n'est pas de trouver une solution mais de trouver une solution (définie pour tout t positif) pour toute condition initiale à t=0.

On connaît plein de solutions explicites de l'équation de Navier-Stokes. La question est de montrer l'existence d'une solution pour toute condition initiale.

[Sethy]

Bonjour,



je vais pinailler: la question n'est pas de trouver une solution mais de trouver une solution (définie pour tout t positif) pour toute condition initiale à t=0.

On connaît plein de solutions explicites de l'équation de Navier-Stokes. La question est de montrer l'existence d'une solution pour toute condition initiale.

Non, non, tu as raison de préciser.

[jacknicklaus]

Merci

En fait, dans le premier message, je l'avais fait mais j'ai une icone d'image manquante.

l'interpréteur TEX de ce site n'aime pas que les balises {text} et {/tex} ne soient pas sur la même ligne...

[Sethy]

@jacknicklaus : Merci ! C'est bien la première fois que je rencontre ce problème sur Futura.

Je m'y colle, en tout cas pour le premier.

Face à ce type d'équation, il y a deux solutions. Soit on propose une solution, soit on tente de la résoudre. Je vais tenter les deux approches.

f est donc une fonction du temps, t. Imaginons que f = t

df/dt, c'est la dérivée de f par rapport à t. Donc si f = t, df/dt = 1. Injectons maintenant ce résultat dans l'équation 1 + f = 0, or j'ai supposé que f était égal à t, donc j'obtiens 1 = t. Cela n'a pas de sens. Donc f = t n'est pas une solution.

Imaginons que je propose f = exp(t). La dérivée, c'est simple, vaut exp(t) car l'exponentielle est sa propre dérivée. Si je remplace dans l'équation, j'ai

exp(t) = exp(t)

OK f = exp(t) est bien solution de l'équation différentielle proposée par 0577.

Maintenant l'autre approche, plus mathématique :




Je peux permuter les deux quantités (attention, avec une dérivée seconde, cela ne fonctionnerait pas).

Maintenant j'intègre :




L'intégrale de dt donne t, facile. L'intégrale de df/f donnt ln(f). J'ai donc l'équation :




Tiens, je n'ai pas le même résultat qu'avec l'autre méthode ? En fait si, si on se souvient que prendre l'exponentielle du logarithme, revient à considérer la quantité en elle-même. J'ai donc :

ln(f) = t
exp(ln(f)) = exp(t)
f = exp(t)

Et voilà. Si tu ne parviens pas à faire le second exercice proposé par 0577 tout seul, ça ne sert à rien d'essayer de comprendre Navier-Stokes.

N'utilise pas l'intuition, tu ne trouveras pas. Utilise la 2ème méthode, la mathématique (celle qui passe par l'intégrale).

[stefjm]

L'intégrale de dt donne t, facile. L'intégrale de df/f donnt ln(f). J'ai donc l'équation :

En lien avec la remarque de 0577.

[soliris]

Il me faut plus de connaissances sur la notion de condition initiale, sur le terrain. Je ne peux pas travailler en mathématiques si je n'ai pas de représentation. Mais peut-être que l'un d'entre vous pourrait nous faire cadeau de tels exemples précis. Imaginez que vous faîtes un bouquin "tout public" !

Merci à tous, déjà, pour ces efforts d'explications très détaillées.

[obi76]

Un simple cylindre en 2D, probablement le cas le plus simple.
Conditions initiales : vitesse imposée et constante à gauche, aux bords, vitesse imposée nulle aux bords du cylindre, pression imposée constante en sortie.

On vous regarde
Si vous arrivez à trouver une solution analytique aux allées de von-Karman, ça sera déjà un bon début...

https://fr.wikipedia.org/wiki/All%C3...lons_de_Karman

[ThM55]

Il faut faire attention quand on fait une analogie avec les équations différentielles ordinaires. En effet, il y a une théorie bien établie qui donne des conditions très générales pour l'existence, l'unicité et la régularité des équations différentielles ordinaires. Une telle théorie générale n'est pas connue pour les équations au dérivées partielles. On a des résultats précis pour certaines équations (par exemple les équations linéaires classiques, ondes, diffusion etc, ou même celles d'Einstein pour le champ de gravitation en relativité générale), mais pour d'autres on en sait très peu. Et l'équation de Navier-Stokes est une équation aux dérivées partielles.

