Equation différentielle simple avec problème de Cauchy d'ordre 2

[Daniel1958]

Bonjour

J'ai besoin d'aide sur une équation différentielle simple mais avec une condition aux limites.

Je cherchais à retrouver la donnée temporelle suivante

La collision entre la galaxie d'Andromède et la Voie lactée est la coalescence qui, selon les observations actuelles, se produira dans approximativement 4,6 milliards d'années

J'ai pris les données de base suivantes sur Wikipédia base masse solaire * nb d'étoiles (plus masse noire)
Voie lactée : 3,8 10⁴²kg M31 (Andromède) 2,5 10⁴²kg
Distance 2,54 10⁶ Al soit 2,403 10¹⁹ km
Vitesse initiale 120 Km/s et j’ai bêtement appliqué "une bouillie de prorata" de vitesse initiale + vitesse acquise à fur et à mesure par le champ gravitationnel qui augmentait avec la réduction de la distance à partir de la loi de Newton
Bien sûr les deux galaxies étaient devenues deux masses points et les frottements absents

Mais j'avais tous faux (merci Paralloid Hyperbolic) il fallait que je passe par des équations différentielles liées à la dynamique du problème à deux corps.

On arrive à l’équation suivante d²r/dt² = -GM/r² Avec M la masse totale des deux galaxies.
Oui mais on a une vitesse initiale de 120 Km/s en rapprochement Cela donnerait une équation différentielle simple avec problème de Cauchy d'ordre 2

Mais si je combine d²r/dt² = -GM/r² avec V initiale = 120 km/s cela revient à dire que dans tous les cas V=120 Km/s (condition initiale)
Hors V initiale = 120Km/s est une condition initiale mais dites aux limites (si j'ai compris).

Et je suis perdu. Avez une solution plus simple ?

Ici la relativité et la vitesse d'expansion n'ont pas leur place.


Cordialement
-----

[Sethy]

Le plus simple est de travailler de manière numérique.

X0 = distance initiale.
V0 = vitesse initiale.

1) on détermine l'accélération a = -GM / X0².

2) on choisi un incrément de temps, disons DeltaT = 1 année

3) on se rappelle que V = V0 + a . Delta T

4) et que X = X0 + V . Delta T

5) cela nous donne un nouveau X et un nouveau V et on reprend à l'étape 1 en calculant la nouvelle accélération, puis ...

[gts2]

Bonjour,

Un calcul en ordre de grandeur (loi de Kepler) donne 5,7 milliards d'année.

[ThM55]

En fait après une première intégration ça devient un problème différentiel d'ordre 1, pas 2. C'est pour cela qu'on a introduit l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. NB: il faut utiliser la masse réduite, les deux galaxies ont en effet des masses comparables.

Par un procédé bien connu, on intègre une première fois et on obtient l'équation



où C est la constante d'intégration. Pour la déterminer, on met dans r la distance initiale et dans dr/dt la vitesse initiale. Ensuite on calcule une primitive, ou bien si on est trop fatigué on fait tourner un logiciel de calcul symbolique. Et ceux qui ont encore ce genre de chose dans leur bibliothèque cherchent dans une table d'intégrales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Daniel1958]

Le plus simple est de travailler de manière numérique.

X0 = distance initiale.
V0 = vitesse initiale.

1) on détermine l'accélération a = -GM / X0².

2) on choisi un incrément de temps, disons DeltaT = 1 année

3) on se rappelle que V = V0 + a . Delta T

4) et que X = X0 + V . Delta T

5) cela nous donne un nouveau X et un nouveau V et on reprend à l'étape 1 en calculant la nouvelle accélération, puis ...

Bonjour

Ben c'est exactement "l'esprit" de ma première solution ou j'avais pris le calcul d'un petit g annuel pour la Voie Lactée et Andromède qui sont en rapprochement donc T Voie lactée = T Androméde. les ecart étaient dus aux pb d'arrondis
et je réduisais la distance année par année et j'incorporais la vitesse initiale. Mais c'était de la bidouille car j'utilisais la loi de Newton et elle ne tient dans ce cas pas compte des forces externes.

