La théorie de Broglie-Böhm est-elle cohérente ?

[andretou]

Bonjour à tous
Sauf erreur de ma part, la théorie de deBB stipule que toute particule possède à tout instant une position et une trajectoire déterminées.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...e_Broglie-Bohm

Selon cette théorie, dans le cas de l'atome d'hydrogène, l'électron tourne donc autour du proton (alors que selon la MQ orthodoxe, il n'est pas dit que l'électron tourne autour du noyau, il est simplement dans un état lié).

Paradoxe 1 :
Selon les lois de l'électromagnétisme, toute particule chargée subissant une accélération émet un rayonnement, conformément à la formule de Larmor.
Donc d'après la théorie deBB, en tournant autour du noyau, l'électron de l'atome d'hydrogène devrait rayonner et perdre continuellement de l'énergie puisqu'il subit une accélération centrifuge...
Mais on n'observe pas un tel rayonnement.

Paradoxe 2 :
En tournant autour du noyau, l'électron se déplacerait dans le champ magnétique généré par le proton, et subirait donc une force de Lorentz ; et réciproquement, le noyau subirait lui aussi une force de Lorentz du fait de son mouvement relatif autour de l'électron dans le champ magnétique de celui-ci.
Mais en raison des variations de la force de Lorentz dues au déplacement de l'électron autour du noyau, celui-ci devrait osciller continuellement, et donc produire à tout instant un certain travail.
Mais d'où le noyau tirerait-il son énergie pour pouvoir osciller continuellement ?

Quelles solutions la théorie deBB apporte-t-elle à ces paradoxes ?

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[ThM55]

Pour le deuxième paradoxe je ne sais pas. Je suppose que vous parlez du champ dû au moment magnétique du noyau? Il me semble que la force de Lorentz ne travaille pas, mais j'ai peut-être mal compris votre question.

Pour la question 1, c'est simplement que dans la théorie deB-B, l'électron n'obéit plus aux équations classiques. Il n'y a donc pas de paradoxe.

En particulier pour un électron dans l'état stationnaire fondamental, la théorie démontre qu'il est... immobile! De même pour tout état avec m=0 (nombre quantique magnétique). Il serait faux de l'imaginer tourner autour du noyau dans ce cas. En fait selon de Broglie-Bohm, on a toujours la fonction d'onde, elle obéit toujours à l'équation de Schrödinger avec les mêmes solutions stationnaires et les mêmes nombres quantiques pour l'électron. La théorie introduit un élément supplémentaire, un point matériel, qui se déplace selon une équation de type Newton avec un terme supplémentaire dépendant de la phase de la fonction d'onde et que Bohm avait appelé le "potentiel quantique". De Broglie, longtemps avant Bohm, avait imaginé une formulation très jolie de cette loi: il postulait l'existence d'un oscillateur présent dans ce point matériel avec une fréquence propre, et le déplacement assurait que cet oscillateur restait toujours en phase avec la fonction d'onde (il avait appelé cela "l'onde pilote"). Même lorsque cet électron est en mouvement selon de Broglie-Bohm, il ne rayonne pas dans un état stationnaire selon la loi de Larmor car sa fonction d'onde obéit toujours aux équations de la mécanique quantique. Et pour décrire complètement les changements de niveau d'énergie dans un atome, il faut écrire la loi complète dans laquelle le champ électromagnétique est quantifié lui aussi, c'est-à-dire faire de l'électrodynamique quantique (non relativiste). Les états excités de l'électron n'ont donc plus dans cette théorie une énergie précisément déterminée (comme quand on traite le potentiel électrostatique comme un objet classique) et ils ont une durée de vie finie. L'électron rayonne donc mais en émettant un photon, de manière aléatoire, pour retourner à un état inférieur, par exemple l'état fondamental.