[Deedee81]

Salut,

Il me faut plus de connaissances sur la notion de condition initiale, sur le terrain.

Plus de connaissance ??? Ben, les conditions initiales ici c'est la vitesse du fluide à l'instant 0. C'est tout. Je ne vois pas où est ton besoin de connaissance là.

Il faut faire attention quand on fait une analogie avec les équations différentielles ordinaires. En effet, il y a une théorie bien établie qui donne des conditions très générales pour l'existence, l'unicité et la régularité des équations différentielles ordinaires. Une telle théorie générale n'est pas connue pour les équations au dérivées partielles. On a des résultats précis pour certaines équations (par exemple les équations linéaires classiques, ondes, diffusion etc, ou même celles d'Einstein pour le champ de gravitation en relativité générale), mais pour d'autres on en sait très peu. Et l'équation de Navier-Stokes est une équation aux dérivées partielles.

Bien dit. Je l'avais en effet sous-entendu au message 6. Ce type d'équation peut être très difficile.

[soliris]

Un simple cylindre en 2D, probablement le cas le plus simple.
Conditions initiales : vitesse imposée et constante à gauche, aux bords, vitesse imposée nulle aux bords du cylindre, pression imposée constante en sortie.

On vous regarde
Si vous arrivez à trouver une solution analytique aux allées de von-Karman, ça sera déjà un bon début...

Merci pour l'exemple précis.
Imaginons deux vaporisateurs à parfum, dont la particularité est qu'ils font sortir leur "vapeur" non pas quand on appuie sur leur système , mais quand on l'étire. S'ils sont disposés l'un au-dessus de l'autre, et que l'on étire l'un d'eux au départ, l'accélération du jet va attirer et étirer l'autre. Celui-ci va bloquer le premier, tout en émettant à son tour de la vapeur en accéléré. En faisant cela, il attire l'autre et se bloque lui-même.. Et le cycle recommence très rapidement.



Le débit global est permanent (le débit d'air: c'est déjà une norme à retenir), mais il faut introduire des aspirations successives dans ce même débit, aspirations qui permettent par la suite, anormalement, de maintenir longtemps la structure des "volutes" sur tout le parcours de fuite; et qui plus est: ces mêmes structures ont tendance à gonfler bizarrement, un peu comme dans une divergence..

Pour les calculs..

[obi76]

Merci pour l'exemple précis.
Imaginons deux vaporisateurs à parfum, dont la particularité est qu'ils font sortir leur "vapeur" non pas quand on appuie sur leur système , mais quand on l'étire. S'ils sont disposés l'un au-dessus de l'autre, et que l'on étire l'un d'eux au départ, l'accélération du jet va attirer et étirer l'autre. Celui-ci va bloquer le premier, tout en émettant à son tour de la vapeur en accéléré. En faisant cela, il attire l'autre et se bloque lui-même.. Et le cycle recommence très rapidement.

Pièce jointe 405886

Le débit global est permanent (le débit d'air: c'est déjà une norme à retenir), mais il faut introduire des aspirations successives dans ce même débit, aspirations qui permettent par la suite, anormalement, de maintenir longtemps la structure des "volutes" sur tout le parcours de fuite; et qui plus est: ces mêmes structures ont tendance à gonfler bizarrement, un peu comme dans une divergence..

Beaucoup plus compliqué que ça, vraiment...

[soliris]

Beaucoup plus compliqué que ça, vraiment...

Ce site présente bien l'historique du problème et différents aspects. Cliquez ici.

Par "aspirations", j'entends qu'on peut observer des forces "centripètes" sur les images des allées de Karman, qui sont dues, sur place, à une accélération d'accélération, que j'appelle "divergence", en m/sec³. Pourquoi cette divergence est à tendance implosive et locale, et non explosive, est encore un mystère.

