Quantification et infini (dénombrable/non-dénombrable)

[Husserliana]

Bonjour à tous !

J'ouvre ici une discussion dans le prolongement de celle ouverte par Josaphatson, octobre dernier. En voici du reste le lien : https://forums.futura-sciences.com/p...que-maths.html

J'ai trouvé les réponses des intervenants particulièrement éclairantes, quoique venant ébranler pas mal de mes préconçus. Ainsi lorsque ThM55 énonce que "Mécanique quantique ne signifie PAS dénombrable".
Et certes, il est assez clair, même pour moi, que l'espace d'Hilbert est continu. De même, je conçois que le spectre de certaines observables (je songe à impulsion ou à la position) ressorte lui aussi du continu ; et qu'ainsi une fonction d'onde puisse constituer la donnée d’une infinité non-dénombrable de nombres (soit les valeurs successives de la fonction considérée aux différents points de l’espace des coordonnées ou des impulsions). Et qu'enfin un champ quantique (ou classique du reste ? Mais c'est une question subsidiaire) possède une infinité indénombrable de degrés de liberté.
Cela donc je crois l'entendre, mais j'ai nettement plus de mal avec ceci (je cite ici ThM55) : "Le spectre d'un électron libre sortant d'un atome ionisé est continu. Il a une infinité non dénombrable de niveaux d'énergie possibles (...) Si le photon est libre (dans l'espace infini et non confiné dans une cavité), il y a une infinité de fréquences angulaires possibles et donc un spectre d'énergie continu et non dénombrable.".

Dans le (...), il y tout le développement de ThM55, qui me semble tout à fait convainquant.... mais entre en contradiction (du moins, il me semble !) avec ce que je croyais savoir de l'énergie en quantique. N'a-t-on pas affaire, pour l'atome d'hydrogène, l'oscillateur harmonique, ou autres, qu'à des niveaux d'énergies discrets ? Je veux dire, l'observable de cette grandeur qu'est l'énergie admettrait-il autre chose que des valeurs discrètes, cad séparées les unes des autres ?

Autre question (et c'est un peu ma marotte ) : concernant l'intégrale des chemins. Est-il correct de dire que l'intégration (permettant d'obtenir l'amplitude de propagation désirée) se fait sur une infinité non-dénombrable d'amplitudes partielles, ou "poids" complexes, associés à une infinité elle aussi non-dénombrable de "chemins" -- sans préjuger du statut "physique" de ces chemins ? Et qu'aussi bien l'espace de ces chemins continus est lui-même indénombrable ?

D'autres questions me viennent aux lèvres, mais c'est plus qu'assez. Merci d'avance !
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[coussin]

Pour l'atome d'hydrogène, l'électron est lié (par le potentiel coulombien du proton). C'est ça qui rend les niveaux d'énergie discrets (c'est une contrainte additionnelle qui réduit les valeurs possibles pour l'énergie).
ThM55 mentionnait un électron libre. Dans ce cas, toutes les valeurs de l'énergie cinétique sont possibles.

[Deedee81]

Salut,

Tiens un petit oubli dans cette question, en attendant le retour de Husserliana je répond :

concernant l'intégrale des chemins. Est-il correct de dire que l'intégration (permettant d'obtenir l'amplitude de propagation désirée) se fait sur une infinité non-dénombrable d'amplitudes partielles, ou "poids" complexes, associés à une infinité elle aussi non-dénombrable de "chemins" -- sans préjuger du statut "physique" de ces chemins ? Et qu'aussi bien l'espace de ces chemins continus est lui-même indénombrable ?

Là aussi ça dépend de la situation physique envisagée (comme pour l'autre partie auquel coussin a répondu) : il peut y avoir un nombre fini de chemins, un nombre infini dénombrable, un nombre infini non dénombrable (*).