En fait on peut montrer que la théorie de de Broglie-Bohm fait les mêmes prédictions en moyenne que la mécanique quantique. Plus précisément on a un théorème qui dit que si les "particules" de Bohm sont réparties selon la loi de Born à un instant donné, les lois du mouvement conservent cette condition. Il pourrait donc en principe y avoir des différences: j'ai dit que l'électron était immobile dans son état fondamental. En fait l'équation de Newton pour le point matériel correspond dans ce cas à deux forces qui s'annulent. En théorie newtonienne, cela veut dire qu'il aurait un mouvement uniforme, donc sa trajectoire dépend des conditions initiales (une vitesse). Mais on n'a pas de contrôle sur ces conditions initiales et faute de mieux on postule des conditions qui correspondent à une vitesse nulle ou plus généralement à la loi de Born sur les probabilités de présence.

Il faut noter que même en mécanique quantique, l'existence d'atomes et de molécules stables est un problème très difficile du point de vue déductif dans la théorie. C'est très difficile à prouver en toute rigueur et c'est encore en partie un problème ouvert.

Il faut se rappeler que de Broglie avait proposé cette idée d'onde pilote lors d'un congrès Solvay dans les années 20 mais qu'elle avait été rejetée quasi unanimement car elle n'apporte rien de plus que la mécanique quantique et pose d'autres problèmes (tel celui des conditions initiales que j'ai décrit) qui ne peuvent être décidés facilement par l'expérience. Il a ensuite passé le reste de sa carrière à enseigner la MQ orthodoxe avant de revenir à ses idées dans les dernières années de sa vie.

[Pio2001]

Bonjour,
La théorie de Broglie-Böhm est une théorie à variables cachées.

Or la mécanique quantique est incompatible avec toute théorie à variables cachées locales. La théorie de Broglie-Böhm doit donc, si elle est correcte, appartenir à la classe des théories à variables cachées non locales.

Ce qui la met en contradiction avec la relativité restreinte.
C'est un problème majeur de cette théorie.

[azizovsky]

Dans la théorie dBB, la force d’attraction entre l’électron et le proton est exactement compensée par le potentiel de Bohm.
Les deux particules ne bougent pas, la somme des forces est nulle.
En MQ standard, le courant de probabilité est nul en tout point.( 'implicitement', l’électron ne bouge pas non plus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

La théorie de Broglie-Böhm est une théorie à variables cachées.

Or la mécanique quantique est incompatible avec toute théorie à variables cachées locales. La théorie de Broglie-Böhm doit donc, si elle est correcte, appartenir à la classe des théories à variables cachées non locales.

Ce qui la met en contradiction avec la relativité restreinte.

C'est parfaitement exact, mais du vivant de de Broglie (mort dans l'indifférence générale de la presse française en 1978), du moins quand il était encore actif, ce n'était pas encore bien établi. de Broglie lui-même, quand il a pris connaissance du théorème de Bell, pensait que sa théorie vérifierait les inégalités classiques. J'ai lu que Bohm est passé par une phase dépressive suite aux expériences d'Aspect. Ce qui pourrait signifier qu'il pensait lui aussi que les inégalités classiques devraient être vérifiées dans ces expériences si sa théorie était correcte.

Mais à l'heure actuelle les "Bohmien" sont encore assez nombreux (quelques auteurs que je connais et dont j'ai lu certaines publications: Peter Holland, Detlef Dürr, Jean Bricmont) et pensent que ce problème majeur ne détruit pourtant pas leur théorie. Par exemple Peter Holland (dans "The quantum theory of motion", Cambridge University Press) consacre un chapitre à la théorie quantique des champs relativiste. Il y écrit des équations qui sont non-covariantes. Et il ajoute que la covariance et la localité sont des effets statistiques qui apparaissent quand on observe des phénomènes probabilistes, par exemple quand on mesure des sections efficaces. Pour les événements individuels en général la formulation ne respecte pas la covariance de Lorentz. C'est difficile à accepter mais pour juger sur pièce je recommande tout de même la lecture du livre de Holland: https://books.google.be/books?id=BsE...page&q&f=false .

