L'espace-temps en termes de fibré vectoriel

[Les Terres Bleues]

Bonjour,

Après une très longue absence, c’est avec beaucoup de plaisir que je reviens sur le forum pour partager une petite réflexion de physique théorique.

On peut se représenter l’espace-temps classique comme un fibré vectoriel ayant pour base la droite projective réelle, qualifiée de temps, et où la fibre est l’espace tridimensionnel. De cette façon, chaque instant se voit associé à un espace tridimensionnel indépendant des autres.
En procédant de manière identique, si on choisit de prendre pour base le plan projectif réel et un espace vectoriel réel également de dimension deux, constituant la fibre, on obtient alors l’espace-temps à quatre dimensions de Minkowski utilisé en Relativité générale.

Et donc ma question est très simple : pourquoi n’utilisons-nous pas cette possibilité pour nous rapprocher quelque peu d’une éventuelle unification en termes de fibré ?
-----

[stefjm]

Bonjour,
Content de te revoir.
Je n'ai pas bien compris, mais je ne suis pas du tout à l'aise avec les fibrés...

[ThM55]

L'intérêt de la notion de fibré est qu'elle décrit, via la variation des fibres en fonction du point de la base, des propriétés topologiques qu'un simple produit cartésien ne peut capturer. Bien sûr tout produit cartésien est un fibré, donc on peut formaliser d'un grand nombre de manières un espace vectoriel comme un fibré, avec un sous-espace pris comme base et son supplémentaire comme fibre. Mais c'est un fibré trivial et ce formalisme n'apporte rien. C'est dans la manière dont les fibres se recollent globalement que la notion de fibré apporte quelque chose d'intéressant, comme par exemple le groupe d'holonomie d'une connexion.

La notion de fibré est utilisée en physique pour formaliser celle de connexion et ses propriétés topologiques qui peuvent être non triviales. Par exemple pour le monopôle magnétique. La fibre est dans ce cas "en dehors" de l'espace-temps, l'espace-temps est l'espace de base.

[pimart]

Bonjour, je ne comprends pas exactement ce que vous voulez dire. Je n'ai donc que des commentaires "peut-être reliés" à faire. La relativité générale décrit l'espace-temps comme une variété Riemannienne. Si vous voulez ajouter une structure de fibration non-triviale, vous décrirez alors des espaces-temps avec topologie non-triviale, potentiellement non-orientables, avec des closed-timelike-curves, violant la parité, etc. En général, il y a des contraintes très fortes sur ce genre de scénarios. La question de la topologie de notre univers est ouverte si je crois bien, mais l'expérience Planck penche très fortement vers une topologie triviale pour notre univers.

Je ne vois pas trop l'intérêt de considérer une fibration sur le plan, mais le même genre de problèmes vont se poser. Un point relié qui peut-être pourra vous intéresser est la question de formuler la physique dans des espaces-temps de signature (++--), dits "split signature" en anglais. (C'est différent que d'essayer d'avoir 2 temps.) Cette formulation complexifie l'espace-temps et modifie un certain nombre de concepts, mais peut se trouver utile dans certains cas, comme dans la théorie des twisteurs, telle que décrite par Penrose originellement. Il s'agit de concepts techniques, durs à expliquer, donc je n'essayerai pas. C'est principalement utile pour décrire les configurations dits "auto-duales" dans les théories des champs. Vous pouvez jeter un œil sur ce papier classique de Witten https://arxiv.org/pdf/hep-th/0312171 par curiosité, et sur ces notes de cours à destination d'étudiants de master/doctorat, peut-être plus accessible, par Tim Adamo https://arxiv.org/pdf/1712.02196.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Un fibré non trivial peut être obtenu par une topologie différente de l'espace de base mais pas seulement: cela peut être dû à la manière dont la fibre est recollée (cf différence entre cylindre et bande Moebius).

Et effectivement, la complexification, les variété de Kähler, la correspondance de Penrose, tout cela est très riche, mais quel rapport avec l'idée du premier message qui était de considérer l'espace comme une fibre au dessus de l'axe du temps? Je dois dire que je ne comprends plus rien à la question; j'ai peut-être répondu à côté mais à ma décharge je dirais que la question n'est pas claire.

[Les Terres Bleues]

Merci pour vos contributions. En même temps je présente mes excuses pour avoir avancé une question qui ne paraît pas très claire, mais qui pourtant dans mon esprit l’était.