TOTAL répartition PARCOURUE
2,40E+22 39,68% 9,54E+21 Mvl
2,40E+22 60,32% 1,45E+22 M31
Temps de Rapprochement
calcul avec 120 Km/s
2,00E+17 6 349 885 845 temps en années 100 000 al 9,4608E+20 arrondi 1,00E+21
Calculs
G Mm31 Mvl Distance réduction F gm31 gvl VM31 VVl
1 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,40E+22 0 1,10E+30 4,39E-13 2,89E-13 7,60E+04 5,00E+04
2 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,30E+22 1,00E+21 1,19E+30 4,78E-13 3,14E-13 8,00E+04 5,26E+04
3 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,20E+22 1,00E+21 1,31E+30 5,22E-13 3,44E-13 8,44E+04 5,55E+04
4 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,10E+22 1,00E+21 1,43E+30 5,73E-13 3,77E-13 8,92E+04 5,87E+04
5 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,00E+22 1,00E+21 1,58E+30 6,32E-13 4,16E-13 9,44E+04 6,21E+04
6 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,90E+22 1,00E+21 1,75E+30 7,00E-13 4,60E-13 1,00E+05 6,60E+04
7 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,80E+22 1,00E+21 1,95E+30 7,80E-13 5,13E-13 1,07E+05 7,03E+04
8 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,70E+22 1,00E+21 2,18E+30 8,74E-13 5,75E-13 1,14E+05 7,50E+04
9 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,60E+22 1,00E+21 2,47E+30 9,86E-13 6,49E-13 1,22E+05 8,05E+04
10 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,50E+22 1,00E+21 2,80E+30 1,12E-12 7,38E-13 1,32E+05 8,66E+04
11 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,40E+22 1,00E+21 3,22E+30 1,29E-12 8,47E-13 1,42E+05 9,37E+04
12 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,30E+22 1,00E+21 3,73E+30 1,49E-12 9,82E-13 1,55E+05 1,02E+05
13 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,20E+22 1,00E+21 4,38E+30 1,75E-12 1,15E-12 1,69E+05 1,11E+05
14 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,10E+22 1,00E+21 5,21E+30 2,08E-12 1,37E-12 1,87E+05 1,23E+05
15 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,00E+22 1,00E+21 6,30E+30 2,52E-12 1,66E-12 2,08E+05 1,37E+05
16 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 9,03E+21 1,00E+21 7,77E+30 3,11E-12 2,04E-12 2,34E+05 1,54E+05
17 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 8,03E+21 1,00E+21 9,83E+30 3,93E-12 2,59E-12 2,67E+05 1,75E+05
18 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 7,03E+21 1,00E+21 1,28E+31 5,13E-12 3,37E-12 3,09E+05 2,04E+05
19 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 6,03E+21 1,00E+21 1,74E+31 6,97E-12 4,59E-12 3,68E+05 2,42E+05
20 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 5,03E+21 1,00E+21 2,50E+31 1,00E-11 6,59E-12 4,51E+05 2,97E+05
21 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 4,03E+21 1,00E+21 3,90E+31 1,56E-11 1,03E-11 5,81E+05 3,82E+05
22 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 3,03E+21 1,00E+21 6,90E+31 2,76E-11 1,82E-11 8,12E+05 5,34E+05
23 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,03E+21 1,00E+21 1,54E+32 6,15E-11 4,05E-11 1,32E+06 8,72E+05
24 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,03E+21 1,00E+21 5,97E+32 2,39E-10 1,57E-10 3,32E+06 2,18E+06
MOYENNE 4,05E+31 1,62E-11 1,07E-11 3,97E+05 2,61E+05
CORRIGEE 7,26E+30 2,90E-12 1,91E-12 1,94E+05 1,28E+05
M31 Distance 1,45E+22 Soit T 7,48E+16 2 371 956 674 Al
Mvl Distance 9,54E+21 Soit T 7,48E+16 2 372 181 524 Al


Mais je vais demain suivre ton exemple sur l'équation de la dynamique.

