calcul de la flèche q'une barre en acier

[Naalphi]

Bonjour

• Si la base du T est de section S1 = b x t1 (b sa largeur, t1 son épaisseur)
• Si l'âme du T est de section S2 = h x t2 (h sa hauteur, t2 son épaisseur)

L'inertie du T autour de la droite horizontale passant par son cdg vaut (unité m^4 en SI)

I = I1 + I2 + I.Huygens

• I2 = t2 h^3/12
• I.Huygens = [S1 S2/(S1+S2)] d²
• d distance entre cdg de S1 et de S2 :
  d = (h+t1)/2 --> d² = (h+t1)²/4

Comment arrivez-vous aux expressions de I.Huygens et de d ?


Avec la méthode "manuelle" (voir le schéma que j'ai posté plus haut), j'obtiens :

IGz = IGzv + (Av * Ov²) + IGzh + (Ah * Oh²)
avec
O = Centre De Gravité de l'ensemble
'v' relatif au rectangle vertical
'h' à celui horizontal
Ov = distance du CDG à cdg'v'
Oh = distance du CDG à cdg'h'
IGz 'v' = bh³/12 = 4*26^3/12 = 5858,67 mm^4
IGz 'h' = 30*4^3/12 = 160
Aire 'v' = Av = 26*4 = 104 mm²
Aire 'h' = Ah = 30*4 = 120

Détermination du CDG ("barycentre") (matériaux homogènes) :
Av*<Ov> + Ah*<Oh> = <0> (notation <x> pour la forme vectorielle)
<=> Av*<Ov> + Ah*( <Ov> + <vh> ) (relation de Chasles)
<=> <vO> = Ah/(Av+Ah) * <vh>
(Distance cdgs vh = (26/2+4) - (4/2) = 15 mm)
<=> <vO> = 120 / (104+120) * 15
=> Ov = 8,0357 , Oh = 6,9643

Donc :
IGz = 5858,67 + 104*8,0357^2 + 160 + 120*6,9643^2 = 18 554 mm^4
(mon "IGz" correspond au "Ix" , l'inertie "forte", c.a.d. la flexion selon l'axe x autour duquel la pièce résistera le plus, du formulaire)
-----

[topaze17]

Bonsoir,
Donc si je vous ai compris ",(mon "IGz" correspond au "Ix" , l'inertie "forte", c.a.d. la flexion selon l'axe x autour duquel la pièce résistera le plus, du formulaire)" , c'est cette valeur de ' I ' qu'il faut prendre en compte dans le calcul de la flèche induite par la force que représente un poids posée au milieu de la barre en T comme ci dessous :

j'espère que ma demande aura une réponse simple, car je m'y perd dans vos différents .
Merci d'avance

[Naalphi]

Oui , le moment quadratique à utiliser est Ix

La flèche sera donc due à la charge ponctuelle (F) ET au poids propre de la barre (P) (ici non négligeable comparativement à F) :
f = ct1 * F * L^3/ E / Ix + ct2 * P * L^3 / E / Ix
(je ne sais pas de tête combien valent ct1 et ct2 , chacune de ces constantes dépendant du fait que la charge est répartie ou ponctuelle, centrée ou non, et suivant les types de liaison au support)

[topaze17]

Merci Naalphi pour votre aide,
Dans mon cas la poutre en forme de T inversée sera bi-encastrée ( soudée au 2 extrémités) ,et la charge sera centrée au milieu.
donc si je vous suis, Ix vaut 18 554 mm^4 ( "IGz" correspond au "Ix" )
Et où-je pourrais trouvé la valeur de ct1 et ct2 ?
J'ai trouvé :
pour la partie fleche induite par la force appliqué au milieu ceci:
fleche poutre bi encastrée avec force ponctuelle au centre.PNG

et pour la partie fleche induite par le poids de la barre :
fleche bi encastrée avec charge répartie - son poids).PNG

Donc ce qui ferait pour une barre en acier ( E = 210 Gpa ), longueur 1,8 metre , F (poids au milieu ) 500 N , poids de la barre 36 N (2 kg/m)

f = ct1 * F * L^3/ E / Ix + ct2 * P * L^3 / E / Ix

f= [ (1/192) * 500 N *1800 mm^3 / 210 Gpa / 18 554 mm^4 ] + [ ( 1/384) * 36 N * 1800 mm ^3 /210 Gpa / 18 554 mm^4 ]

