Devinette relativiste : horloges dans une fusée en accélération

[mach3]

Bonsoir,

Voici une petite devinette de relativité restreinte dans un référentiel accéléré :

Soit une fusée de longueur propre constante et d'accélération propre constante (=un accéléromètre fixe par rapport à la fusée donne une mesure constante non nulle), dont la valeur vaut au milieu de la fusée. A son bord, une première horloge fixe située au milieu de la fusée et une seconde horloge mobile pouvant se mouvoir de l'avant vers l'arrière ou inversement avec une vitesse constante par rapport à la fusée.
Notons, que l'accélération est orientée de l'arrière vers l'avant de la fusée, ce qui engendre une pesanteur orientée de l'avant vers l'arrière de la fusée, le "bas" des occupants de la fusée étant donc l'arrière.

Considérons que l'horloge mobile va du milieu vers l'arrière à la vitesse , puis faisant instantanément demi-tour, va de l'arrière vers le milieu à la vitesse . Si au départ les horloges fixe et mobile étaient synchronisées, après l'aller-retour, l'horloge mobile :
1) retarde sur l'horloge fixe
2) avance sur l'horloge fixe
3) retarde ou avance, en fonction de la valeur de la vitesse (qu'on pourra éventuellement exprimer en fonction de la longueur de la fusée et de l'accélération propre)

Considérons l'inverse, l'horloge mobile va du milieu vers l'avant à la vitesse , puis faisant instantanément demi-tour, va de l'avant vers le milieu à la vitesse . Si au départ les horloges fixe et mobile étaient synchronisées, après l'aller-retour, l'horloge mobile :
4) retarde sur l'horloge fixe
5) avance sur l'horloge fixe
6) retarde ou avance, en fonction de la valeur de la vitesse (qu'on pourra éventuellement exprimer en fonction de la longueur de la fusée et de l'accélération propre)

Raisonnement intuitifs, heuristiques, géométriques ou algébriques acceptés. Bonne réflexion aux amateurs. Merci de mettre vos réponses en spoiler dans un premier temps

m@ch3
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[Trictrac]

Bonsoir,

Voici une petite devinette de relativité restreinte dans un référentiel accéléré :
Raisonnement intuitifs, heuristiques, géométriques ou algébriques acceptés. Bonne réflexion aux amateurs. Merci de mettre vos réponses en spoiler dans un premier temps

m@ch3

On doit pouvoir faire avec l'équivalence entre gravitation et accélération.
Du point de vue de la fusée les horloges qui se déplacent subissent une dilatation du temps cinématique due à la leur vitesse de déplacement, qui se calcule d'après leur vitesse sur leur distance de déplacement .
Mais elles subissent aussi une dilatation ou expansion du temps gravitationnelle.
Celle qui va vers l'arrière va subir une dilatation du temps (ralentissement du temps)
Celle qui va vers l'avant va subir une expansion du temps (accélération du temps)

Donc on peut déjà en déduire que celle qui fait le trajet vers l'arrière reviendra plus jeune car les deux phénomènes se renforcent.
Pour celle qui fait le trajet vers l'avant les deux phénomènes se compensent. En fonction des valeurs de et de on pourra trouver soit que l'horloge retarde au retour au milieu de la fusée soit qu'elle avance.
C'est bon ?
Si c'est bon, qui pour faire les calculs ?
Il faut intégrer pour obtenir la variation du temps gravitationnelle.

[Archi3]

A première vue les considérations qualitatives de Trictrac me semblent correctes. Pour faire le calcul (quand j'aurai le temps), je propose de

 Cliquez pour afficher

*se placer en coordonnées de Rindler : https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates qui décrivent un référentiel accéléré dont les points restent à distance propre constante.
* trouver l'équation du mouvement x(t) de l'horloge mobile - il faut faire attention sur la notion de "vitesse" dans un référentiel accéléré qui peut etre ambiguë, mais je suppose que la condition est que le quotient "local" dl/dtau (temps propre d'un observateur immobile dans la fusée) est constant)
* intégrer le temps propre de l'horloge sur l'aller-retour

[Mailou75]

Salut,

Intéressant

Comme Archi3, je pense que Trictrac a bien dégrossi à la machette !

