Bonjour,
J'ai une question qui me perturbe depuis quelque peu : Dans l'action de courbure d'einstein:, R étant la courbure scalaire, le (dx)^4 c'est quoi sa dimension ? est ce que c'est plutôt L^4 (et dans ce cas la dimension temps a été considéré comme cdt avec c vitesse de lumière) ou L^3.T ?
Merci à vous.
Salut,
Oui c'est ça.Envoyé par hindz
Mail manque un racine(-g) pour que ce soit correct.
Comme cdt. On ramène les deux (espace et temps) aux mêmes unités.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
La dimension est quelconque, cela n'a pas d'importance. Tout ce qu'on demande est un choix cohérent, du point de vue mathématique cela suffit pour garantir un résultat qui a un sens.
Il y a une sorte d'attrait vers les systèmes homogènes, mais même cela n'est pas une contrainte nécessaire. On peut même dire que c'est une vue de matheux.
Perso, je préfère les dimensions physiques, et (dx^4) a pour dimension TL^3, sans que cela impose quoi que ce soit sur les dimensions des coordonnées. Autrement dit, je trouve absurde d'y voir L^4 : l'espace-temps n'est pas comparable à R^4, n'est pas euclidien.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
La question aurait pû porter sur la dimension de la courbure scalaire !
Pour le matheux c'est une notion géométrique. Comme c'est homologue à la courbure de Gauss en dimension 2, l'unité "matheux" est l'inverse du carré d'un rayon. Physiquement on va se retrouver avec 1/sqrt(L^3T), peut-être bizarre, mais cela a un sens.
Pour le physicien, le résultat de l'action de Hilbert doit être ML2T-1. En fait l'intégrale "sèche" indiquée exige une constante multiplicative pour faire entrer la dimension de masse. Il y aura 1/G dedans (et je m'y perd à trouver rapidement le reste !)
Mais tout cela n'est qu'un jeu d'écriture, le fond est déjà indiqué : on s'en fiche, n'importe quel choix cohérent est acceptable. (Si on parle de Théorie Générale de la Relativité, et en particulier de covariance générale , les formules doivent être indépendantes de tout choix arbitraire, et cela inclut les unités et même les dimensions !)
Dernière modification par Amanuensis ; 13/04/2021 à 12h34.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Dernière remarque, sur un point que je "surveille" avec intérêt, le message #1 ne propose pas T^4 !!! Pourtant, cela pourrait même faire plus sens que L^4.
(En clair la "spatialisation" de l'espace-temps a encore de beaux jours devant elle...)
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci beaucoup pour vos réponses qui me sont très utiles. En effet je n'avais pas mis de racine(-g) ni de constante d'Einstein. Je voulais juste savoir par rapport à (dx)^4 et je vous en remercie pour vos réponse.
En fait pourquoi je me suis posée cette question, c'est par rapport à si j'avais une intégrale en dimension 3 sur un volume V de F.n avec F un certain vecteur et n vecteur unitaire sortant du volume V, et je voudrai appliquer la théorème de divergence à la dimension 4, donc on aura une intégrale de dimension 4 sur div(F): ça existe déjà ce genre de chose ? ou que pensez vous? comment sera la 4eme dimension dans le théorème de divergence ? plutôt temps dt ou espace cdt ?
Encore merci à vous.
Oui, ça existe. C'est même très intéressant.
Même si ce n'est pas obligatoire, il est plus simple de penser avec une dimension de temps et trois d'espace.
Prenons la Formule d'Ostrogradski en 4D
Si on prend un "petit" quadrivolume, un tesseract, il a huit "faces" opposées deux-à-deux. Une paire est "spatiale" (trois dimensions d'espace, un volume), les trois autres "spatio-temporelles" (une dimension de temps, deux d'espaces).
Maintenant prenons une quantité de quelque chose (des électrons, de l'entropie, ...). Le bilan de ce qui passe via les faces spatiales est la variation de ce qui reste sur place, c'est donc la variation de la quantité volumique. Ce qui passe par les faces spatio-temporelles sont des courants, quantité de machin par unité de temps et unité de surface.
La divergence est la somme des bilans, et dit que la somme des courants + la variation de densité = la création ou destruction de machin.
Pour les électrons, quantité conservée, c'est nul. Pour l'entropie, c'est positif ou nul.
Dernière modification par Amanuensis ; 13/04/2021 à 15h03.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Tout cela se base sur la métrique.
La règle est qu'un quadrivecteur de genre temps (comme une vitesse) traverse "perpendiculairement" des volumes spatiaux, et qu'un quadrivecteur de genre espace traverse perpendiculairement des "surface-temps". C'est général, cela ne dépend pas du système de coordonnées, juste du genre des quadrivecteurs.
Le cas du genre lumière est subtil, que "traverse" la lumière? Autrement dit, peut-on parler de "perpendiculaire" à la lumière ? Oui et non. Le problème est que le quadrivecteur est orthogonal à lui-même ! Bref, on ne plus penser en termes "classiques"...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Euh... Non, par contre la charge leptonique, est conservée !
Ou plus simplement la charge électrique.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Ah c'est super merci !
Vous n'auriez pas par hasard une bibliographie sur l'utilisation de théorème d'Ostrogradski pour ce cas de 4D-3D ?
Merci beaucoup
Bonjour,
une simple remarque: une reformulation possible de la question initiale sans référence aux notions d'unités et de dimension est de demander comment l'action d'Einstein-Hilbert S(g), qui est une fonction de la métrique g, se comporte quand on multiplie g par un nombre réel positif t (tg est encore une métrique). On a
?? Dans le cas n=4, on en arrive juste à la conclusion, physiquement sans problème, que t est sans dimension, non?
Pour n autre, c'est un peu pareil, mais moins "flagrant" !
Dernière modification par Amanuensis ; 15/04/2021 à 06h46.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