Merci

Cordialement

[Daniel1958]

Bonjour,

Un calcul en ordre de grandeur (loi de Kepler) donne 5,7 milliards d'année.

Bonjour

Quelle est la loi car là je ne vois pas du tout.


Cordialement

[gts2]

Raisonnement en dimensions qui donne les 5,7 milliards d'année.
A rapprocher de la troisième loi de Kepler qui donne la période d'une planète.

[Daniel1958]

En fait après une première intégration ça devient un problème différentiel d'ordre 1, pas 2. C'est pour cela qu'on a introduit l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. NB: il faut utiliser la masse réduite, les deux galaxies ont en effet des masses comparables.

Par un procédé bien connu, on intègre une première fois et on obtient l'équation



où C est la constante d'intégration. Pour la déterminer, on met dans r la distance initiale et dans dr/dt la vitesse initiale. Ensuite on calcule une primitive, ou bien si on est trop fatigué on fait tourner un logiciel de calcul symbolique. Et ceux qui ont encore ce genre de chose dans leur bibliothèque cherchent dans une table d'intégrales.

Bonsoir

Si je comprends un peu ma condition initiale n'est pas une équation différentielle avec un problème de Cauchy. Il faut intégrer tout de suite la vitesse initiale (ou changer de point de vue) travailler sur la Masse totale = 2 Masses (Vl ou Androméde) ?
Donc la solution d²r/dt² = -GM/r² Avec M la masse totale des deux galaxies n'est pas la bonne. Il est vrai qu'elle ressortait d'une étude pour exprimer mathématiquement qu'à la base (au Big Bang) les deux galaxies étaient au point Zéro même si elles étaient en devenir (inexistantes).

Je vais tenter aussi demain de m'en sortir (en travaillant aussi cette équation) de ce problème que je croyais simple. C'est loin d'être le cas et on bloque facilement sans un minimum de base théorique. J'ai WM maxima comme logiciel de calculs (un peu capricieux il ne faut pas se tromper) et une calculette HP (c'est bien pour faire de jolis tracés de belles courbes rapidement pour le reste ???)

Cordialement et merci

[Daniel1958]

Raisonnement en dimensions qui donne les 5,7 milliards d'année.
A rapprocher de la troisième loi de Kepler qui donne la période d'une planète.

Re
D'accord je n'y avait jamais songé même pas une seconde.
Le résultat est très près du résultat final. Il y une équipe qui a trouvé je crois 5,2 Milliards en utilisant les équations Mond (au lieu des masses avec la matière noire)
Superbe précision.

Cordialement

Là aussi je vais voir

[coussin]

Il y a une formule analytique pour le temps de coalescence pour le problème à 2 corps. J'ai la flemme de la rechercher par contre... Mais je sais que ça existe.

[coussin]

Trouvé : https://physics.stackexchange.com/qu...tonian-gravity

[Daniel1958]

Trouvé : https://physics.stackexchange.com/qu...tonian-gravity

Bonjour

Merci rien que ce soir les idées m'ont faire faire un bond de .....géant (pas moi le bond). Faut dire que j'étais scotché avec la vitesse initiale.

Au départ on m'avait dit "oh c'est simple il n'y même pas de relativité ni d'expansion" Ben non il faut être Physicien. Ce n'est simple que d'apparence.
Je retrouve la démarche de THm55.

Cordialement

[coussin]

Rien que par analyse dimensionnelle, on a déjà le plus gros du résultat comme indiqué par gts2. Il se trouve dans ce cas que la facteur pi/sqrt(8), que ne vous donne pas l'analyse dimensionnelle, est très proche de 1
La chose la moins intuitive, à mon sens, sont les masses qui apparaissent via leurs sommes et non pas, par exemple, via une masse réduite.