[Sofaminou]

La théorie de Broglie-Böhm est une théorie à variables cachées.

Or la mécanique quantique est incompatible avec toute théorie à variables cachées locales. La théorie de Broglie-Böhm doit donc, si elle est correcte, appartenir à la classe des théories à variables cachées non locales.

Ce qui la met en contradiction avec la relativité restreinte.

Est-ce vraiment impossible que cette théorie soit compatible?
Je n'ai jamais rien lu qui aille dans ce sens, mais est-ce une incompatibilité physique?
Si l'on part du potentiel quantique avec la bonne foliation (donc qui ne définit pas celle-ci de façon privilégiée de l'espace-temps, puisque la contradiction est sur ce point)?


Mon impression est qu'elle est "abandonnée" car n'apporte rien de plus, donc c'est le rasoir d'Ockham qui donne le chemin, mais techniquement (physiquement et mathématiquement) je ne sais pas si cela est "réellement" incompatible.

Edit: ThM55 vient de mettre un lien, pas vu...peut-être y trouverais-je ma réponse.

[Deedee81]

Salut,

Est-ce vraiment impossible que cette théorie soit compatible?
Je n'ai jamais rien lu qui aille dans ce sens, mais est-ce une incompatibilité physique?

Ces deux théories sont incompatibles puisqu'elles prédisent des résultats différents (et mutuellement exclusifs) et c'est vérifiable expérimentalement, donc tout à fait physique.

Si l'on part du potentiel quantique avec la bonne foliation (donc qui ne définit pas celle-ci de façon privilégiée de l'espace-temps, puisque la contradiction est sur ce point)?

Heu... non, la contradiction n'est pas sur ce point et la "foliation du potentiel quantique" est une expression qui n'a pas beaucoup de sens.

Attention, je me demande si tu ne confonds pas les théories à variable cachées locales et la théorie de Bohm (elles sont différentes).

[Sofaminou]

Salut,



Ces deux théories sont incompatibles puisqu'elles prédisent des résultats différents (et mutuellement exclusifs) et c'est vérifiable expérimentalement, donc tout à fait physique

J'avais lu (il y a un bail...) et certains se sont amusés à le faire, c'est que l'on peut montrer que ça prédit exactement les mêmes probabilités que la MQ usuelle à tout instant futur(sous conditions).

Heu... non, la contradiction n'est pas sur ce point et la "foliation du potentiel quantique" est une expression qui n'a pas beaucoup de sens.

Le fait d'introduire une espèce de simultanéité "absolue" est bien le point de contradiction avec la relativité restreinte non?

[Deedee81]

J'avais lu (il y a un bail...) et certains se sont amusés à le faire, c'est que l'on peut montrer que ça prédit exactement les mêmes probabilités que la MQ usuelle à tout instant futur(sous conditions).

"ça" ???? Faudrait que tu apprennes à être plus clair. N'abuse pas des pronoms

- Les théories à variable cachées locales prédisent des résultats différents de la MQ. https://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%...C3%A9s_de_Bell
- Les théories à variables cachées non locales peuvent prédire les mêmes résultats que la MQ
- La théorie de Bohm (non locale) prédit les mêmes résultats que la MQ non relativiste
- La théorie de Bohm est en désaccord avec la MQ relativiste, mais il est difficile d'avoir un test expérimental qui les discrimine, jusqu'à maintenant en tout cas. Si ce n'est que la formulation sous forme de théorie quantique relativiste des champs est la théorie la mieux vérifiée expérimentalement de tous les temps (voir par exemple le moment magnétique anomal de l'électron https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment...A9tique_anomal
- on ignore encore si une formulation relativiste de type Bohm est possible (cela semble peu probable, et il y a eut des tentatives, mais c'est pas strictement prouvé)

Le fait d'introduire une espèce de simultanéité "absolue" est bien le point de contradiction avec la relativité restreinte non?