Je pense que la méthode d'Archi3 pourrait fonctionner mais qu'elle reste glissante sur la définition de dans son expression de la vitesse locale de l'horloge mobile car lui même est variable...

Je propose un calcul plus simple en ...

 Cliquez pour afficher

... en restant dans le référentiel de départ (en supposant qu'il y en ait un... sinon on en choisit un arbitrairement pour une accélération éternelle)

On sait que dans le référentiel de départ tous les points qu'on pourrait disposer le long de la fusée on la même vitesse instantanée.

Grace au formulaire ci dessous on établit facilement une relation entre le temps du référentiel de départ et la vitesse instantanée de la fusée







avec, dans l'ordre d'apparition

rapidité instantanée
temps propre d'un point fixe du vaisseau ayant une accélération constante
accélération propre constante du point
vitesse lumière
vitesse instantanée du point (et donc de la fusée)

De là on peut facilement additionner (relativiste bien sur) la vitesse constante de l'horloge mobile et obtenir la vitesse instantanée de l'horloge mobile dans le référentiel de départ

Ensuite je suppose qu'on doit pouvoir intégrer par rapport au temps pour trouver la trajectoire , utile si on veut faire un tracé

A cette vitesse instantanée est associé un facteur de Lorentz instantané

Et là je suppose qu'on doit pourvoir intégrer ce facteur, je ne sais trop comment, pour trouver le temps propre de l'horloge mobile, mais je sèche

Le temps propre de l'horloge fixe est établi en choisissant le des formules sus citées, pour le point central de la fusée.

Je reste convaincu que la méthode, si elle aboutit... reste plus sûre

Merci, a+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Trictrac]

J'ai pas mis le spoiler passque je sais pas comment qu'on fait ça.

[mach3]

On doit pouvoir faire avec l'équivalence entre gravitation et accélération.
Du point de vue de la fusée les horloges qui se déplacent subissent une dilatation du temps cinématique due à la leur vitesse de déplacement, qui se calcule d'après leur vitesse sur leur distance de déplacement .
Mais elles subissent aussi une dilatation ou expansion du temps gravitationnelle.
Celle qui va vers l'arrière va subir une dilatation du temps (ralentissement du temps)
Celle qui va vers l'avant va subir une expansion du temps (accélération du temps)

Donc on peut déjà en déduire que celle qui fait le trajet vers l'arrière reviendra plus jeune car les deux phénomènes se renforcent.
Pour celle qui fait le trajet vers l'avant les deux phénomènes se compensent. En fonction des valeurs de et de on pourra trouver soit que l'horloge retarde au retour au milieu de la fusée soit qu'elle avance.
C'est bon ?
Si c'est bon, qui pour faire les calculs ?
Il faut intégrer pour obtenir la variation du temps gravitationnelle.

le raisonnement est correct, mais il est amusant que le principe d'équivalence soit utilisé "à l'envers", c'est à dire en partant d'un résultat connu de RG, il est inféré un résultat de RR.

Pour Archi3, les coordonnées de Rindler facilitent effectivement significativement la résolution, celles de Lass peuvent aussi servir par leur côté conforme (ce n'est pas infaisable en coordonnées de Lorentz, mais il faut être très astucieux et bien connaître ses primitives si on veut parvenir à une résolution d'une longueur raisonnable). Pour la notion de vitesse, il s'agit bien de la vitesse instantanée de l'horloge par rapport au point de la fusée qu'elle croise, donc la tangente hyperbolique de la rapidité (=angle hyperbolique) entre la ligne d'univers de l'horloge et celle du point de la fusée qu'elle croise.

Je pense que la méthode d'Archi3 pourrait fonctionner mais qu'elle reste glissante sur la définition de dans son expression de la vitesse locale de l'horloge mobile car lui même est variable...

Il suffit d'être rigoureux pour ne pas glisser.

Pour la résolution, il faut calculer les composantes de la 4-vitesse de l'horloge mobile (les et ) via son produit scalaire avec la 4-vitesse du point de la fusée qu'elle croise (il faut donc calculer ce dernier au préalable, mais c'est du connu normalement) et avec elle-même (carré scalaire). Cela donne des équations que l'on peut intégrer, cela d'autant plus facilement qu'on a bien choisi le système de coordonnées.

m@ch3

[mach3]

Bon, vu le succès limité de ce fil, je donnerais une solution d'ici à la fin de la semaine, à moins bien sûr qu'un participant ne soit en train de plancher dessus, auquel cas j'attendrais pour poster une solution.

m@ch3

[Archi3]

bon j'ai une solution , faite rapidement donc il faut que je vérifie les calculs...

