Tenseur métrique

[invite8d139eae]

Bonjour je voudrais savoir ci cette définition est juste : le tenseur métrique est un tenseur représentant toute les valeur possible du produit scalaire des bases ?
Merci d'avance
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[Deedee81]

Salut,

Bonjour je voudrais savoir ci cette définition est juste : le tenseur métrique est un tenseur représentant toute les valeur possible du produit scalaire des bases ?

Plus exactement des vecteurs de base (au singulier, pour chaque base on a des composantes différentes pour la métrique).
Ca donne en fait les composantes du tenseur métrique dans cette base.
On le voit très bien ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseu...%C3%A9finition

En physique tu peux aussi dire que les composantes du tenseur métrique donnent les distances et angles des points voisins (d'où son nom).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseu...nces_et_angles
(et à partir d'un tableau de toutes les distances entre points on peut définir les composantes du tenseur métrique en tout point, ils présentent ça dans le livre Gravitation, c'est assez intuitif)

Plus rigoureusement le tenseur métrique est un..... tenseur, c'est-à-dire un vecteur de l'espace VxV (où V est l'espace vectoriel initial) avec des propriétés particulières. https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur
(et le tenseur métrique est un tenseur avec quelques propriétés fixées)
Mais je suppose que tu n'as pas besoin de ces complications ?
(EDIT ou VxV....xV, ça dépend du rang du tenseur, le tenseur métrique est de rang deux c'est pas encire le pire)

Moins rigoureusement on peut identifier le tenseur métrique à une matrice. Mais attention aux confusions.

[invite8d139eae]

Merci mais je voudrais comprendre un truc ,pourquoi quand on fait un produit scalaire en deux espaces on utilise le tenseur métrique alors qu'on est censé trouvé un scalaire ?

[Deedee81]

Merci mais je voudrais comprendre un truc ,pourquoi quand on fait un produit scalaire en deux espaces

entre deux vecteurs, pas entre deux espaces

on utilise le tenseur métrique alors qu'on est censé trouvé un scalaire ?

Soit et deux vecteurs de base.
Et un vecteur en composantes contravariantes par exemple .

Le tenseur métrique sera donné en composantes covariantes par
Où * est le produit scalaire
Evidemment ça s'utilise dans les deux sens : si tu as l'espace et ses vecteurs de base, cela donne la métrique, ou alors tu as la métrique et tu en déduits les produits scalaires. Faut bien partir de quelque part.

Et on peut écrire le produit scalaire sous forme composantes comme
(on pourrait l'écrire avec les vecteurs de base à l'aide de la formule précédente)

Va voir le tenseur métrique dans wikipedia pour plus d'exemples. Ou mieux encore :
https://www.dunod.com/sciences-techn...cices-corriges
Ce livre est vraiment excellent : très aisé à comprendre sans être trop long, et ne se contente pas des espaces euclidiens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d139eae]

Je commence un peu a assimilé ,merci