Relativité de la simultanéité & déterminisme

[sunyata]

Bonjour,

Que devient la question du déterminisme en lien avec la relativité de la simultanéité ?
Le déterminisme de Laplace affirme que "connaissant l'état du monde à un instant donné", on peut prédire
le futur, et inférer le passé dans leur intégralité.
Hors la théorie de la relativité introduit la notion de relativité de la simultanéité. La notion de présent dans sa dimension universelle disparaît par l'introduction de degrés de liberté supplémentaires autour de la notion du présent qui n'existaient pas auparavant. (C'est pourquoi on parle de relation d'ordre partielle ).
La "connaissance de l'état du monde à un instant donné" perd donc sa signification, son contenu univoque. Car un instant donné pour Bob, n'a pas nécessairement le même contenu factuel pour Alice.
Si Bob peut voyager à des vitesses relativiste​s il peut même accéder théoriquement à n'importe quel moment de la vie d'Alice, en une durée pour lui très courte, où même rendre visite aux descendants d'Alice alors qu'Alice est morte depuis longtemps.
On voit qu'il n'y pas plus de contrainte causale qui oblige Alice et Bob à avoir des présents synchronisés ayant le même contenu.
La relativité me semble donc introduire de l'indéterminisme par le biais de la relativité de la simultanéité.
Certains au contraire réintroduisent la notion de déterminisme universel en affirmant qu'il concerne l'espace-temps de l'univers-bloc,
Plutôt que d'y voir la marque d'un déterminisme universel, ne faut-il pas plutôt y voir l'impossibilité de représenter à une échelle universelle un présent qui n'a de validité que localement, un présent dont la nature est d'être distribuée, et dont l'identité est locale.
Et donc il me semble bien que si le présent n'a plus de validité universelle, le déterminisme universel perd également sa validité conceptuelle que le concept d'univers bloc ne résout pas vraiment. L'univers-bloc étant un mode de représentation compatible avec une multitude de présents possibles.
Cordialement
-----

[Deedee81]

Bonjour,

Tu confonds indéterminisme et connaissance incomplète d'un observateur.

Le reste est beaucoup trop philosophique.

[Deedee81]

Bonjour,

Le premier message n'a rien à voir avec l'astrophysique, je déplace en physique.

Il y a trop de philosophie dans le message (la notion d'univers-bloc par exemple est purement philosophique). Et je rappelle qu'on ne discute pas philosophie sur Futura.

Donc il faudrait recentrer la question sur l'aspect physique uniquement et avec précision et clarté. Sinon : click.

Merci,

[sunyata]

Bonjour,

Tu confonds indéterminisme et connaissance incomplète d'un observateur.

Le reste est beaucoup trop philosophique.

En relativité il ne peut plus y avoir un seul observateur qui embrasserait la réalité de l'enchainement des faits à un instant donné, puisque la notion d'instant donné n'a plus de signification univoque. Cela ne rend t-il pas le démon de Laplace impuissant ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

En relativité il ne peut plus y avoir un seul observateur qui embrasserait la réalité de l'enchainement des faits à un instant donné, puisque la notion d'instant donné n'a plus de signification univoque. Cela ne rend t-il pas le démon de Laplace impuissant ?

Peut-être bien, mais Laplace est mort depuis longtemps alors quel intérêt ? J'ai demandé de préciser en termes physiques clairs et précis et tu me sors ça. On est à un cheveux de la fermeture.

[sunyata]

Ok, bien noté,
Je vais réfléchir à une reformulation, moins philosophique.

[jacknicklaus]

Que devient la question du déterminisme en lien avec la relativité de la simultanéité ?

Bonjour,

je ne vois pas la moindre difficulté à concilier les deux. La RR est une théorie déterministe, au sens où tous les observateurs peuvent se mettre d'accord sur ce que chacun d'entre eux voit en son temps propre. La perte de sens de la simultanéité de deux évènements chacun dans des référentiels distincts, ne rend "indéterminée" le résultat d'aucune expérience menée dans chacun des laboratoires de chacun des observateurs. En RR, Dieu ne joue pas aux dés (copyright Albert). Il a juste une bonne calculatrice.