C'est bien ce qui distingue les théories non relativistes des théories relativistes, en effet.

[Sofaminou]

"ça" ???? Faudrait que tu apprennes à être plus clair. N'abuse pas des pronoms

Leurs travaux ont montré (c'est le "ça").
Je mettrais les sources quand je pourrais, mais il y a des gens comme Bricmont ect qui ont pris cette voie et on bossé dessus.

- La théorie de Bohm est en désaccord avec la MQ relativiste, mais il est difficile d'avoir un test expérimental qui les discrimine, jusqu'à maintenant en tout cas.
Si ce n'est que la formulation sous forme de théorie quantique relativiste des champs est la théorie la mieux vérifiée expérimentalement de tous les temps (voir par exemple le moment magnétique anomal de l'électron https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment...A9tique_anomal
- on ignore encore si une formulation relativiste de type Bohm est possible (cela semble peu probable, et il y a eut des tentatives, mais c'est pas strictement prouvé)

Voilà, d'où ma question sur la stricte incompatibilité, pour l'instant, on ne sait pas (du moins j'en était resté là).

[Deedee81]

Voilà, d'où ma question sur la stricte incompatibilité, pour l'instant, on ne sait pas (du moins j'en était resté là).

En effet. Il existe de nombreux tests des fondements de la MQ. Mais un test qui couvrirait à la fois les fondements et les aspects relativistes c'est singulièrement difficile, je n'en connais pas. Il y a bien eut un test assez sévère du groupe Zeilinger qui exclut une grande classe de théories non locales (c'est dans ArXiv) mais pas la théorie de Bohm.

[Pio2001]

"Variable cachée non locale" ne signifie-t-il pas "cause agissant instantanément à distance" ?

En tout cas, "non locale" signifie "agissant instantanément à distance", ça c'est explicite dans le théorème de Bell.

[azizovsky]

La réduction du paquet d'onde est un concept de la mécanique quantique selon lequel, après une mesure, un système physique voit son état entièrement réduit à celui qui a été mesuré.

Pendant longtemps, le processus par lequel cette réduction a lieu a été inconnu des physiciens, ce qui les a contraint à en faire un axiome de la théorie afin de rester conforme aux résultats expérimentaux.

Pourquoi les uns doivent ''relativiser'' leurs théorie et les autres l'ont axiomatiser (postuler)? (le même problème problème vu de différents angles si je comprend quelque chose ...)

[ThM55]

"Variable cachée non locale" ne signifie-t-il pas "cause agissant instantanément à distance" ?

Oui, bien sûr, c'est clair. La théorie de Bohm non relativiste, pour autant que je sache, postule des particules soumises à un potentiel quantique qui "agit instantanément à distance". Ce potentiel n'est PAS une variable cachée: c'est juste une expression dérivée de la fonction d'onde. Les variables cachées sont les coordonnées de la particule, qui obéissent à une équation différentielle avec le gradient du champ au second membre. Les bohmiens ont tout de même un gros problème avec la relativité. J'ai trouvé que Bricmont passait ce problème sous silence dans ses bouquins sur le sujet. Je trouve l'attitude de Holland plus courageuse. Mais je pense qu'on ne peut pas donner un avis pertinent sur le sujet si on n'a pas lu ces deux auteurs et si on ne connaît pas leurs arguments.

[coussin]

Y a pas grand chose dans la théorie de de Broglie-Bohm... C'est juste une réécriture de l'équation de Schrödinger en ayant écrit la fonction d'onde sous forme polaire.. Au lieu d'une equa diff pour une fonction complexe, on en a 2 couplées pour le module et l'argument. La belle affaire...
Après ça, ce n'est qu'interprétation de chaque termes des équations obtenues...