Voilà en quelques mots l’idée à la base de ma question : puisqu’il est possible de représenter en termes de fibrés vectoriels l’espace-temps de la physique quantique et celui de la Relativité générale, pourquoi ne pas rechercher bien au-delà des quatre dimensions usuelles un fibré qui engloberait les deux théories sans les remettre en cause ? La topologie restant à définir.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Si je peux me permettre, est ce que vous pouvez me détailler le passage suivant,

En procédant de manière identique, si on choisit de prendre pour base le plan projectif réel et un espace vectoriel réel également de dimension deux, constituant la fibre, on obtient alors l’espace-temps à quatre dimensions de Minkowski utilisé en Relativité générale.

Pourquoi un fibré de la forme, s'identifie à un espace de Minkowski ? Pouvez vous être plus précis là-dessus ?

Merci d'avance.

[Les Terres Bleues]

Bonsoir,

Si je peux me permettre, est ce que vous pouvez me détailler le passage suivant,

Pourquoi un fibré de la forme, s'identifie à un espace de Minkowski ? Pouvez vous être plus précis là-dessus ?

Merci d'avance.

Un fibré peut s’identifier à un espace de Minkowski lorsque sa structure locale ou globale reflète les propriétés géométriques de l’espace-temps de la relativité restreinte. Cela dépend du type de fibré et du contexte physique ou géométrique dans lequel il est utilisé.

[fro]

Bonjour Les Terres Bleues

Ta question m'a intéressé, merci.
Je l'ai reposé à ChatGPT et voici sa réponse ci dessous.
J'avoue ne pas être en mesure de comprendre toutes les subtilités qu il y a dans cette réponse.
mais la phrase principale est pour moi "cela imposerait une structure globale privilégiée, incompatible avec la covariance "
La phrase 3 est simplement la conséquence de la première.
Peux tu préciser ton idée?


ChatGPT:
"On n’utilise pas une base projective pour l’espace-temps parce que :
1 cela imposerait une structure globale privilégiée, incompatible avec la covariance,
2 la décomposition “base × fibre” n’a rien de canonique en relativité,
3 la signature lorentzienne n’émerge pas naturellement d’une structure projective,
4 dans la physique moderne, les fibrés servent à décrire les champs,
pas à décomposer l’espace-temps.
La géométrisation contemporaine utilise les fibrés — mais l’espace-temps entier est la variété de base, et non une composante projective d’un fibré à 4D.
"

[ThM55]

C'est en gros ce que j'avais expliqué dans ma première réponse. Effectivement, il y a en plus l'invariance sous Lorentz, qui par nature mélange le temps et l'espace, ce qui semble incompatible avec un choix privilégié de l'axe du temps. Ce n'est pas parce qu'on a lu le mot "fibré" dans le résumé d'un article sur Yang-Mills qu'on doit le mettre à toutes les sauces.

[Les Terres Bleues]

Bonjour,
Content de te revoir.

Merci pour ce bon accueil.

[Les Terres Bleues]

ChatGPT:
"On n’utilise pas une base projective pour l’espace-temps parce que :
1 cela imposerait une structure globale privilégiée, incompatible avec la covariance,
2 la décomposition “base × fibre” n’a rien de canonique en relativité,
3 la signature lorentzienne n’émerge pas naturellement d’une structure projective,
4 dans la physique moderne, les fibrés servent à décrire les champs,
pas à décomposer l’espace-temps.
La géométrisation contemporaine utilise les fibrés — mais l’espace-temps entier est la variété de base, et non une composante projective d’un fibré à 4D.
"

Oui, à mon avis il faudrait être davantage constructifs, et rechercher plutôt des solutions que de rester bloqués sur les empêchements.

[ThM55]

Oui, à mon avis il faudrait être davantage constructifs, et rechercher plutôt des solutions que de rester bloqués sur les empêchements.

Tout à fait d'accord. Comment réalisez-vous l'invariance de Lorentz dans ce cadre? Un fibré dont on change la base, voilà quelque chose d'inhabituel, mais pourquoi pas? Il faudrait le formaliser mais je ne vois pas par quel bout prendre le problème.

[Les Terres Bleues]

Si j’avais la réponse, je n’aurais pas posé la question initiale de la même façon. Quoi qu’il en soit, il est toujours possible d’interroger l’Intelligence Artificielle sur ce point.
C’est ce que j’ai fait d’ailleurs il y a quelque temps, et je vous encourage à faire de même.