[Merlin95]

Une forme d'indéterminisme dit consubstantiel aux lois de la nature suivant la théorie de la relativité, existe néanmoins. Impossible de savoir ce qui se passe dans certaines régions de l'espace-temps où se produit un événement "acausal" par rapport à un autre référentiel. Je le dis avec mes mots mais il y a surement un langage physique pour exprimer cela.

[jacknicklaus]

@Merlin95

En effet, mais ce n'est pas de l'indéterminisme eu égard à la fameuse formulation de Laplace.

"connaissant l'état du monde à un instant donné" signifie que l'on s'intéresse aux objets dans le cône de lumière passé. Et en RR, si on est dans ce cône, on y reste, et on peut donc prévoir ce qui va se passer. théoriquement.

Naturellement, si on parle RG et expansion, ce n'est plus la même chose, mais ce n'était pas la question posée.

[Merlin95]

"connaissant l'état du monde à un instant donné" signifie que l'on s'intéresse aux objets dans le cône de lumière passé

Ha bon ? Le monde dans cette phrase se réfère au cône de lumière passé ?

Après je prends indéterminisme non pas ce qui est théorisé mais les conséquences dune théorie qui ne le formalise pas spécialement comme dans la physique quantique.

[invite7f291776]

Bonjour,

La Relativité est une théorie physique parmi d’autres. Elle peut être qualifiée de déterministe ou d'indéterministe ou de probabiliste mais il n’y a pas lieu de juger soi-même la Nature sauf à postuler soi-même et dire ceci cela comme quoi la Nature serait elle-même déterministe ou indéterministe ou probabiliste donc :

1) Une théorie physique est déterministe ou indéterministe ou probabiliste.

2) Pour juger la Nature et dire ceci cela comme quoi la Nature serait elle-même, déterministe ou indéterministe ou probabiliste il faut, POSTULER cela et par définition un postulat n’est ni vrai ni faux du moment qu’aucune expérience possible, n’a montré qu’il est faux.

[Deedee81]

Salut,

En plus les nombreuses et très longues discussions sur la mécanique quantique et le déterminisme ont montré qu'on peut considérer la théorie (et la nature si elle la décrit correctement) comme étant déterministe ou non selon le point de vue.

Ca rend la question fondamentalement de peu d'intérêt (en tout cas sur un forum scientifique).

[invite7f291776]

Les postulats https://www.cnrtl.fr/definition/postulat sont les fondements de toutes les croyances, qu’elles soient scientifiques ou autres.

Le propre de l’intelligence humaine est de juger (adéquatement ?) toute chose et donc ils sont commodes et nécessaires pour espérer pouvoir juger adéquatement la Nature mais ce qu’il faudrait espérer pouvoir juger véritablement (adéquatement) ce n’est pas la Nature en tant que telle mais, les théories (physiques ou autres, dont les psychanalytiques ou religieuses ) sur la Nature.

Le postulat de tous les postulats étant de dire que l’intelligence humaine lit ou décrypte adéquatement la Nature et en effet il faut postuler cela car à bien y réfléchir ... ça ne va pas du tout de soi

[Mailou75]

Salut,

La relativité me semble donc introduire de l'indéterminisme par le biais de la relativité de la simultanéité.

Non pas du tout. C'est parce que tu penses en termes de "présent" et "d'espace". Certes chaque observateur aura à la fois un espace différent et un ensemble d'évènements qu'il contient "au présent" qui seront différents d'un autre observateur. Mais il faut penser en termes de "succession d'évènements". Imagine un rayon lumineux qui passe par une série d'évènements, il y a une notion d'ordre chronologique, de causalité. Et bien quel que soit de référentiel dans lequel on représentera ce rayon + les évènements qu'il croise, l'ordre de causalité restera identique, c'est ça le déterminisme. Qu'un évènement change à la fois de date et de lieu (comprendre coordonnées temporelle et spatiale) en fonction des observateurs ne modifiera pas la causalité (ordre) entre les évènements.

[Deedee81]

Les postulats ...

Excuse-moi, mais ton message précédent était pertinent mais là cette fois tu es hors sujet.

Non pas du tout. [...]