[Daniel1958]

Rien que par analyse dimensionnelle, on a déjà le plus gros du résultat comme indiqué par gts2. Il se trouve dans ce cas que la facteur pi/sqrt(8), que ne vous donne pas l'analyse dimensionnelle, est très proche de 1
La chose la moins intuitive, à mon sens, sont les masses qui apparaissent via leurs sommes et non pas, par exemple, via une masse réduite.

Re

Sans me défausser, car on me l'avait communiquée via un document de travail qui la contenait. C'était celui d'une équipe qui avait ensuite tout pris en compte dans un véritable travail de longue durée (forces de frottements et autres mouvement spiralés).
d²r/dt² = -GM/r² avec M la masse totale des deux galaxies ressortait pour exprimer mathématiquement qu'à la base (au Big Bang) les deux galaxies (bien sûr inexistantes) étaient distantes de 0. Aprés bien sûr avec l'expansion les galaxies se retrouvaient distantes. Ce ne devait pas être l'équation finale. Mais quand on n'a rien à "gratter" et que l'on piétine (pour éviter le problème à deux corps) on prend un peu ce qui vient.

Facile qu'ils disaient (sur le forum) et ben non la physique classique non relativiste reste difficile.

Cordialement

[Black Jack 2]

Bonjour

Ben c'est exactement "l'esprit" de ma première solution ou j'avais pris le calcul d'un petit g annuel pour la Voie Lactée et Andromède qui sont en rapprochement donc T Voie lactée = T Androméde. les ecart étaient dus aux pb d'arrondis
et je réduisais la distance année par année et j'incorporais la vitesse initiale. Mais c'était de la bidouille car j'utilisais la loi de Newton et elle ne tient dans ce cas pas compte des forces externes.

TOTAL répartition PARCOURUE
2,40E+22 39,68% 9,54E+21 Mvl
2,40E+22 60,32% 1,45E+22 M31
Temps de Rapprochement
calcul avec 120 Km/s
2,00E+17 6 349 885 845 temps en années 100 000 al 9,4608E+20 arrondi 1,00E+21
Calculs
G Mm31 Mvl Distance réduction F gm31 gvl VM31 VVl
1 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,40E+22 0 1,10E+30 4,39E-13 2,89E-13 7,60E+04 5,00E+04
2 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,30E+22 1,00E+21 1,19E+30 4,78E-13 3,14E-13 8,00E+04 5,26E+04
3 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,20E+22 1,00E+21 1,31E+30 5,22E-13 3,44E-13 8,44E+04 5,55E+04
4 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,10E+22 1,00E+21 1,43E+30 5,73E-13 3,77E-13 8,92E+04 5,87E+04
5 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,00E+22 1,00E+21 1,58E+30 6,32E-13 4,16E-13 9,44E+04 6,21E+04
6 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,90E+22 1,00E+21 1,75E+30 7,00E-13 4,60E-13 1,00E+05 6,60E+04
7 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,80E+22 1,00E+21 1,95E+30 7,80E-13 5,13E-13 1,07E+05 7,03E+04
8 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,70E+22 1,00E+21 2,18E+30 8,74E-13 5,75E-13 1,14E+05 7,50E+04
9 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,60E+22 1,00E+21 2,47E+30 9,86E-13 6,49E-13 1,22E+05 8,05E+04
10 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,50E+22 1,00E+21 2,80E+30 1,12E-12 7,38E-13 1,32E+05 8,66E+04
11 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,40E+22 1,00E+21 3,22E+30 1,29E-12 8,47E-13 1,42E+05 9,37E+04
12 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,30E+22 1,00E+21 3,73E+30 1,49E-12 9,82E-13 1,55E+05 1,02E+05
13 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,20E+22 1,00E+21 4,38E+30 1,75E-12 1,15E-12 1,69E+05 1,11E+05
14 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,10E+22 1,00E+21 5,21E+30 2,08E-12 1,37E-12 1,87E+05 1,23E+05
15 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,00E+22 1,00E+21 6,30E+30 2,52E-12 1,66E-12 2,08E+05 1,37E+05
16 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 9,03E+21 1,00E+21 7,77E+30 3,11E-12 2,04E-12 2,34E+05 1,54E+05
17 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 8,03E+21 1,00E+21 9,83E+30 3,93E-12 2,59E-12 2,67E+05 1,75E+05
18 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 7,03E+21 1,00E+21 1,28E+31 5,13E-12 3,37E-12 3,09E+05 2,04E+05
19 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 6,03E+21 1,00E+21 1,74E+31 6,97E-12 4,59E-12 3,68E+05 2,42E+05
20 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 5,03E+21 1,00E+21 2,50E+31 1,00E-11 6,59E-12 4,51E+05 2,97E+05
21 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 4,03E+21 1,00E+21 3,90E+31 1,56E-11 1,03E-11 5,81E+05 3,82E+05
22 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 3,03E+21 1,00E+21 6,90E+31 2,76E-11 1,82E-11 8,12E+05 5,34E+05
23 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 2,03E+21 1,00E+21 1,54E+32 6,15E-11 4,05E-11 1,32E+06 8,72E+05
24 6,67E-11 2,50E+42 3,8E+42 1,03E+21 1,00E+21 5,97E+32 2,39E-10 1,57E-10 3,32E+06 2,18E+06
MOYENNE 4,05E+31 1,62E-11 1,07E-11 3,97E+05 2,61E+05
CORRIGEE 7,26E+30 2,90E-12 1,91E-12 1,94E+05 1,28E+05
M31 Distance 1,45E+22 Soit T 7,48E+16 2 371 956 674 Al
Mvl Distance 9,54E+21 Soit T 7,48E+16 2 372 181 524 Al


