Solutions physiques aux équations du second degré (et des dégrés supérieurs)

[Sethy]

Bonjour à tous,

Je me pose une question depuis pas mal de temps et je n'ai pas trouvé de réponse.

Il arrive parfois que le problème qu'on ait à résoudre puisse être ramené à une équation d'un degré supérieur à 1.

Prenons par exemple la dilution d'un acide faible dans l'eau. Moyennant un certain nombre de précautions, on peut simplifier le raisonnement et obtenir une équation du second degré. Équation qui, si on la résout donne 2 solutions.

Heureusement, une de ces solutions n'est pas "physiquement" acceptable (souvent une concentration négative ou supérieure à la quantité totale de réactif), ce qui permet de n'en garder qu'une, la physique.

Mais pourquoi est-ce toujours le cas ? Y a-t-il une explication mathématique plus fondamentale que la simple observation ?

Merci,

Sethy
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[jacknicklaus]

Mais pourquoi est-ce toujours le cas ?

Mais non ce n'est pas toujours le cas. On peut très bien avoir une double solution physiquement acceptable. Par exemple quand on a des courbes d'énergie potentielle en cloche, les 2 solutions possibles d'une équation "Energie = une valeur donnée" peuvent avoir toutes deux une signification physique.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

En complément: le fait qu'il existe parfois des solutions mathématiques qui ne soient pas physiquement acceptables, montre simplement que le modèle mathématique constitue une simplification du phénomène étudié et ne prend pas en compte toutes les caractéristiques de ce phénomène. Recourir à la simplification est très souvent nécessaire afin d'éviter à se coltiner des problèmes mathématiquement hors de notre portée.

[Sethy]

Mais non ce n'est pas toujours le cas. On peut très bien avoir une double solution physiquement acceptable. Par exemple quand on a des courbes d'énergie potentielle en cloche, les 2 solutions possibles d'une équation "Energie = une valeur donnée" peuvent avoir toutes deux une signification physique.

Oui, bien sûr, comme le tir "en canonnier" ou en "obusier" dans le cas d'un projectile tiré à tout autre angle que 45°. Mais dans ce cas, l'alternative est physique.

Ici, si je prends le cas de l'acide faible.

L'équation d'équilibre est HA <-> H++ A-

La constante d'équilibre vaut Ka = [H+][A-]/[HA] (en principe ce sont les activités, il faut tenir compte des OH-, ...).

Si on pose [H+] = x, [A-] vaut donc aussi x et [HA] vaut la concentration analytique en acide "moins" x, ce qui est ionisé.

Une telle équation donne deux valeurs de concentration en H+, l'une négative qui n'a pas de sens et l'autre positive qu'on retient.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Bonsoir,

En complément: le fait qu'il existe parfois des solutions mathématiques qui ne soient pas physiquement acceptables, montre simplement que le modèle mathématique constitue une simplification du phénomène étudié et ne prend pas en compte toutes les caractéristiques de ce phénomène. Recourir à la simplification est très souvent nécessaire afin d'éviter à se coltiner des problèmes mathématiquement hors de notre portée.

Peut-on "montrer" ou "démontrer" cela ?

[gts2]

Ici, si je prends le cas de l'acide faible.
La constante d'équilibre vaut Ka = [H+][A-]/[HA]
Une telle équation donne deux valeurs de concentration en H+, l'une négative qui n'a pas de sens et l'autre positive qu'on retient.

Là c'est facile : l'équation n'est pas Ka=Q mais {Ka=Q, x>0} qui n'a qu'une solution.

[Resartus]

Bonjour,

Par exemple quand on a des courbes d'énergie potentielle en cloche, les 2 solutions possibles d'une équation "Energie = une valeur donnée" peuvent avoir toutes deux une signification physique.

Un exemple du quotidien est celui de la coexistence de plusieurs phases (liquide/gaz en dessous du point critique par exemple).

Dans sa "théorie des catastrophes", René THOM faisait un inventaire des diverses possibilités. En schématisant, si on peut modéliser l'énergie comme un polynome des variables du système, on pourra identifier à partir des extrema de ce polynome diverses configurations géométriques qu'on peut retrouver dans la nature (plis, fronces, queues d'aronde, etc.)

[azizovsky]

Un terrain qui a la forme d'un triangle rectangle, l'hypoténuse : , , mais est une distance, par définition de distance , donc :
et de même pour tous ce qui est définit positif.

[Sethy]

Certes, mais que fais-tu du cas où la seconde racine n'est pas négative mais "trop" positive ? C'est moins fréquent, mais cela arrive également.

Je rappelle que les solutions sont en -b +/- racine de Delta. Si b est négatif et supérieur en valeur absolue à racine de Delta, les deux solutions sont positives.

Ici, c'est la "plus" petite des deux qui est physique, l'autre est "forcément" au-delà des bornes.

[gts2]

"mais que fais-tu du cas où la seconde racine n'est pas négative mais "trop" positive".

Exemple chimique : on cherche l'avancement comme les quantités de matière sont positives xmin<x<xmax, donc l'équation f(x)=0 est en fait {f(x)=0,x>xmin,x<xmax}

[Sethy]

"mais que fais-tu du cas où la seconde racine n'est pas négative mais "trop" positive".

Exemple chimique : on cherche l'avancement comme les quantités de matière sont positives xmin<x<xmax, donc l'équation f(x)=0 est en fait {f(x)=0,x>xmin,x<xmax}

Oui, oui, bien sûr. Mais pourquoi n'a-t-on jamais les deux solutions xmin<x1<x2<xmax et est-ce toujours soit : x1<xmin<x2<xmax soit xmin<x1<xmax<x2 ?

[stefjm]

Question de stabilité qu dépend du signe de la dérivée.
Sur deux solutions potentiellement acceptable, on ne garde que la solution stable.

[Opabinia]

Bonjour,

Mais pourquoi n'a-t-on jamais les deux solutions xmin<x1<x2<xmax et est-ce toujours soit : x1<xmin<x2<xmax soit xmin<x1<xmax<x2 ?

Parce que pour le type de phénomène étudié, il n'y a qu'une seule solution présentant un sens physique, donc correspondant à des quantités de matière (ou des concentrations) strictement positives.

L'équilibre de dissociation d'un soluté acide, qu'on peut représenter par l'équation:

AH = A^- + H⁺ ,

se traduit par la relation:

K_a = [A^-][H⁺]/[AH]

les concentrations vérifiant par ailleurs:

[A^-] = [H⁺] (condition de neutralité électrique, en négligeant l'ionisation du solvant)
c = [AH] + [A^-] (conservation de la matière pour le soluté) ,

de sorte que la concentration (h) en ions hydrogène vérifie l'équation du second degré:

K_a = h²/(c - h) .

La fonction F(h) = h²/(c - h) étant strictement croissante sur [0 ; c[ et variant de 0 à +∞ ,
l'équation F(h) = K_a présente une solution et une seule sur le domaine considéré.

L'intervention de plusieurs équilibres simultanés conduit à des équations de degré plus élevé; ainsi par exemple, si l'on tient compte de l'ionisation du solvant:

H₂O = H⁺ + OH^- ,

il faut résoudre l'équation du 3^me degré:

K_a = h(h - K_e/h)/(c - h + K_e/h)

.
Comme dans le cas précédent, il n'y a qu'une seule solution - d'ailleurs assez facile à obtenir numériquement.

[Sethy]

Bonjour,
La fonction F(h) = h²/(c - h) étant strictement croissante sur [0 ; c[ et variant de 0 à +∞ ,

Effectivement, merci. C'est pertinent.