Distinguer trajectoires et lignes de courant

[Antharess]

Bonjour,
Je suis à ma 2e année de mécanique des fluides, et le prof nous a dit bien de faire la distinction entre trajectoires et lignes de courant.
Si un fluide est stationnaire, elles sont confondues.
Cependant, si le fluide est instationnaire elles le ne sont plus.
J'ai essayé de me l'expliquer à moi-même en prenant un exemple :
Si je cours à 50 km/h tout droit, que je cours d'un coup vers la droite (à 90°) à 25 km/h, avec mon inertie des 50km/h j'irais à 45°.
Mais déjà est-ce que c'est vrai, et ensuite est-ce que cela fonctionne pour une particule ?

J'ai regardé sur internet mais aucune explication ne m'a satisfaite, par incompréhension.
Ce site avait l'air de bien expliquer mais je ne comprends pas la figure... http://epiphys.emn.fr/spip.php?article169
Si quelqu'un peut me l'expliquer...

Merci d'avance
-----

[gts2]

Bonjour,

Votre exemple ne peut convenir : c'est de la mécanique du point : où sont les lignes de courant à distinguer de la trajectoire.

Deux illustrations :

wikipedia
demonstrations.wolfram

[jacknicklaus]

Bonjour,

le point clé c'est que les lignes de courant sont relatives à un même instant fixé pour toute la ligne. On fige le temps ,on prends une photo ou un scan du fluide, et on construit les lignes de courant en "mettant bout à bout" les vecteurs vitesse à un instant t.
Une trajectoire, c'est pour une particule choisie, les lignes construites en "mettant bout à bout" les vecteurs vitesses de la particule aux positions des instants successifs.

[velosiraptor]

Salut.
En description eulérienne, les caractéristiques (pression, vitesse vE ...) sont associées à chaque point de l'écoulement, ainsi, une cellule de fluide qui passe par ce point aura cette vitesse (vE). A un instant donné on a la cartographie des vitesses du lieu de l'écoulement. En régime permanent cette cartographie reste inchangée au cours du temps, mais bien sûr, ce n'est plus le cas en régime est variable.
En description lagrangienne, les caractéristiques (vitesse vL, pression ...) sont associées à la cellule de fluide dont on suit la trajectoire. On a la position de la cellule pour tous les instants. En régime permanent, cette trajectoire reste inchangée au cours du temps (et suivra une LC) mais en régime variable cette trajectoire évolue.

On peut imaginer qu'au cours d'un régime variable, une particule de fluide ait une vitesse vL à un instant "t" qui devrait l'amener en un point de l'écoulement où la vitesse serait vE, mais que si vL varie à "t+dt" celle-ci n'arrive plus en ce point mais à un autre où la vitesse vE' est différente, alors la trajectoire ne se confond plus avec la LC.

Je ne sais pas si je suis clair ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antharess]

Bonjour velosiraptor,
je ne comprends pas très bien. En quoi le fait que la vitesse change fait que la particule ne passera plus par ce point ? Si la direction est la même, elle passera par ce point mais juste avec une vitesse différente non ?

[gts2]

Une illustration statique avec des lignes de courant rectilignes parallèles mais qui tournent.

A t0, la particule a une vitesse parallèle aux lignes de courant rouge. Lorsque le temps s'écoule, les lignes de courant tournent et on se retrouve à t1 avec une trajectoire parallèle aux lignes bleues. Idem pour t2 ligne verte.

trajectoire.png

[Antharess]

Bonsoir,
je vois bien l'exemple que vous venez de me donner.
Cependant ce la ne répond toujours pas à ma question.
Ici, si on prend une "infinité" de lignes de courant, elles suivraient en quelque sorte la trajectoire. En quoi le fait de changer la vitesse fait que trajectoire et lignes de courant ne sont pas confondues ? (en prenant toujours beaucoup de points/lignes de courant)

[obi76]

Bonjour,

si vous prenez un écoulement instationnaire (comme par exemple une allée de von-Karman après le pilier d'un pont), on voit de manière évidente qu'une ligne de courant de cet écoulement à un instant t ne correspondra pas à la trajectoire d'un objet qui flotte sur l'eau (par exemple).

[gts2]

Bonjour,

En gardant les lignes de courant rectilignes instationnaires, il y a déjà une différence évidente : la trajectoire n'est pas rectiligne puisque la direction de la vitesse varie.

[Antharess]

Bonsoir, je pensais que seule la valeur de la vitesse variait..? Un écoulement stationnaire est un écoulement qui ne dépend pas du temps, c'est à dire que si l'on regarde au même point, la vitesse sera toujours la même. J'avais compris d'un écoulement instationnaire que la vitesse variait, donc en ce même point à un instant t1 on a une vitesse v1 et en un instant t2 on a une vitesse t2... Du coup si la direction de la vitesse varie, la direction de la ligne de courant ne devrait pas varier elle aussi, vu que par définition la ligne de courant est tangente à la vitesse ?