[azizovsky]

Les spécialistes disent le contraire :

Bernard d’Espagnat. Vous n’avez pas parlé de la généralisation relativiste, c’est-à-dire
de la théorie bohmienne des champs. L’objection courante que l’on trouve dans des articles contre
la théorie de Bohm, c’est qu’elle n’est pas relativiste. Mais en fait, vous m’avez signalé des
articles dans lesquels on traite, mieux que ne l’avait fait Bohm en 1962, le problème des champs
dans sa théorie. Vous m’avez même dit que dans cette théorie-là, on peut considérer soit que le
champ magnétique est réel et, à ce moment-là, le champ électrique ne l’est pas, soit le contraire.
Franck Laloë. Comme l’heure passait, j’ai passé les derniers transparents pour arriver
directement à la conclusion !
Bernard d’Espagnat. Il serait quand même bon d’en dire un mot, ne serait-ce que pour
détromper les gens qui prétendent que la théorie dBB n’est pas susceptible de généralisation
relativiste. Si je vous ai bien compris leur assertion n’est pas exacte.
4. Théorie des champs bohmienne
Franck Laloë. Disons donc quelques mots de la théorie dBB des champs. Je ne
m’avancerai pas sur la théorie des champs en général, car je ne suis pas assez spécialiste. Ce qui
est clair, c’est qu’on peut faire une théorie d’électromagnétisme en théorie de Bohm assez
facilement, à condition d’accepter, comme je l’indiquais plus haut, d’introduire des variables
supplémentaires associées aux champs.
Ce qui n’est pas très satisfaisant, ou du moins ne me satisfait pas beaucoup, c’est qu’à ce
moment-là, on peut choisir ou le champ électrique E ou le champ magnétique B, sans raison bien
convaincante de choisir l’un plutôt que l’autre. On voit bien que la position de la particule est
privilégiée par rapport à l’impulsion, parce que c’est plus lié à l’espace que l’impulsion. En ce
qui concerne E et B, ils jouent un rôle bien plus symétrique, faire un choix est un peu délicat.
Mais on ne peut pas choisir les deux à la fois ; il faut privilégier l’un ou l’autre, ou alors une
combinaison linéaire.
Alain Aspect. Oui, parce qu’on est obligé de prendre l’une des deux variables.
Franck Laloë. Oui, on peut prendre E comme équivalent de R ou B comme équivalent
de R – mais pas les deux. Cela introduit une asymétrie entre les deux composantes du champ
électromagnétique qui n’est pas très satisfaisante.

[andretou]

En particulier pour un électron dans l'état stationnaire fondamental, la théorie démontre qu'il est... immobile!

Dans la théorie dBB, la force d’attraction entre l’électron et le proton est exactement compensée par le potentiel de Bohm.
Les deux particules ne bougent pas, la somme des forces est nulle.

Comment l'électron peut-il être immobile à côté du proton ?
Imaginons en effet un proton isolé ; lorsqu'un électron passe à proximité, celui-ci est attiré par le proton ; l'électron possède donc une certaine vitesse initiale non nulle au moment où se forme l'atome d'hydrogène. Comment alors l'électron devient-il immobile ? Où passe son énergie cinétique ???
Admettons néanmoins que l'électron est immobile ; cela implique alors que toute mesure sur l'électron indiquera une vitesse nulle. D'où théoriquement un écart-type de la quantité de mouvement nul. Mais cela n'est pas conforme aux inégalités de Heisenberg !
La théorie dBB n'est donc pas compatible avec les inégalités de Heisenberg ?

[azizovsky]

Si des physiciens discutent de la théorie de dBB, c'est qu'elle tient la route, et c'est elle qui a mis Bell sur la voie de ses inégalité et ce ce n'est pas l'inverse ...

De même, le principe d'indétermination (ou d'incertitude) de Heisenberg est confirmé, mais pas au sens où on l'entend généralement (on ne peut connaître la vitesse et la position d'une particule parce qu'il n'y a pas en fait de particule et de trajectoire à proprement parler, mais une entité duelle, décrite par des notions antinomiques, la dualité onde-corpuscule) mais au sens où toute « mesure », toute expérimentation, s'inscrit de façon non déterminée dans un univers aux particules dotées de trajectoires déterministes8.