Cependant, j'ai remarqué que dans la formule pour la charge répartie, vous mettez P * L^3 , alors que dans la formule que j'ai trouvée , il est indiqué (q correspondant au poids de la barre ,charge répartie sur toute la longueur) P*L^4
calcul de la flèche maximale.PNG
Pourriez vous m'éclairer sur cette différence ?
Cordialement

[topaze17]

Les dimensions du T seront choisis en fonction de la flèche maximales , j'ai opté pour 30*30*4 mm pour l'exemple car cela me semble plausible.
Il reste pour moi le soucis des unités pour obtenir un résultat conforme à la réalité (si je choisi Newtons pour le poids , mms pour les longueurs ) , faut-il que j'utilise pa ou Gpa pour E ?
Bonne soirée

[Naalphi]

Ok pour ct1=1/192 et ct2=1/384

Se rappeler le post #5 de gts2 : "le plus simple est de tout faire en SI et de convertir à la fin".
... Je suis surpris de ne trouver personne parler en dm.... c'est pourtant pratique : c'est une demi-longueur de main bien ouverte, 1/10 de pas bien pesé, 1 dm^3 = 1 litre = 1 kg d'eau ...


[ N * mm^3 / MPa (N/mm^2) / mm^4 ] => mm
ou
[ N * m^3 / Pa (N/m^2) / m^4 ] => m

avec 1 GPa = 10^3 MPa = 10^6 kPa = 10^9 Pa

[Naalphi]

Et concernant P ou p ou q et L^3 ou ^4 :
Certains formulaires ont pour entrée le poids linéaire (N/m) de la poutre :
N/m * m * m^3 = m^3
ou
N/m * m^4 = m^3

Mon P du message #33 peut être entendu comme étant un N/m*m

[topaze17]

Bonsoir,
Merci pour toutes ces précisions
Cordialement

[topaze17]

Nouveau calcul en tenant compte de vos remarques:
En mètre
Calcul de flèche due à charge ponctuelle
FL^3 = 5.83 *500 = 2916
192 EI
192
E = 210 000 000 000
I = 18 , 554
192 EI =192 * 210 000 000 000 * 18 , 554 = 748 097 280 000 000
Résultat du calcul FL^3 / 192 EI
= 3,89 e-12 mètre

Calcul de flèche due au poids de la barre :

Pl4 /384 EI
Pl^4 = 36 * 10,49 = 378
384EI =149 619 456 000 000
Résultat du calcul Pl4 /384 EI
= 2,5 e-12

Flèche totale = 6,4 e-12 mètres
Ce qui est infinitésimal ….
Ai-je fais une erreur, car ça m’étonne
Merci d’avance pour la correction

[gts2]

Si on met I en m⁴, cela donne I=18554 10^-12 et donc 192 EI=748 10³ (SI)
et donc une flèche de 0,004 m=4mm

[Naalphi]

(version longue

Vous avez mal converti Ix :
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 m^2 = 100 dm^2 = 100*100 cm^2 = 100*100*100 mm^2
1 m^3 = 1000 dm^3 = 1000*1000 cm^3 = 1000*1000*1000 mm^3
1m^4 = ... = 10 000 * 10 000 * 10 000 mm^4 = 10 000^3 mm^4 = (10^4)^3 mm^4 = 10^(4*3) mm^4 = 10^12 mm^4
=> 18 554 mm^4 = 18 554 * 10^-12 m^4 = 18,554 * 10^? m^4
=> (6,4 *10^-12) * 10^? = ?

[topaze17]

Bonjour,
Ok j'ai compris
Merci à tous les 2
Cordialement

[chaverondier]

Comment arrivez-vous à l'expression de I.Huygens?

Quand deux sections S1 et S2 d'inerties propres I1 et I2 sont distantes de d (dans la direction appropriée) leur inertie totale vaut :

I.tot = I1+I2+ S1 d1² + S2² d2²
où d1 et d2 désignent les distances respectives des cdg de S1 et de S2 au cdg global.

• en posant I.huygens = S1 d1² + S2² d2²
• en remarquant que :
  • d1 = d S2/(S1+S2)
  • d2 = d S1/(S1+S2)

On obtient :
I.Huygens = d² (S1 S2²+S2 S1²)/(S1+S2)² = d² S1 S2/(S1+S2)

Cela permet d'obtenir I.tot en une seul ligne de calcul (gain de temps)

Si les deux sections S1 et S2 ne sont pas liées en cisaillement et donc glissent l'une sur l'autre (cas d'un rail posé sur la semelle sup d'une poutre en I et seulement lié par des crapauds incapables d'empêcher le glissement du rail sur la semelle par exemple) le terme I.Huygens s'annule.