Ton explication me fait dire que : depuis l'évolution des théories modernes (que ne pouvais évidemment connaitre Laplace) on a appris à adapter la définition de certains concepts au cadre théorique. On parle ainsi de causalité (et de déterminisme) classique, de causalité relativiste, de causalité quantique (*).... mais bien entendu les adaptations propre au cadre ne rendent pas la relativité indéterministe. Comme tu les dis, la causalité reltiviste a un sens précis et donc le déterminisme qui va avec.

(*) Dans le livre "l'étrange histoires des quanta" il y a un chapitre dont j'ai toujours trouvé le titre savoureux : "la troisième mort de Miss Causality"

[sunyata]

Merci pour vos remarques,

Mon idée de départ consistait à considérer la formulation de Laplace du déterminisme à la lumière des découvertes d'Einstein.
Je n'aurais pas dire en effet que la relativité introduit de l'indéterminisme, mais plutôt des obstacles insurmontables au projet de Laplace dans le termes où il l'a rédigé à son époque.

Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, à un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, la position respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers, et ceux du plus léger atome. Rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé seraient présents à ses yeux. Pierre-Simon de Laplace.

Pour Laplace ce qui rend son projet concevable est que :

- L'univers peut-être associé à une horloge universelle identique en tout point et indépendante du contenu de l'espace.
- L'écoulement du temps est le même partout,
- Les évènements qui se produisent à un instant donné sont définis de manière univoque pour tout observateur.

Les théories de la relativité ont fait volé en éclats l'ensemble de ces présupposés.

A l'époque de Laplace, la connaissance de l'univers à un instant donné était concevable, alors que la finitude de la vitesse de la lumière
fait qu'on ne peut percevoir les évènements présents. Plus on regarde loin, plus on regarde dans le passé.

Les évènements présents de la constellation d'Orion ne nous sont pas accessibles, et donc la finitude de la vitesse de la lumière induit une opacité intrinsèque à la perception de l'état présent de l'univers.

Cela ne règle pas la question du déterminisme, mais introduit une opacité du présent due à la vitesse C.

Merlin95 : Une forme d'indéterminisme dit consubstantiel aux lois de la nature suivant la théorie de la relativité, existe néanmoins. Impossible de savoir ce qui se passe dans certaines régions de l'espace-temps [...].

Oui c'est un peu à cela que je pensais. Une difficulté supplémentaire qu'introduit la relativité à la perception du présent, fait qu'on peut percevoir des évènements liés causalement et ordonnés de manière univoque, mais percevoir aussi des évènements non liés causalement dont l'ordre dépend du référentiel de l'observateur.

Cordialement

[Deedee81]

Salut,

Pour Laplace ce qui rend son projet concevable est que :

C'était adapté à la physique classique mais ces règles ne sont pas si restrictives. Yapuka écrire une nouvelle thèse

[ThM55]

En relativité restreinte comme en relativité générale on peut définir, comme disait Laplace, "l'état du monde à un instant donné" comme suit: on choisit arbitrairement une hypersurface de dimension 3 qui est partout de genre espace (ses vecteurs tangents dans l'espace-temps sont tous de genre espace) et donner les valeurs des différents champs et éventuellement de leurs dérivées sur cette surface. On appelle cela les données de Cauchy. On peut alors en principe déterminer la valeur des champs dans tout l'espace-temps en intégrant les équations déterministes des champs. La relativité de la simultanéité se reflète ici dans le choix arbitraire, si ce n'est son caractère de genre espace, de l'hypersurface. Mais le déterminisme reste le même au sens de Laplace, au moins localement, donc on peut dire que la relativité de la simultanéité n'a pas de conséquence directe sur le déterminisme de la théorie classique.

La preuve mathématique de l'existence et de l'unicité de la solution dans le cas de la relativité générale est totalement non triviale, a demandé des dizaines d'années de recherche et doit beaucoup à une mathématicienne et physicienne française qui s'appelle Yvonne Choquet-Bruhat (née en 1923). Le centre de la difficulté est la question de la validité globale de la solution. Démontrer l'existence et l'unicité seulement localement, c'est-à-dire en partant d'un domaine borné et en restant dans un domaine borné de l'espace-temps, est déjà difficile mais faisable avec les méthodes usuelles des équations aux dérivées partielles. Mais en relativité générale on veut que la solution soit étendue de manière unique à tout l'espace-temps et moyennant certaines hypothèse Yvonne Choquet-Bruhat a obtenu ce résultat remarquable dans les années 60. La présence de singularités, prédites comme inévitables par Penrose et Hawking, pose toutefois des limites à ce déterminisme classique absolu, mais cela n'est pas dû à la question de la simultanéité.