Un exemple : Feynman dans son cours de MQ commence par étudier l'expérience des interférences de Young. Sans le dire explicitement, ce qu'il fait en ajoutant les amplitudes venant des deux fentes ce n'est rien d'autre qu'une intégrale de chemin : ajout des deux chemins possibles. Mais il précise aussi qu'il idéalise car les fentes n'étant pas infiniment fines, la particule pourrait y passer n'importe où avec une infinité de chemins possibles.

(*) Notons que ce fut LA difficulté des intégrales de chemin au départ. L'approche au début était plutôt formelle, sans rigueur (un truc habituel du physicien ça , on "suppose que le machin existe, est convergent et tout ça") et la rigueur a été apportée plus tard. La difficulté était de définir la mesure c'est à dire le dC dans l'intégrale (la partie différentielle infinitésimale), avec les réels on n'a en générale pas de soucis mais c'est ici un "espace des chemins" et la mesure sur les chemins doit être définie. Ce qui n'est pas trivial :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3...rale_de_chemin à la fin, la mesure formelle. Et par exemple ici page 41 pour une définition plus rigoureuse https://bu.umc.edu.dz/theses/physique/BEN5865.pdf

[ThM55]

Pour la particule libre, si au lieu d'un espace infini on la suppose placée "dans une boîte" avec des conditions aux limites, par exemple pour un faire topologiquement un tore à 3 dimensions, les niveaux d'énergie seront discrets et leur espacement dépendra des dimensions de la boîte. Cela vient des conditions de continuité de la fonction d'onde.

En MQ, la question du dénombrable et du non dénombrable est mathématiquement très intéressante mais je suis plus perplexe sur le contenu physique. Von Neumann avait postulé que l'espace de Hilbert des états est séparable, donc possède une base orthonormale dénombrable, le prototype étant un espace L2. Pour donner un sens au cas de la particule libre, dont la fonction d'onde n'est même pas dans l'espace L2, tout en gardant le même niveau de rigueur mathématique, il faut se placer dans le cadre des distributions (théorie de Laurent Schwartz) et cela résout la plupart des problèmes (je ne sais plus qui a un jour dit que cette théorie transforme l'analyse fonctionnelle comme un jardin anglais serait transformé en un jardin à la française).

N'oublions pas que quand on discute de ces questions, on étudie la structure mathématique du modèle et en fin de compte derrière tout cela il y a des système physiques concrets. Tous les détails du modèle n'ont pas forcément un contenu physique, bien que la plupart en aient. La plupart du temps le modèle est trop exigent, on ne peut pas physiquement l'utiliser avec toute sa rigueur mathématique. Le modèle de la physique statistique a par exemple une conséquence curieuse: on définit une transition de phase comme une discontinuité de certaines propriétés physiques (chaleur spécifique, etc). Or dans le modèle tout se déduit de la fonction de partition qui est une somme de fonctions analytiques (les exponentielles de Boltzmann). Pour produire des singularités, une somme finie de fonctions analytiques est analytiques, elle en est incapable. Les transitions de phases ne sont donc possible qu'à la "limite thermodynamique" avec un nombre infini de particules. Mais si je prends un seau d'eau avec une quantité finie de molécules d'eau et que je l'oublie dehors par une nuit de gel, il fera de la glace! Le problème est clairement celui d'une idéalisation: il n'y a pas en réalité de vraie singularité, on s'en approche mais pas de manière parfaitement totale. C'est aussi pour cette raison que la théorie des distributions fonctionne si bien, c'est au fond une théorie de l'approximation des fonctionnelles.

Considérations un peu philosophiques, je m'en excuse, mais je crois qu'elles ont une certaine importance en physique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Considérations un peu philosophiques, je m'en excuse, mais je crois qu'elles ont une certaine importance en physique.

En tout cas en physique-mathématique. Merci ThM55

[Husserliana]

Merci à tous les trois, infiniment !
(Désolé pour cette longue disparition. Certaines réponses m'inspirent d'autres questions, que je soumettrai plus tard...)