Ainsi, devant le paradoxe des fentes de Young (voir ci-dessous), la particule détient les informations relatives à l'ensemble de l'appareillage ; la particule « sait » quand une des fentes est obstruée. Il ne suffit pas de dire qu'une particule passe par une seule fente (selon le modèle de Bohm, c'est ce qui se passe). L'événement est plus complètement défini par le couple particule-potentiel quantique. Basil Hiley, confrère de Bohm, décrit la particule comme un cœur et le potentiel quantique comme une sorte de « blob » l'entourant qui détient ou se définit par les informations sur l'ensemble de l'appareillage entourant la particule. Les entités étudiées par la théorie de Bohm sont ce couplage entre les particules telles qu'on les (mé)connaît et le potentiel quantique. Une sorte de pulsation9 entre le local et le non-local anime le monde des particules1

wiki

[azizovsky]

Il ne faut pas croire que les physiciens ne sont pas des ''réalistes'', ils font la physique dans des labos non pas dans les espaces de Hilbert.

[andretou]

Je me demande si, en voulant sauver à tout prix le déterminisme, la théorie dBB ne se perd pas dans l'incohérence.
Ces physiciens dont tu parles sont-ils seulement capables de résoudre ces deux paradoxes ? Comment ?

[azizovsky]

Je me demande si, en voulant sauver à tout prix le déterminisme, la théorie dBB ne se perd pas dans l'incohérence.
Ces physiciens dont tu parles sont-ils seulement capables de résoudre ces deux paradoxes ? Comment ?

paradoxe, incohérence, et quoi d'autres ..., préjuger n'est pas scientifique, on peut camper sur sa position comme en politique mais pas au points de considérer les autres comme des débiles...., la théorie dBB est encore vivante , je ne suis ni Bohmien ni 'Xien' si ça ...

[andretou]

Ne vois rien de personnel dans mon dernier message Azizovsky, je pose seulement des questions tout en m'efforçant d'être à la fois critique et constructif.

[andretou]

En particulier pour un électron dans l'état stationnaire fondamental, la théorie démontre qu'il est... immobile!

Si l'électron est immobile, alors il devient possible de connaître simultanément et précisément sa position et sa quantité de mouvement...
La théorie de dBB n'est-elle donc pas compatible avec les relations de Heisenberg ?

[coussin]

Non, il peut être immobile mais délocalisé dans une région étendue de l'espace. On ne connait donc pas sa position... Tout ce qu'on peut dire c'est qu'il est quelque part dans cette région (c'est la fonction d'onde...)

[andretou]

Non, il peut être immobile mais délocalisé dans une région étendue de l'espace. On ne connait donc pas sa position... Tout ce qu'on peut dire c'est qu'il est quelque part dans cette région (c'est la fonction d'onde...)

Sauf que la théorie de dBB postule que l'électron possède à tout instant une position et une trajectoire déterminées...

[coussin]

OK et qu'est-ce que cela vous dit sur la théorie de dBB ?

[andretou]

Simplement que d'après la théorie de dBB l'électron ne peut pas être délocalisé (dans une région étendue de l'espace) puisque selon cette théorie il possède une position déterminée à chaque instant...
Seule une particule de nature purement ondulatoire peut être délocalisée, mais la théorie de dBB rejette une telle hypothèse (la théorie de dBB affirme que la particule est toujours à la fois onde et corpuscule).

[ThM55]

Je veux bien expliquer mais ne comptez pas sur moi pour rédiger un traité qu'on peut trouver par ailleurs sans difficulté. Il y a deux livres écrits par Jean Bricmont mais ils m'ont un peu déçu: ils expliquent trop peu la théorie elle-même, Bricmont consacre une trop grande partie de son texte (à mon gout) à essayer de réfuter les arguments qui avaient été utilisés pour réfuter Bohm et à éviter la difficulté avec Lorentz par des pirouettes. Je préfère le bouquin de Peter Holland, qui ne cache pas les difficultés sous le tapis. mais c'est une affaire de gout.