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Les coordonnées de Rindler prennent une forme particulièrement simple si on choisit une unité de temps et une unité de longueur où est l'accélération propre d'un des observateurs choisi à , ici donc pris commodément au centre de la fusée. La métrique prend alors la forme , et dans ces unités, et . La longueur de la fusée dans ces unités est donc .


Le temps propre en chaque point fixe de la fusée est , la coordonnée t coïncide donc avec le temps propre du milieu de la fusée x=1. La valeur de x est restreinte à x> 0 (horizon de Rindler ) et donc L< 1.
La vitesse de l'horloge mobile mesurée localement est . On voit que le temps propre de l'horloge mobile est soit où est le facteur de Lorentz, le signe dépendant de si l'horloge va vers les x croissants ou décroissants. La longueur parcourue par l'horloge étant de L dans un sens ou dans un autre, le temps propre marqué par l'horloge mobile est le même lors d'un aller retour dans les deux sens, c'est , que le voyage ait lieu à l'arrière ou à l'avant.

En revanche le temps propre marqué par l'horloge immobile est le temps . L'équation du mouvement est , x varie de 1 à 1+L si le voyage est vers l'avant, et de 1 à 1-L si il a lieu vers l'arrière. On voit que le temps marqué par l'horloge immobile après le voyage aller-retour est de si le voyage a lieu vers l'avant , et de si il a lieu vers l'arrière.

Le quotient de ces deux temps va dire si l'horloge mobile avance ou retarde après son voyage. Si il a lieu vers l'arrière, on a qui est toujours > 1 conformément au raisonnement qualitatif : l'horloge mobile retarde toujours, elle a "moins vécu" que l'horloge fixe ( ralentissement du temps à la fois cinématique et gravitationnel). Si le mouvement a lieu vers l'avant, le rapport des temps est qui est > 1 si (l'horloge retarde), et qui est < 1 si (l'horloge mobile avance, elle a plus vécu que l'horloge fixe). Notons que si l'horloge retarde toujours car L < 1.

[Archi3]

A un facteur 2 près pour L ....

[Trictrac]

Calcul de la dilatation du temps cinématique :

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La durée propre du trajet aller-retour de l'horloge est donnée par :

2, parce qu'il y a l'aller et le retour
= durée de l'aller ou du retour dans le référentiel de la fusée

le raisonnement est correct, mais il est amusant que le principe d'équivalence soit utilisé "à l'envers", c'est à dire en partant d'un résultat connu de RG, il est inféré un résultat de RR.

Einstein a d'abord cru trouver qu'il y avait une nouvelle sorte de dilatation du temps lors d'une accélération, et il en a déduit que le même phénomène devait se produire dans un champ de gravitation. Ensuite, rétroactivement, il a postulé qu'une accélération était aussi un champ de gravitation et il a résolu le paradoxe des jumeaux par un champ de gravitation. Au moment du demi tour, le jumeau parti se trouve dans un champ de gravitation qui fait que le temps de la terre accélère par rapport à lui, ce qui explique la brisure de symétrie. (En fait une accélération non gravitationnelle n'est pas un champ de gravitation et l'équivalence n'est qu'apparente (valable seulement pour l'observateur qui subi l'accélération et non pour un observateur extérieur), mais on ne va pas chipoter puisque son raisonnement fonctionne).

Donc appliquons ce raisonnement à la devinette.

Calcul de la dilatation du temps gravitationnelle :

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correspond au décalage d'Einstein.
correspond à la durée propre de l'horloge pour t unitaire.

correspond à la durée propre intantanée.