[Deedee81]

SAlut,

Si je ne me trompe on dit que ce sont (en relativité générale) des équations hyperboliques : assez gentilles (ce qui permet les conditions de Cauchy etc.) par opposition aux équations paraboliques parfois assez pénibles.

[ThM55]

Oui, mais le vrai problème c'est de passer au global. Ce que madame Choquet-Bruhat a démontré c'est que la donnée d'une hypersurface initiale avec des données respectant les contraintes dans le vide donne toujours lieu à un espace-temps globalement hyperbolique unique dans lequel la variété initiale est plongée comme une surface de Cauchy.

La notion d'hyperbolicité globale possède une définition précise en terme de topologie des chemins causaux.

Ces théorèmes concernent la théorie "vide" (). Mais Y.Choquet-Bruhat les a étendus à des cas avec matière dans certains cas particuliers (cosmologie, fluides, champs de Yang-Mills,...).

Voir son livre: "General Relativity and the Einstein Equations": https://books.google.be/books?id=QkU...bruhat&f=false .

Reste la question quantique. En électrodynamique quantique (relativité restreinte), l'approche de Tomonaga passait aussi par le choix arbitraire d'une hypersurface.

[Deedee81]

Oui, mais le vrai problème c'est de passer au global

Je suis d'accord. J'ai lu il y a quelques temps des travaux formidables sur l'analyse micro-locale où le caractère hyperbolique est majeur. Mais entre le local et le global le fossé est absolument énorme.
J'ai jeté un coup d'oeil au bouquin que tu as indiqué, dans la partie concernée (enfin, une petite partie, le début du chapitre, google ne montre pas tout évidemment)
Wow, c'est costaud !

Et oui, la question quantique est évidemment plus épineuse, et pas que pour des raisons techniques en plus., Quand je parlais d'une thèse le mot n'était pas vain.

[ThM55]

Ce livre est à mon avis la meilleure et la plus complète des références concernant le problème de Cauchy en RG et son exposé sur les contraintes des conditions initiales est excellent. De plus je trouve qu'il n'est pas si difficile à lire.

[Mailou75]

Salut,

- L'univers peut-être associé à une horloge universelle identique en tout point et indépendante du contenu de l'espace.
- L'écoulement du temps est le même partout,
- Les évènements qui se produisent à un instant donné sont définis de manière univoque pour tout observateur.

[...] alors que la finitude de la vitesse de la lumière fait qu'on ne peut percevoir les évènements présents. Plus on regarde loin, plus on regarde dans le passé.
[...] la finitude de la vitesse de la lumière induit une opacité intrinsèque à la perception de l'état présent de l'univers.

Tout ceci est juste mais ça n'a rien a voir avec la relativité (et donc ta question initiale)

..........

@Deedee81 et ThM55

Si j'avais le droit d'écrire en vert je le ferais : merci d'adapter le niveau de votre réponse à la question posée !

[Deedee81]

Salut,

Ce livre est à mon avis la meilleure et la plus complète des références concernant le problème de Cauchy en RG et son exposé sur les contraintes des conditions initiales est excellent. De plus je trouve qu'il n'est pas si difficile à lire.

Je lis pas mal d'articles mais je dois dire qu'un bouquin, y a longtemps que j'en ai lu (enfin, à part un actuellement en "relecture" avant édition). Et là franchement tu me donnes envie. J'ai noté la ref.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
sur la relativité de la simultanéité il faut distinguer réception et émission.
la relativité de la simultanéité qu'on calcule à l'émission (diagramme de Minkowski) transposé à la réception, c'est-à-dire :
deux éclats lumineux émis et perçus simultanément par deux observateurs côte-à-côte mais avec une vitesse relative seront perçus par l'un comme ayant été émis à équidistance de l'un mais à des distances différentes de l'autre.
Aussi l'un en déduira qu'ils ont été émis simultanément à un moment de son passé et l'autre à deux moments différents de son passé; d'où la relativité de la simultanéité.
L'intérêt ici est de remarquer que les deux sont obligés de donner une interprétation temporelle de ce qu'ils observent réellement, et que la relativité de la simultanéité repose sur cette interprétation.
pour ce qui est du déterminisme, si on imagine une fusée qui accélère linéairement par rapport à une station spatiale, la fusée pourra influencer le futur de la station, mais la station ne pourra pas influencer le futur de la fusée au delà d'une certaine date qui dépend de l'accélération de la fusée.
c'est un élément de réflexion à prendre en compte.