Dans la théorie de de Broglie-Bohm, on a une fonction d'onde qui obéit à l'équation de Schrödinger, le carré de son module donne la densité de probabilité de présence (ou plus exactement de détection de positions), etc. On a la même théorie exactement que la mécanique quantique non relativiste usuelle, y compris pour les fonctions d'ondes à N particules avec N > 1. On a par exemple les mêmes équations et les mêmes résultats pour l'atome d'hydrogène comme pour les électrons dans les solides avec leurs bandes d'énergie, etc...

Quelle est la différence dans ce cas? De Broglie-Bohm ajoutent un élément d'ontologie qui n'est pas présent en MQ usuelle: la position d'une particule (ou de N particules pour une FO à N particules). Cette position obéit à une équation d'un type totalement nouveau qui n'est PAS la loi du mouvement de Newton. Dans le cas le plus simple, une particule sans spin dans un état à 1 particule, la position obéit à :



C'est une équadiff vectorielle du premier ordre et au second membre on a la partie imaginaire du gradient (un vecteur) de la fonction d'onde divisé par la fonction d'onde.

Déjà il y a un truc bizarre qui saute aux yeux: si cette "particule" dont la position est se trouve en un noeud de la fonction d'onde ( où ), sa vitesse est infinie. On va dire que cela n'arrive jamais. Les noeuds sont inaccessibles à nos "particules", ils les repoussent.

Un autre truc bizarre: si la fonction d'onde est réelle, sa partie imaginaire est nulle et . La particule en question est immobile. Or dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, le quotient sous le signe Im au second membre est nul. En effet le gradient ne change pas la dépendance temporelle qui est complexe et oscillante, donc elle est simplifiée quand on fait le quotient. Et le seul facteur complexe qui reste dépend du nombre magnétique m qui vaut zéro dans l'état fondamental. Même chose pour tous les états de l'oscillateur harmonique! Voilà pourquoi j'ai insisté sur le fait qu'à l'état fondamental l'électron est immobile.

Le principe d'incertitude ne s'applique pas à notre particule en tant qu'élément ontologique qui détermine seulement les mesures de position. La relation d'incertitude concerne seulement les statistiques sur les mesures futures étant donné l'état, c'est-à-dire la fonction d'onde. Ici, bien que la "position" de la particule soit déterminée avec une précision arbitrairement grande, la future mesure de la position a une incertitude finie simplement parce que nous ignorons cette valeur précise.

L'incertitude et l'indéterminisme ne sont pas éliminés mais ils deviennent épistémiques: ils ne dépendent que de notre manque de connaissance du système particulier. C'est une position philosophiquement différente de celle de Bohr & Heisenberg, où cet indéterminisme est irréductible à un manque de connaissance.

Selon de Broglie et Bohm, la position existe mais nous ne la connaissons pas. Pour la connaître il faut capturer l'électron dans un détecteur et en faisant cela on le perturbe de manière telle que l'atome se trouve ionisé par exemple. En fait Bohm a montré que cette équation du mouvement appliquée à un ensemble de systèmes identiques (ensemble au sens de Gibbs: de nombreux exemplaires avec diverses valeurs de X), si ces ensembles sont distribués de telle manière que les diverses valeurs obéissent à la loi de Born (densité de probabilité égale à ) à l'instant t=0, alors elles le restent pour tout t>0 en vertu de l'équation de de Broglie-Bohm. Quand nous préparons un système avec une certaine fonction d'onde, par exemple en émettant un électron et en le focalisant dans un champ, nous n'avons aucun moyen de contrôler avec précision la position de l'élément ontologique postulé dans cette théorie. Nous ne connaissons que ce que la fonction d'onde permet de savoir. Mais selon B-deB, la position existe réellement.