[Antharess]

Bonsoir,
sur cette vidéo, il y a ce qu'on appelle "Allée de tourbillons de Karman" (Je viens d'apprendre ce que c'était grâce à votre message..)
https://youtu.be/LfDyIB6J8kM
J'ai du mal à voir comment la particule se déplacerait.. Ne suivrait-elle pas les tourbillons, et par conséquent, les lignes de courant ?

[Antharess]

Re-bonsoir,
J'ai peut-être compris.
Sur cette animation https://upload.wikimedia.org/wikiped...-animation.gif , prenons une particule violette. Elle fait grossièrement une ligne droite. Cependant, vu qu'elle tourbillonne sur elle-même, le champ des vecteurs vitesse change à chaque instant et suit une forme de "cercle".
Ai-je enfin compris, ou toujours pas ?
Merci d'avance.

[obi76]

Bonsoir, je pensais que seule la valeur de la vitesse variait..? Un écoulement stationnaire est un écoulement qui ne dépend pas du temps, c'est à dire que si l'on regarde au même point, la vitesse sera toujours la même. J'avais compris d'un écoulement instationnaire que la vitesse variait, donc en ce même point à un instant t1 on a une vitesse v1 et en un instant t2 on a une vitesse t2... Du coup si la direction de la vitesse varie, la direction de la ligne de courant ne devrait pas varier elle aussi, vu que par définition la ligne de courant est tangente à la vitesse ?

Oui, elle change aussi

[gts2]

Du coup si la direction de la vitesse varie, la direction de la ligne de courant ne devrait pas varier elle aussi, vu que par définition la ligne de courant est tangente à la vitesse ?

Sur le message #6, les lignes de courant bleue rouge verte sont bien de directions différentes.

Et sur les deux animations, c'est la même chose : les lignes de courant tournent.

[Antharess]

Oui mais la direction pourrait très bien varier en écoulement stationnaire, tant que la valeur de la vitesse ne change pas.
Ok donc la trajectoire est rectiligne, mais les lignes de courant tournent. Ok merci !

[gts2]

Oui mais la direction pourrait très bien varier en écoulement stationnaire, tant que la valeur de la vitesse ne change pas.

Stationnaire signifie (au point M), c'est bien le vecteur qui est constant en norme et direction.

Ok donc la trajectoire est rectiligne, mais les lignes de courant tournent. Ok merci !

Non : si les lignes de courant rectilignes tournent, la trajectoire n'est plus une droite (courbe noire du message #6)

[Antharess]

Bonjour,
Si le vecteur est constant en direction,
La ligne de courant est donc une ligne droite ?

[obi76]

Bonjour,
Si le vecteur est constant en direction,
La ligne de courant est donc une ligne droite ?

Oui, puisque les lignes de courant sont tangentes aux vecteurs vitesses.

cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ligne_...instationnaire

[Antharess]

Mais pourtant, j’ai vu des représentations de lignes de courant en écoulement stationnaire qui n’était pas des lignes droites…

[obi76]

Mais pourtant, j’ai vu des représentations de lignes de courant en écoulement stationnaire qui n’était pas des lignes droites…

Stationnaire ne veut pas dire que tous les vecteurs vitesses sont colinéaires. Ça veut dire qu'ils n'évoluent pas dans le temps, c'est tout.

[gts2]

Comme indiqué par @velosiraptor dans le message #4, les lignes de courant sont relatives à la représentation d'Euler : v(t,M) est le vitesse de la particule qui se trouve en M à l'instant t.

Pour tout ce qui est de description de champ, constant pose des problèmes d'interprétation, habituellement
- constant : indépendant du temps et de l'espace
- uniforme : indépendant de l'espace
- stationnaire : indépendant du temps

On note

Si la direction de v est uniforme,- , les lignes de courant sont, en effet, des lignes droites
Par contre, si la direction de v est stationnaire, , les lignes de courant sont de forme "quelconque"
Si la direction de v est constante , les lignes de courant sont, en effet, des lignes droites

[gts2]

Mais pourtant, j’ai vu des représentations de lignes de courant en écoulement stationnaire qui n’était pas des lignes droites…

Je pense que votre problème vient de "constant", voir message #21.

[Antharess]

En fait, au message 16, vous m’avez dit que le vecteur est constant en norme et direction. Du coup, ça serait plutôt stationnaire non ?

[obi76]

En fait, au message 16, vous m’avez dit que le vecteur est constant en norme et direction. Du coup, ça serait plutôt stationnaire non ?