Mais je vais demain suivre ton exemple sur l'équation de la dynamique.

Merci

Cordialement

Bonjour,

Il semble que la masse de la voie lactée que tu utilises est bien trop grande.

Piqué sur le net :

La masse totale de la Voie Lactée est estimée à seulement 2,06 X 10^11 masses solaires.
Elle est donc réévaluée à la baisse, avec un facteur quatre à cinq fois moindre que des estimations antérieures qui la donnaient à 10^12 masses solaires.

On aurait donc m(VL) = 2,06 * 10^11 *10^30 = 4,12.10^41 kg

En prenant cette valeur pour m(VL) et en conservant tes valeurs pour le reste.

On trouve que l'accélération est a = [(6,67.10^-11 * 4,12.10^41 * 2,5 * 10^42) * (1/(4,12.10^41) + 1/(2,5.10^42)]/x² = 1,942.10^32/x²

Connaissant x(0), on peut calculer a(0)
et en déduire la vitesse après un incrément de temps (delta t)
... et en tirer la nouvelle valeur de x
Et on recommence ainsi de suite.

En utilisant un tableur, avec les valeurs initiales indiquées (avec la masse de la voie lactée corrigée) ...
On trouve que la collision a lieu après 4,12 milliards d'années.

Voila les quelques premières des 10000 lignes du tableur et le graphe de la distance avec le temps (exprimé en s sur le graphe)

Evidemment, si on modifie les conditions initiales (masses ou autres), la durée calculée est aussi modifiée.

[Daniel1958]

Bonjour


Merci j'avais vu brièvement ça aussi et je me suis dit ce n'est pas possible j'ai mal vu je laisse tomber

La masse totale de la Voie Lactée est estimée à seulement 2,06 X 10^11 masses solaires.
Elle est donc réévaluée à la baisse, avec un facteur quatre à cinq fois moindre que des estimations antérieures qui la donnaient à 10^12 masses solaires.

Comment est-ce possible ? , surtout dans de telles proportions et ils ont utilisé aussi le théorème du viriel cf extrait de technosciences.net

Le théorème du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimés à partir des observations et l'énigme de la matière noire. Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité, on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible

Je n'arriverai jamais à bout de ce calcul sniff

Je plaisante

Merci pour la rectification

Je vais essayer toutes les méthodes et comparer