De Broglie a toute sa vie essayé d'aller plus loin dans l'explication que cette approche minimaliste. Il dérivait l'équation du mouvement d'une hypothèse qu'on peut trouver intéressante: l'élément ontologique, la "particule" ajoutée dans la fonction d'onde, contenait selon lui un oscillateur avec une fréquence précise et caractéristique. Dans son mouvement, cette particule faisait en sorte de garder son oscillateur en phase avec sa fonction d'onde. La chose intéressante est que pour retrouver l'équation de Bohm par l'hypothèse de de Broglie, il faut considérer les équations relativistes. De plus il pensait devoir ajouter des degrés de liberté supplémentaire aux particules et même un sorte de thermodynamique interne. Mais tout cela n'est finalement qu'un fatras théorique qui manque totalement de pertinence en physique expérimentale, que ce soit dans la matière condensée ou en physique des particules. Je ne recommande donc PAS les écrits de de Broglie sur le sujet, sauf pour leur aspect historique. En fait cet élément ontologique de position est plus encombrant qu'utile: il peut certes expliquer "pourquoi" on observe une particule à tel ou tel endroit mais on ne l'utilise en réalité JAMAIS dans le moindre calcul puisqu'on ne le connait en fait qu'à la précision donnée par la fonction d'onde. Il est peut-être justifié d'attribuer la qualité ontologique à la position puisque les mesures se font macroscopiquement par des détections localisées, mais rien dans les expériences n'est conditionné par une connaissance précise de cet élément. C'est peut-être là qu'il faut trouver l'explication du désintérêt pour cette théorie, outre la compatibilité avec la relativité: si on écrivait un traité de MQ en partant de de Broglie-Bohm, la position X(t) de notre "particule" n'interviendrait jamais dans aucun des calculs que l'on fait pour confronter la théorie à l'expérience et on serait très vite amenés à l'éliminer de tout le bouquin, sauf peut-être dans un appendice à destination des philosophes qui veulent trouver un sujet de conversation.

Comme je l'ai dit, cette équation du mouvement n'a rien à voir avec celle de Newton, qui est d'ailleurs du second ordre. D'où vient donc celle-ci à la limite classique? Eh bien comme en mécanique quantique: via les positions moyennes et le théorème d'Ehrenfest.

Il faut savoir que de Broglie avait exposé ses idées à Einstein dès les années 20. Einstein les avait trouvées intéressantes mais elles ont été unanimement rejetée par tous les autres lors d'un congrès Solvay. De Broglie les a donc abandonnées et a attendu sa mise à la retraite de l'enseignement pour recommencer à les développer. Quand Bohm a expliqué ses idées à Einstein à Princeton environ 25 ans plus tard, Einstein s'est souvenu de de Broglie mais a expliqué à Bohm qu'il trouvait cette théorie "too cheap" (trop bon marché). Je pense qu'il était conscient des limitations, notamment de l'absence de compatibilité avec la relativité. J'ai lu qu'à la fin de sa vie, après avoir pris connaissance des résultats des expériences d'Aspect, Bohm était déprimé.

[ThM55]

Petite faute de frappe: le quotient sous le signe Im est réel (pas nul).

[andretou]

Voilà pourquoi j'ai insisté sur le fait qu'à l'état fondamental l'électron est immobile.
Le principe d'incertitude ne s'applique pas à notre particule en tant qu'élément ontologique qui détermine seulement les mesures de position. La relation d'incertitude concerne seulement les statistiques sur les mesures futures étant donné l'état, c'est-à-dire la fonction d'onde. Ici, bien que la "position" de la particule soit déterminée avec une précision arbitrairement grande, la future mesure de la position a une incertitude finie simplement parce que nous ignorons cette valeur précise.

Je te remercie pour ces explications très complètes. Cependant, je n'arrive pas à comprendre la chose suivante : si l'électron est immobile, comment expliquer que sa position puisse varier ?