On intègre sur t :

sur l'aller-retour

Si l'horloge se déplace vers l'arrière le temps gagné est
Si l'horloge se déplace vers l'avant le temps perdu est

Calcul final :

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La durée propre du trajet de l'horloge si elle se déplace vers l'arrière est le cumul des effets cinématiques et gravitationnels :

La durée propre du trajet de l'horloge si elle se déplace vers l'avant est :

Application numérique :

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La durée de l'aller-retour des horloges pour les passagers de la fusée est

La durée propre de l'aller-retour pour l'horloge qui se dirige vers l'arrière est :

La durée propre de l'aller-retour pour l'horloge qui se dirige vers l'avant est :

Je ne prétends pas que ce soit juste.
Je suis parti de mes raisonnements et j'ai essayé de les formuler mathématiquement sans connaître Rindler et sans autre bagage que la formule de l'effet Einstein.

[Archi3]

Bon je reprends sachant que le milieu de la fusée est à de l'origine , pas à....

 Cliquez pour afficher

Les coordonnées de Rindler prennent une forme particulièrement simple si on choisit une unité de temps et une unité de longueur où est l'accélération propre d'un des observateurs choisi à , ici donc pris commodément au centre de la fusée. La métrique prend alors la forme , et dans ces unités, et . La longueur de la fusée dans ces unités est donc .


Le temps propre en chaque point fixe de la fusée est , la coordonnée t coïncide donc avec le temps propre du milieu de la fusée x=1. La valeur de x est restreinte à x> 0 (horizon de Rindler ) et donc L< 2.

La vitesse de l'horloge mobile mesurée localement est . On voit que le temps propre de l'horloge mobile est soit où est le facteur de Lorentz, le signe dépendant de si l'horloge va vers les x croissants ou décroissants. La longueur parcourue par l'horloge étant de L/2 dans un sens ou dans un autre, le temps propre marqué par l'horloge mobile est le même lors d'un aller retour dans les deux sens, c'est , que le voyage ait lieu à l'arrière ou à l'avant.

En revanche le temps propre marqué par l'horloge immobile est le temps . L'équation du mouvement est , x varie de 1 à 1+L/2 si le voyage est vers l'avant, et de 1 à 1-L/2 si il a lieu vers l'arrière. On voit que le temps marqué par l'horloge immobile après le voyage aller-retour est de si le voyage a lieu vers l'avant , et de si il a lieu vers l'arrière.

Le quotient de ces deux temps va dire si l'horloge mobile avance ou retarde après son voyage. Si il a lieu vers l'arrière, on a qui est toujours > 1 conformément au raisonnement qualitatif : l'horloge mobile retarde toujours, elle a "moins vécu" que l'horloge fixe ( ralentissement du temps à la fois cinématique et gravitationnel). Si le mouvement a lieu vers l'avant, le rapport des temps est qui est > 1 si (l'horloge retarde), et qui est < 1 si (l'horloge mobile avance, elle a plus vécu que l'horloge fixe). Notons que si l'horloge retarde toujours car L < 2.

[Trictrac]

Ah oui j'ai fait pareil, j'ai supposé que était la demi longueur de la fusée et non la longueur totale.

[Archi3]

et ta solution c'était quoi Mach3 ?

[mach3]

et ta solution c'était quoi Mach3 ?

j'arrive j'arrive...

[mach3]

et ta solution c'était quoi Mach3 ?

Je me place dans les coordonnées de Rindler adéquates, où les points de la fusée ne changent pas de coordonnées spatiales, la métrique étant d'expression :

, avec r>0 comme coordonnée spatiale et comme coordonnée temporelle (les deux autres coordonnées spatiales sont ignorées car sans importance pour la résolution.

La 4-vitesse d'un point P de la fusée aura pour composantes :
(car le point est immobile dans les coordonnées de Rindler choisies) et
(parce que le carré scalaire de la 4-vitesse doit être , donc )

On note au passage donc que , car est constant

La 4-vitesse d'un point M se déplaçant par rapport à la fusée aura pour composantes :


Ces composantes sont liées par le carré scalaire de la 4-vitesse qui doit être

La produit scalaire de la 4-vitesse du point P et de la 4-vitesse du point M, en l'évènement où ils se croisent et où est :
(avec , étant la vitesse relative entre P et M)

connaissant les composantes de la 4-vitesse du point P, on a :





et donc :
(on prend la solution positive parce qu'on convient que correspond à un mouvement vers les r croissants)

On en retire, en prenant le rapport des deux composantes :

Ce qui peut se réécrire :


On a donc deux équations intéressante pour décrire le point M en déplacement :



Si la vitesse du point M par rapport à chaque point P de la fusée qu'il rencontre est constante, alors on peut simplement intégrer ces deux équations :



On a ainsi tous les éléments pour répondre.