Parler d'opacité du présent n'a peut-être aucun sens parce qu'il faut préalablement admettre l'existence d'un tel présent.

[Amanuensis]

En relativité restreinte comme en relativité générale on peut définir, comme disait Laplace, "l'état du monde à un instant donné" comme suit: on choisit arbitrairement une hypersurface de dimension 3 qui est partout de genre espace (ses vecteurs tangents dans l'espace-temps sont tous de genre espace) et donner les valeurs des différents champs et éventuellement de leurs dérivées sur cette surface. On appelle cela les données de Cauchy. On peut alors en principe déterminer la valeur des champs dans tout l'espace-temps en intégrant les équations déterministes des champs. La relativité de la simultanéité se reflète ici dans le choix arbitraire, si ce n'est son caractère de genre espace, de l'hypersurface.

C'est une manière de "récupérer" un concept au fond bancal. Car cela ne définit pas une classe d'équivalence qu'on appellerait "simultanéité", qui couvrirait l'espace-temps, qui permettrait de parler à tout moment d'un "présent", d'un maintenant" ; c'est juste une unique hypersurface, définie pour un seul moment.

Si on remplace "relativité de la simultanéité" par ce que c'est vraiment, c'est à dire la relativité de l'espace, on voit immédiatement que ne prendre qu'une hypersurface échoue à définir ce que certains aimeraient retrouver, c'est à dire une notion de lieu indépendante du "temps", avec à chaque "instant" l'ensemble des événements "simultanés", un par lieu. (Et que cet espace soit "spécifique à l'observateur", comme on peut le construire en classique ou en RR.)

[Comme je l'ai déjà souvent indiqué, je déteste cette notion de "relativité de la simultanéité", une idée "inventée" pour la RR mais qui se désagrège en RG et devient alors un boulet, un machin à désapprendre d'urgence. Ce n'est pas cette "définition" par une hypersurface arbitraire qui va ne serait-ce affecter en quoi que ce soit cette prise de position.]

[ThM55]

Je suis bien d'accord avec toi Amanuensis. La notion même de simultanéité n'est d'aucune utilité en relativité générale, ce qui compte c'est les relations causales entre événements. Cette hypersurface sur laquelle on se donne des données de Cauchy n'est d'ailleurs qu'un auxiliaire mathématique pour permettre de calculer des trucs observables.

Pour revenir au déterminisme laplacien, il faut se rendre compte que c'est un concept assez formel. On sait qu'en physique classique déterminisme ne signifie pas prédictibilité, pour les raisons bien connues que je n'ai pas besoin de répéter (le chaos etc). Mais il y a aussi des raisons purement logiques qui créent des obstacles à la prédictibilité. Par exemple on peut considérer la réalisation physique d'une machine de Turing. Elle est parfaitement déterministe, son état initial est parfaitement connu: c'est la position de la tête de lecture-écriture, son état interne et le programme enregistré. C'est un système physique, on peut calculer son état futur en le simulant, tout cela est déterministe au sens de Laplace et il n'y a pas de place pour du chaos ou de la non-prédictibilité. Mais si on pose une question simple: "cette machine dans cet état initial va-t-elle s'arrêter après un nombre fini d'étapes?", on n'a aucun moyen d'y répondre en général. On peut y répondre pour certains états initiaux particuliers, mais en général c'est impossible car il n'existe pas de programme qui détermine à tous les coups si une machine de Turing va s'arrêter quel que soit son programme. Je trouve que cela remet en cause certains présupposés relatifs au déterminisme et à la prédictibilité, à savoir le fait qu'on pourrait tout calculer. Ce système est bien prédictible mais cela ne donne aucun accès à une question de nature synthétique sur son comportement futur de manière générale.