[Naalphi]

Ah ok , merci, je ne voyais pas ab²+a²b = ab(a+b) , permettant la simplification qui va bien



En passant je réécris pour la forme, avec "un peu plus" de logique cette fois-ci, et que j'espère plus lisible, ma tentative d'explication sur les unités et puissances de mon précédent message :

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 m = 10¹ dm = 10² cm = 10³ mm
1 m² = 10¹.10¹ dm² = 10².10² cm² = 10³.10³ mm²
1 m³ = 10¹.10¹.10¹ dm³ = 10².10².10² cm³ = 10³.10³.10³ mm³
1 m⁴ = ... = 10³.10³.10³.10³ mm⁴ = (10³)⁴ = 10¹² mm⁴

[topaze17]

Bonjour,
Me revoici avec un autre calcul
Pour un tube soudé à une base; avec une force de traction maximale de 30 kg ( donc environ 300 Newtons) à l'extrémité du tube, de longueur 1,70 mètre , de section 50mm x 50 mm ( soit 0,05 m x 0,05m ) , d'une épaisseur de 2 mm ( soit 0.002mètres) , en acier ordinaire ( E = 210 Gpa ) ,je recherche la flèche qu'il y aurait à cette extrémité
Voici le schéma en pièce jointe
Mon calcul donne:
Moment quadratique =(( 0,05m^4)- (4,6^4) ) /12
J'ai trouvé cette formule : vB=pl^4 /8EI (pièce jointe )
donc :
(300* (1,70)^4 ) / (8*210000000000 *((( 0,05m^4)- (4,6^4) ) /12 ))
Est-ce juste ?
Merci pour votre aide

[Jaunin]

Bonjour,
Votre charge est uniquement à l'extrémité de votre barre, ce n'est pas la bonne formule.
Cordialement.
Jaunin__

[topaze17]

Bonsoir,
Merci pour votre réponse
depuis 1 heure je cherche la formule qui convient, mais je n'y arrive pas ....
Pourriez vous m'aiguiller ?
Cordialement

[Jaunin]

Bonjour,
C'est une poutre cantilever.
Cordialement.
Jaunin__

Formulaire des poutres simples — Wikipédia (wikipedia.org)

[Naalphi]

Moment quadratique =(( 0,05m^4)- (4,6^4) ) /12

non plus....

[Naalphi]

(300* (1,70)^4 )

non plus ...

[topaze17]

Donc,j'ai tout faux ....

j'ai vu votre lien, la formule serait donc :
flèche = PL^3 / 3EI ?
avec P= 300 Newtons (environ pour 30 Kg )
L= 1,70 m
E = 210 Gpa = 210 000000000 pascal
I = moment quadratique d'un tube carré = 0,05m^4)- (0,046^4) ) /12 (il y a 2fois 2 mm d'épaisseur, donc 46 mm de dimension interne ) et j'ai corrigé mon erreur de 4,6 en mettant en 0,046 mètre ....
Donc c'est :
=( 300*1,70^3 ) / 3*210 000000000 * ( 0,05m^4)- (0,046^4) ) /12 )
ou est-ce que c'est encore faux ?
Merci
Cordialement

[Naalphi]

Bonjour

Revoyez votre moment quadratique de la section :

Voir un peu plus tôt dans ce même fil (avec une p'tiote correction) :

Quand deux sections S1 et S2 d'inerties propres I1 et I2 sont distantes de d (dans la direction appropriée) leur inertie totale vaut :
I.tot = I1+I2+ S1 d1² + S2^1 d2²
où d1 et d2 désignent les distances respectives des cdg de S1 et de S2 au cdg global.

On note que le moment quadratique d'un rectangle est b *h³ /12 ...
Et qu' il se trouve qu'avec un tube, I2 est négatif, et que d1 et d2 valent zéro => le moment quadratique de la section est donc = à ?

[topaze17]

Bonsoir,
Merci pour votre réponse
Si d1 et d2 valent zéro ,S2^1 d2² =0 et S1 d1² =0 car d2² =0 et d1²
Quand vous dites :S2^1, ça signifie bien S2 puissance 1 , donc =S2 ?

Et qu' il se trouve qu'avec un tube, I2 est négatif, et que d1 et d2 valent zéro => le moment quadratique de la section est donc = à ? , je dirai 0 , mais pas certain .....
je patauge.....

