Je vois que tu essaies toujours de voir le contenu mathématique.

Mais pour l'intégrale de chemin en mécanique quantique, avant de s'embarquer dans les difficultés mathématiques (par exemple définir des intégrales fonctionnelles avec une méthode générale à la Lebesgue), je crois qu'il est important d'en saisir l'esprit de manière heuristique tel que Feynman l'avait proposé. C'est à dire l'idée qu'autour de la solution classique, qui extrémise l'action, disons dans un voisinage à définir autour de cette solution, des trajectoires différentes ne donnent plus un extrémum de l'action mais les oscillations du facteur interfèrent destructivement.

Ceci n'est aucunement rigoureux en toute généralité (comme tu le verras si tu essaies de définir avec ça une généralisation fonctionnelle de la TF). Toutefois, il ne faut pas donner l'impression que c'est une blague. En effet, pour l'oscillateur harmonique l'intégrale de chemin admet par un processus de limite, une définition mathématiquement cohérente. Et pour l'oscillateur anharmonique, avec par exemple une force de rappel avec un terme non linéaire en -q^3, on peut procéder par perturbations si ce terme n'est pas trop grand. On traite d'ailleurs l'oscillateur quantique et le mouvement brownien exactement de la même manière, avec les mêmes suites d'équations. On peut même les fusionner en un même texte en écrivant où H est cette fois soit hermitien, soit antihermitien (et dans ce cas on écrit H=iH', H' étant hermitien), c'est une question de prolongement analytique. Mais du point de vue mathématique, en tant qu'intégrales dans un espace fonctionnel, ce n'est pas la même chose. Le but, les grandeurs intéressantes à en tirer pour la physique, n'est pas le même non plus mais ceci est évident.