Durant l'aller, le temps propre de M varie de et durant le retour, il varie de , soit une variation totale de (les valeurs absolue sont présentes pour inclure à la fois le cas et le cas ).

Si ,
durant l'aller, le temps coordonnée de M varie de
et durant le retour, il varie de ,
soit une variation totale de
Or, sur cette même variation de temps coordonnée, le temps propre d'une horloge stationnant en aura varié de :

Si , on obtient une variation de temps coordonnée de sur l'aller retour et le temps propre d'une horloge stationnant en aura varié de pendant cette variation de temps coordonnée.

La suite tout à l'heure...

m@ch3

[mach3]

Je reprends.

Dans le cas (l'horloge va vers l'arrière, puis revient vers l'avant), on a :

et

le rapport des deux est :



Or on sait que et si , , donc . On a donc :



Comme est supérieur ou égal à 1, est toujours plus grand que


Dans le cas (l'horloge va vers l'avant, puis revient vers l'arrière), on a :

et

le rapport des deux est :



Or on sait que et si , , donc . On a donc :



Ce rapport peut être inférieur à 1 (et cela d'autant plus facilement que la vitesse sera faible et gamma proche de 1), donc sera vraisemblablement plus petit que pour des vitesses faibles, et plus grand pour des vitesses élevées.
La vitesse pour laquelle les deux durées sont égales s'obtient ainsi :






m@ch3

[Matmat]

Désolé de cette digression mais juste je voulais faire part de ce qui m'a surpris .
Dans le problème des jumeaux de Langevin, on simplifie le problème en disant que le sédentaire est en mouvement inertiel ,autrement dit on ne tient pas compte du champs gravitationnel terrestre, du coup on maximalise par hypothèse le temps propre du sédentaire, du coup c'est forcément lui le plus vieux.
Souvent l'argument de cette simplification est que ce serait trop compliqué pour les calculs de tenir compte de l'accélération vers le haut subit en permanence par le sédentaire à cause de la terre, mais c'est étonnant comme argument puisque le résultat de Mach3 ne dépend pas de alpha !!

[Archi3]

si, ça dépend de , je crois qu'il a oublié de dire que (c'est ce que j'ai appelé , l'unité de longueur "naturelle" dans ce problème, c'est la longueur propre maximale d'un corps rigide accéléré dont l'avant a une accélération propre ).

sinon, on trouve le même résultat, ouf

[Matmat]

si, ça dépend de

Exact pardon.
Merci

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
La situation que tu décris est une balle qui rebondit entre l'avant et l'arrière de la fusée.
Le temps propre de la balle écoulé entre un aller retour est supérieure à celle de l'horloge du bas et inférieur à celle de l'horloge du haut.
Ceci est dû au fait parce que d'un point de vue théorique:
dans un train de capsules en MRUA, l'accélération doit être plus forte à l'arrière qu'à l'avant du train pour que les capsules restent en contact et donc le temps s'écoule plus lentement à l'arrière qu'à l'avant du train (un observateur au milieu du train verrait l'arrière du train progressivement redschifté et l'avant du train progressivement blueschifté).
il est intéressant de remarquer que l'accélération différentielle des capsule du train engendre un champ de pesanteur artificiel et que qualitativement, on retrouve les mêmes résultats qu'en RG.
Bonne journée

[Mailou75]

Salut mach3,

Trop de termes pour suivre pas à pas alors je prends le résultat

Peux tu confirmer que :
est la longueur de la fusée ?
la position du centre par rapport à l'origine du repère de Rindler ?

Je reste assez étonné que l'accélération (du centre de la fusée) n'entre pas dans le calcul !!?

Merci

..........

Dans le problème des jumeaux de Langevin, on simplifie le problème en disant que le sédentaire est en mouvement inertiel ,autrement dit on ne tient pas compte du champs gravitationnel terrestre, du coup on maximalise par hypothèse le temps propre du sédentaire, du coup c'est forcément lui le plus vieux.