[Naalphi]

Soit une section composée de formes élémetaires :
un carré plein I1 de côté A1 ,
et un carré vide I2 de côté A2, centré au premier

Itot = I1 +I2 +(S1 *d1²) +(S2 *d2²) (voir plus haut, avec la particularité ici que I2 et S2, étant du vide, ont des valeurs négatives)
Cas particulier (ou remarquable) : d1 et d2 = 0 (cas où les 2 sections sont centrées entre elles)
=> Itot = I1 +I2 (je rappelle que I2 est du vide et qu'il a donc une valeur négative)


Ensuite, écrire " f = PL^3 / 3EI " , est , selon moi, comme vouloir inventer une nouvelle grammaire (pourquoi pas, mais attention aux ambigüités) :
Mon interprétation est que cela signifie : f = P *L³ /3 *E *I ,
alors qu'il aurait fallu écrire f = P *L^3 /3 /E /I ,
ou f = P *L³ /(3 *E *I)


Bon courage !


( S2^1 avec "^1" en rouge était là pour seulement signifier l'erreur de la formule donnée précédemment qui mettait ce terme "au carré" à tort. Bien sûr, S2^1 = S2 )

[Naalphi]

Précision : I (d'un carré) = côté^4 /12
^^

[topaze17]

f = P *L³ /(3 *E *I)
Détails :
P¨= 300 N
L puissance 3 = 1,70*1,70*1,70 = 4,9 , en passant, comment faites vous pour écrire le petit 3 en haut du L ?
E = E = 210 Gpa = 210 000000000 pascal

Itot = I1 +I2
I1 = côté^4 /12 = 0,05 m^4 /12 = 0,00000625 / 12 = 5,2 e-7
I2=-côté^4 /12 = -(0.046^4/12) = - 0,00000448 /12 = - 3,73 e-7
Itot = I1 +I2 = 1,47 e-7 = 0.000000147

donc :
f = P *L³ /(3 *E *I)
P *L³= 300 * 4,9 = 1*470
3 *E *I = 3 * 210 000 000 000 * 0.000 000 147 = 92610
f = P *L³ /(3 *E *I) = 1 470 / 92610 = 0,0158730158730159 = 0,016 mètre soit 1,6 cm

Voilà , j'espère ne pas m’être tromper dans les paquets de zéros ....
Pourriez vous me dire ce que vous en pensez ?

[Naalphi]

Vos résultats sont corrects !

Pour éviter de trimbaler des guirlandes de zéro , utilisez les puissances de 10 (x*10^n) , par exemple : 210*10^9 * 147*10^-9 = (210 * 147) *10^(9-9) = 210 *147.

L'utilisation de la forme e(n) n'est pas très académque... Cette forme est celle de certaines calculatrices pour 10^n , mais dans l'absolu (en math), 'e' est un nombre en soit qui vaut ~2,72... : confusions à l'horizon !

En mécanique, les unités utilisées le plus souvent sont le mm , et le N/mm² (=MPa)

Mon clavier, peu commun, possède une touche directe ³ (la même que la touche ² d'un clavier standard en haut à gauche, mais avec 3..)
On peut obtenir cette notation en maintenant la touche Alt enfoncée et taper 252 au clavier numérique...
Je n'utilise cette technique que pour écrire 'diamètre' : Alt + 157 = Ø



Questions subsidiaires :

Quelle est la valeur de la contrainte maximum dans votre tube ?
( formule générique en flexion : sigma = Mf / (I /v )

Votre barre résistera-t-elle à cette épreuvre sans subir de déformation permanente ?
( limite élastique d'un aier standard de base = 200 Mpa)

[topaze17]

Bonjour,
D'abord merci pour votre soutien
Voici mes calculs :
sigma = Mf / (I /v )
v=h/2 = 0,05 m/2 = 0.025 mètre
I/v = 0.000000147 / 0.025 = 0.00 000 588
Mf(x) : la valeur maxi du moment fléchissant dans la section étudiée.
Mf = 1,70 (longueur de la poutre en m) * 300 Force appliquée à l’extrémité de la poutre en N) =510
A noter que la poutre étant verticale, on ne tient pas compte de son poids
sigma = Mf / (I /v ) = 86 734 693
Problème sigma est exprimé en quels unités ? (pa ?)
Si en pa , sigma = 86.7 Mpa
Ce serait alors ok (< 200 Mpa )
Me suis-je tromper ?

[Naalphi]

Bonjour
Tout juste !
Oui, Pa (=N/m²), car tout était en m et N

[topaze17]

Bonne soirée, merci pour votre accompagnement dans ma démarche , sans vous je ne pense pas avoir pu y arriver ....
Amicalement