La succession de "localités" où se manifeste la divergence semble se modéliser sur la forme originale de l'obstacle

[obi76]

Pour commencer, les turbulences toriques créées par des jets à contre-courant ne sont pas des allées de von-Karman...

Pour continuer, la "divergence" a une signification en mécanique des fluides, qui ne veut pas dire n'importe quoi, en tous cas certainement pas ce que vous dites (la preuve, c'est qu'on peut très bien observer ces turbulences dans des champs à divergence nulle, je l'ai encore fait pas plus tard que ce matin...). En plus c'est en 1/s.

Pour le reste, il existe un nombre considérable de thèses traitant de ce sujet, vous en faire un cours prendrait plusieurs jours, voire semaines (dépend de vos bases)...en tous cas mis à part un vocabulaire qui n'est pas correct, vos intuitions sont très loin de la réalité.

Si vous voulez comprendre (enfin mieux) tout ça, je vous suggère de commencer par comprendre les équations de Navier-Stokes incompressibles (d'où ça vient, que veulent dire ses termes, ses limites, etc.), et ses applications dans des écoulements laminaires (Poiseuille, Couette, etc.)
Quand ce sera fait et compris, aller voir dans les équations d'état, et NS compressible
En parallèle, voir les modèles de turbulence, comment ils sont construits (le k-epsilon, tenseur de Reynolds, etc.), les spectres turbulents (Pope etc), la construction et l'évolution des THI (turbulence homogènes isotropes), la dissipation turbulente, les turbulences anisotropes type proche-paroi / Smagorinsky, turbulences en fer à cheval, turbulence induites par la courbure des surfaces...

Déjà, ça vous donnera une base en monophasique...

Après on verra.

[Sethy]

C'est comme pour le piano en fait, on peut commencer avec un seul doigt et ensuite on passe à légèrement plus compliqué comme une étude par exemple. Ici, le tout en un seul morceau : https://www.youtube.com/watch?v=gZjdAWgjLx8

[obi76]

C'est comme pour le piano en fait, on peut commencer avec un seul doigt et ensuite on passe à légèrement plus compliqué comme une étude par exemple. Ici, le tout en un seul morceau : https://www.youtube.com/watch?v=gZjdAWgjLx8

C'est ça, et comprendre qu'essayer de jouer la Campanella quand on n'a jamais touché un piano de sa vie, c'est illusoire...

(PS : https://www.youtube.com/watch?v=vwc-nmyPm4I )

[stefjm]

C'est ça, et comprendre qu'essayer de jouer la Campanella quand on n'a jamais touché un piano de sa vie, c'est illusoire...
(PS : https://www.youtube.com/watch?v=vwc-nmyPm4I )

Faut demander le téléchargement de l'appli à Trinity!

[soliris]

Pour continuer, la "divergence" a une signification en mécanique des fluides, qui ne veut pas dire n'importe quoi, en tous cas certainement pas ce que vous dites (la preuve, c'est qu'on peut très bien observer ces turbulences dans des champs à divergence nulle, je l'ai encore fait pas plus tard que ce matin...). En plus c'est en 1/s.

Merci pour votre réponse. Nous ne sommes peut-être pas si éloignés dans les faits.
Prenons un exemple en électromagnétisme: il est dit que les ondes électromagnétiques sont produites lors de variations de courant dans un fil. Ces variations créent, dans les premiers cm, un champ magnétique, qui à son tour crée un champ électrique, et puis on recommence.
Or un champ électrique est le champ d'accélération des charges qui s'y trouvent: en m/sec².

Une variation de ce champ électrique serait-y donc une division de ces m/sec² par le temps, ou, si vous voulez: une multiplication par 1/s (qui est pour vous la notion de divergence) .. ?
Le champ électromagnétique, dans les faits, posséderait-il des unités en m/sec³ ?

En physique, les m/sec^3 sont un "à-coup", ce qui est une notation horrible. Dans ma représentation, et pour autre observation mécanique dans le divergent d'une tuyère de Laval,c'est cette accélération en m/sec³ que j'appelle : divergence.
C'est une question de mots, c'est vrai.