[Les Terres Bleues]

De la part de Bing Copilote (IA)

Chercher un fibré vectoriel dans des dimensions supplémentaires est une voie déjà explorée par la physique théorique. Elle ne remet pas en cause les deux piliers existants, mais tente de les inscrire dans une architecture plus vaste et cohérente. La vraie question est : quelle géométrie et quelles dimensions supplémentaires correspondent à notre univers réel ?

[ThM55]

"Dans des dimensions supplémentaires". Oui, ça on sait, cela n'a rien de neuf, c'est très développé pour les théories de jauge. Mais dans les dimensions de l'espace-temps pour distinguer le temps des autres dimensions en contradiction avec la relativité, cela demande une explication (que je ne connais pas).

[Les Terres Bleues]

Ce n’est malheureusement pas la seule difficulté à laquelle on est confronté.
Mais, il semble que nous ne soyons pas complètement démunis. Il est possible par exemple de s’appuyer sur la proposition déjà ancienne du professeur Carlo Rovelli d’une physique sans « temps ». En effet, le chronomètre étant arrêté sur la position « instant présent », on peut considérer que ce que nous appelons la durée n’est que la mesure du rapport entre variables de nature spatiale. Et pour différencier l’avant de l’après, il ne serait pas aberrant de faire appel à la notion, assez ancienne également, de géométrie non-commutative d’Alain Connes.
Bien évidemment, il ne s’agit là que de pistes de réflexion. Rien n’est vraiment acquis.

[ThM55]

Rovelli, Connes, bien entendu, j'aurais dû m'y attendre . Tout cela est très vague, rien de précis.

[Les Terres Bleues]

Rovelli, Connes, bien entendu, j'aurais dû m'y attendre . Tout cela est très vague, rien de précis.

Si j’étais plus précis, on me reprocherait de proposer une théorie personnelle.
Je me contenterai donc de dire que notre espace-temps ne possède pas quatre ni cinq ni dix ni onze dimensions mais bien trente-six, et que la plupart des outils nécessaires à une description de « la réalité » n’ont pas encore été créés. Heureusement que nous disposons déjà du concept de fibré vectoriel mais l’essentiel reste encore à construire.

[albanxiii]

Voilà en quelques mots l’idée à la base de ma question : puisqu’il est possible de représenter en termes de fibrés vectoriels l’espace-temps de la physique quantique et celui de la Relativité générale, pourquoi ne pas rechercher bien au-delà des quatre dimensions usuelles un fibré qui engloberait les deux théories sans les remettre en cause ? La topologie restant à définir.

Ajouter des dimensions supplémentaire, par analogie avec la théorie des cordes ?

Mais si je me souviens bien, les dimensions supplémentaires apparaissent naturellement dans la théorie des cordes, elles ne sont pas un point de départ.

Qu'est-ce qui vous fait penser que cette approche est pertinente ?

[Les Terres Bleues]

Ajouter des dimensions supplémentaires, par analogie avec la théorie des cordes ?

Mais si je me souviens bien, les dimensions supplémentaires apparaissent naturellement dans la théorie des cordes, elles ne sont pas un point de départ.

Qu'est-ce qui vous fait penser que cette approche est pertinente ?

De ce que j’en sais (très peu) la théorie des cordes ajoute des dimensions enroulées sur elles-mêmes aux quatre déjà formalisées par la physique classique, la Mécanique quantique ou la Relativité générale, et j’ignore si leur « apparition » est naturelle ou artificielle.
Au contraire, une approche par les fibrés permet de saisir les dimensions comme formant un « lot » insécable d’un nombre plus ou moins élevé de dimensions.
Sur la pertinence de cette approche, je rappellerai ce qu’Einstein disait : « C’est la théorie qui décide de ce qui peut être observé. » Car cela signifie que nos instruments, nos expériences et même nos perceptions sont guidés par le cadre théorique que nous adoptons.
Si la théorie change, ce que nous considérons comme « réel » change aussi.

[stefjm]

Le réel en physique est très glissant.
Mieux vaut ne pas en parler...

[Les Terres Bleues]

Le réel en physique est très glissant.
Mieux vaut ne pas en parler...

J’ai pris la précaution de dire « ce que nous considérons comme réel », mais je suis tout à fait d’accord avec toi sur l’idée de considérer le terme de réel comme sujet à caution.