Je me suis souvent posé la question de savoir si ce système est physiquement différent de ce qu'on considère d'habitude en physique classique (en tant que théorie effective approximative d'une théorie quantique). Et il me semble qu'il n'y a pas vraiment de différence. Le problème de l'arrêt existe parce que le nombre de programmes possibles est non dénombrable si la bande contenant le programme est infinie. Un système physique borné dans l'espace possède sans doute un nombre de degrés de liberté fini dans la théorie quantique sous-jacente. Mais en cosmologie on considère un univers qui n'est pas nécessairement borné. Dans ce contexte il n'y a rien qui le distingue du cas de la machine de Turing. En fait la surface de Cauchy est infinie et on n'est pas en droit de limiter ses degrés de liberté. Cela pose à mon avis une question sur la prédictibilité de la cosmologie.

Mais j'arrête là, juste avant d'entrer dans des théories personnelles.

[Amanuensis]

En fait la surface de Cauchy est infinie et on n'est pas en droit de limiter ses degrés de liberté.

Certes, mais pour un événement futur donné, seule une partie finie de la surface de Cauchy l'affecte causalement.

[ Ce qui est un énorme "progrès" par rapport à la mécanique de Newton, dont le déterminisme est immédiatement "détruit" par l'infinité de la surface de Cauchy, qui affecte dans son intégralité tous les événements futurs (à cause de la possibilité d'une vitesse aussi proche de l'infini qu'on voudra dans le modèle). ]

Un point intéressant est le volume de l'hypersurface affectant un événement de plus en plus futur... Est-il majoré ?

[chaverondier]

@Deedee81 et ThM55, Si j'avais le droit d'écrire en vert je le ferais : merci d'adapter le niveau de votre réponse à la question posée !

Si j'avais le droit d'écrire en vert, je le ferais : merci de laisser Dedee81 et ThM55 apporter des réponses allant nettement plus loin que le niveau requis pour répondre à question posée car d'autres lecteurs du fil peuvent être intéressés par ces compléments d'information.

[ThM55]

Certes, mais pour un événement futur donné, seule une partie finie de la surface de Cauchy l'affecte causalement.

[ Ce qui est un énorme "progrès" par rapport à la mécanique de Newton, dont le déterminisme est immédiatement "détruit" par l'infinité de la surface de Cauchy, qui affecte dans son intégralité tous les événements futurs (à cause de la possibilité d'une vitesse aussi proche de l'infini qu'on voudra dans le modèle). ]

Un point intéressant est le volume de l'hypersurface affectant un événement de plus en plus futur... Est-il majoré ?

C'est vrai, cela correspond au caractère hyperbolique des équations d'onde, de Maxwell etc. Et d'ailleurs cela indique qu'il est nécessaire d'examiner mathématiquement les propriétés mathématiques des équations avant d'en tirer des conclusions sur le déterminisme. Et c'est d'ailleurs vrai aussi en mécanique quantique!

Il faudrait le vérifier dans ses textes, mais je suppose que Laplace pensait que toute équation différentielle donne toujours lieu à une solution unique. Ses écrits mathématiques sont bien dans le style de l'époque où on manipulait sans peur des infinitésimaux qu'on multipliait et divisait avec virtuosité, comme Euler l'avait fait avant lui, et on faisait confiance aux résultats sans faire trop attention aux hypothèses. Or, comme on le sait maintenant l'unicité n'est pas vraie en général: on trouve très facilement des cas d'équations différentielles et encore plus d'équations aux dérivées partielles qui n'ont pas cette propriété. Je donne seulement l'exemple classique de mon premier cours sur le sujet, que je n'ai pas oublié: avec comme condition initiale . Elle admet deux solutions: et (pour t>=0). Bien entendu la fonction f avec sa racine carrée a une tangente verticale sur son graphe en zéro et ne vérifie pas la condition de Lipschitz au voisinage de la condition initiale, ce qui reflète peut-être un caractère non physique. De fait on ne retrouve pas ce genre d'anomalie dans les équations de la dynamique si on ne va pas chercher des cas trop singuliers. La situation est toutefois bien moins claire pour les équations aux dérivées partielles.