Constant spatialement en norme et en direction, ça veut dire homogène.
Constant temporellement (que ce soit en norme et en direction ou pas), ça veut dire stationnaire.

Comme l'a dit gts2, le mot "constant" peut prêter à confusion, à cause de ces deux déclinaisons. C'est pour a que l'on préférera dire un "écoulement homogène" (i.e. constant spatialement) ou "écoulement stationnaire" (i.e. constant temporellement).

S'il est constant en norme et en direction dans l'espace et dans le temps, alors il est homogène ET stationnaire.


Par exemple dans le message 6, les vecteurs vitesse sont constant en norme et en direction dans l'espace, mais évoluent avec le temps. C'est donc un écoulement homogène et instationnaire.

[gts2]

Oui c'est bien cela.
La phrase exacte est :

"Stationnaire signifie (v(t)=C^te) (au point M), c'est bien le vecteur qui est constant en norme et direction."

[Antharess]

Comment peut on être constant en direction temporellement..?
(Désolé j’ai l’impression de poser des questions bêtes )

[obi76]

Comment peut on être constant en direction temporellement..?

Ben l'écoulement va toujours dans le même sens et ne change pas de direction, tout simplement.

(Désolé j’ai l’impression de poser des questions bêtes )

Il n'y a pas de questions bêtes (potentiellement ce sont les affirmations qui peuvent l'être )

[Antharess]

Ok, donc pour résumer,
une ligne de courant peut avoir une trajectoire qui fasse une sorte de courbe (prenons l'exemple d'une ligne de courant qui rase le toit d'une voiture, elle est d'abord en ligne droite, puis rencontre le devant de la voiture se lève un peu, et redescend après.) https://upload.wikimedia.org/wikiped...nal_Modell.jpg
Donc c'est un écoulement qui n'est pas homogène puisque la particule n'est pas constante spatialement (change de direction).
Cependant cet écoulement est stationnaire puisque les différentes particules qui passent à cet endroit au cours du temps adopteront la même trajectoire.

Mais dans ce cas-là, en quoi le graphique du message 6 est-il la représentation d'un écoulement instationnaire ? C'est la même chose que pour la voiture non ? en t1, la particule se déplace en ligne droite, mais en t2 elle est en train de monter sur le dessus de la voiture par exemple. Les lignes de courant ont bien tourné ici non ?

[obi76]

Ok, donc pour résumer,
une ligne de courant peut avoir une trajectoire qui fasse une sorte de courbe (prenons l'exemple d'une ligne de courant qui rase le toit d'une voiture, elle est d'abord en ligne droite, puis rencontre le devant de la voiture se lève un peu, et redescend après.) https://upload.wikimedia.org/wikiped...nal_Modell.jpg
Donc c'est un écoulement qui n'est pas homogène puisque la particule n'est pas constante spatialement (change de direction).
Cependant cet écoulement est stationnaire puisque les différentes particules qui passent à cet endroit au cours du temps adopteront la même trajectoire.

Jusqu'à là, OK (sauf le terme "la particule n'est pas constante spatialement", qui est mal dit. Ce sont les vecteurs vitesse de l'écoulement qui ne sont pas constants spatialement).

Mais dans ce cas-là, en quoi le graphique du message 6 est-il la représentation d'un écoulement instationnaire ? C'est la même chose que pour la voiture non ? en t1, la particule se déplace en ligne droite, mais en t2 elle est en train de monter sur le dessus de la voiture par exemple. Les lignes de courant ont bien tourné ici non ?

Parce que si vous regardez l'ensemble du champ de vitesse du fluide, à l'instant t1, il n'est pas le même qu'à l'instant t2 (la direction des vecteurs vitesse est différente). C'est un écoulement homogène (à chaque instant, tous les vecteurs vitesse dans l'espace sont égaux), et instationnaire (en un point donné, le vecteur vitesse évolue avec le temps puisqu'il change de direction).

[Antharess]

D'accord, donc en fait, imaginons que l'écoulement avec l'exemple de la voiture soit instationnaire.
A un instant t1, les lignes de courant sont celles de l'image envoyée dans le message #28.
A un instant t2, les lignes de courant changent, et par exemple sont toutes dirigées un peu plus vers le haut. On est donc en écoulement instationnaire.

On revient à ma question du tout début : Pourquoi les particules ne montent-elles pas elles aussi ? Parce que c'est du bon sens que nous allons, nous nous déplacons dans le sens de notre vitesse, non ?
Et si elles montent, cela signifie qu'elles suivent les lignes de courant (même si celles-ci changent à chaque instant)
Donc lignes de courant et trajectoire de la particule sont confondues..? Ce qui est absurde, vu que j'ai précisé plus haut que c'était un écoulement instationnaire.