On peux prendre en compte la gravité si on veut : https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6690306

[Archi3]

Salut mach3,



Trop de termes pour suivre pas à pas alors je prends le résultat

Peux tu confirmer que :
est la longueur de la fusée ?
la position du centre par rapport à l'origine du repère de Rindler ?

Je reste assez étonné que l'accélération (du centre de la fusée) n'entre pas dans le calcul !!?

la réponse est donnée 3 posts au-dessus, r_0 est lié à l'accélération, pas à la position du centre (qui est bien sûr à l/2 des extrémités).

[Mailou75]

(...) dont l'avant a une accélération propre

Ok ça roule, c'est au cas où je tente une application numérique "comparée".

Ce soir j'essaye de pousser ma version pour voir où ça mène, mais je ne retrouve plus le nom du site capable de faire des intégrales "justes"
(je me souviens que Wolframa fait des erreurs, et moi j'essaye même pas...)

Merci a+

[Mailou75]

Bon... pas encore vérifié mais j'ai sans doute trouvé la trajectoire, dans le repère de départ, de notre mobile à l'intérieur de la fusée (utile pour un graph uniquement)

Pour la question du temps c'est plus subtil... si je connais à chaque instant son facteur de Lorentz :



accélération du centre de la fusée
vitesse relative du mobile dans la fusée (constante)
temps propre d'un immobile dans le référentiel de départ

... y a-t-il moyen, en intégrant par rapport à je-ne-sais-quoi, de trouver le temps propre "accumulé" par le mobile depuis ?

Merci

[mach3]

Pense au fait que , ca peut faire apparaître des choses. Les formules d'addition des angles version hyperbolique aident aussi ()

Je posterai une résolution dans les coordonnées Lorentz dans les jours qui viennent. Le plus dur c'est de donner la bonne forme à l'équation et d'y reconnaître une dérivée peu connue.

m@ch3

[Mailou75]

En intégrant par rapport à t, qui est la seule variable en fait... je trouve que :



J'ai le droit de faire ça ?
Si oui je tenterai une application numérique un de ces jours pour voir si je trouve comme vous

Merci a +

[Mailou75]

Pense au fait que , ca peut faire apparaître des choses.

A priori c'est déjà la forme la plus condensée de qui ne fait apparaître que les données : , , et
Passer par simplifie la formule mais pas la réalité du calcul

[Archi3]

tu as lu ma réponse ? je pense que le calcul est bien plus simple que ça

La vitesse de l'horloge mobile mesurée localement est . On voit que le temps propre de l'horloge mobile est soit où est le facteur de Lorentz, le signe dépendant de si l'horloge va vers les x croissants ou décroissants. La longueur parcourue par l'horloge étant de L/2 dans un sens ou dans un autre, le temps propre marqué par l'horloge mobile est le même lors d'un aller retour dans les deux sens, c'est , que le voyage ait lieu à l'arrière ou à l'avant.

En revanche le temps propre marqué par l'horloge immobile est le temps . L'équation du mouvement est , x varie de 1 à 1+L/2 si le voyage est vers l'avant, et de 1 à 1-L/2 si il a lieu vers l'arrière.

tu as le temps propre en fonction de ainsi que la trajectoire en fonction de , çça devrait pas être très compliqué de trouver en fonction de . Je n'ai pas eu besoin de tangentes hyperboliques ...

[mach3]

tu as lu ma réponse ? je pense que le calcul est bien plus simple que ça

Je crois que Mailou travaille en coordonnées de Lorentz, c'est pour ça que son calcul est compliqué. Il confirmera.

@mailou : c'est bizarre que tu aies des cosh(tanh(\beta)) ou sinh(tanh(\beta)). Déjà des tanh(\beta) c'est bizzare. fautes de frappes ?

m@ch3

[Archi3]

j'étais pas très sur de ce qu'il voulait dire par

temps propre d'un immobile dans le référentiel de départ

le "référentiel de départ", c'est le référentiel inertiel par rapport auquel la fusée accélère ?
dans ce cas effectivement ce n'est pas le même t, le mien est le temps propre d'un observateur immobile au centre de la fusée , qui accélère avec constant. Après ce n'est pas très difficile de trouver le lien entre ce temps propre et le temps du référentiel inertiel, je laisse Mailou faire ça, il adore ça