Méthode de calcul de l'aire d'ombre moyenne d'objets 3D par décomposition géométrique et projection

[Enzo K]

Bonjour,

Je soumets à la discussion une méthode analytique originale pour le calcul de l'aire d'ombre moyenne d'un objet 3D.

Principe : on discrétise le profil f(x) de l'objet (où f(x) est la hauteur de la surface au point horizontal x, et z_max est la hauteur maximale) en N segments, puis on intègre sur z ∈ [0, z_max] la contribution de chaque panneau, pondérée par l'angle solaire α et la pente locale φ. Le facteur 1/z_max donne l'aire moyenne ; sans lui, on obtient le volume d'ombre.

Pour les objets complexes : décomposition en p sous-objets avec ombres disjointes deux à deux → l'aire totale est la somme des aires partielles.

Le vrai défi que je pose à la communauté : il existe un facteur K tel que

A(réelle) = K × A(calculée)

Trouver une formule fermée pour K en fonction de α, φ, N et de la géométrie locale permettrait d'améliorer le ray tracing.

Document Word ci-joint avec toutes les formules et notations :
Méthode de calcul de l'aire d'ombre moyenne.docx

Vos avis sur la rigueur de l'approche et sur les pistes pour K sont les bienvenus.
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[gts2]

Bonjour,

Comme dans la précédente discussion, je ne comprends toujours pas votre formule, illustrer votre formule par un dessin serait une bonne chose.

Autre chose : mettre en forme votre formule pour être sûr de la comprendre : est-ce
?

Il y a eu des propositions de test sur une sphère, je propose de tester simplement sur un carré, est-ce que cela donne la bonne valeur ?

[Enzo K]

Rebonjour,

Merci pour votre retour. Je vais mieux vous expliquer ma formule. Prenons ensemble l'exemple d'une sphère. Ma formule calcule l'aire moyenne des aires des ombres projetées par chaques tranches de la sphère. Donc, sur une tranche j'applique la méthode des trapèzes, et je projette sur chaque intervalle [x(k),x(k+1)], et cela afin de modéliser grâce à la fonction f(x) le profil de la tranche.
Ma formule calcule l'aire de l'ombre moyenne i.e. moyenne sur les aires des ombres projetées sur chaque tranche d'où le terme en 1/zmax.
J'ai besoin de votre aide si vous l'acceptez pour trouver le facteur correctif K afin de ramener l'aire moyenne à l'aire réelle c'est-à-dire l'aire visible.

[Enzo K]

Rebonjour,

Ci-joint vous trouverez une animation 3D afin de mieux comprendre ma formule :
loi_ombre_sections_horizontales.zip

[A voir en vidéo sur Futura]

[Enzo K]

Le terme à côté du 1/2 est : f(x(k) +tan(phi)f(x(k))) + f(x(k+1) +tan(phi)f(x(k+1))).

[Enzo K]

Pour un cube de côté c, j'obtiens avec ma formule une aire moyenne de A = (c^2/(2*tan(alpha))) - c^2.

[Enzo K]

J'ai également une piste pour trouver le K d'un objet complexe en prenant une combinaison linéaires des K des objets élémentaires tels que le cube, la sphère, le cylindre,... dont on connait leur aire réelle dans la littérature.

[gts2]

Pour un cube de côté c ... A= (c^2/(2*tan(alpha))) - c^2.

J'obtiens, à l'aide de la figure suivante (coupe perpendiculaire à x) :



C'est ce genre de figure que vous devriez fournir indiquant z/tan(α), le terme en f et tan(φ) et la différence entre les deux.

[Enzo K]

Rebonjour,

Vous avez calculé l'aire de l'ombre réelle. Ma formule propose l'aire de l'ombre moyenne, d'où l'utilisation d'un facteur K correctif.

Merci pour votre commentaire, qui est très constructif.

[gts2]

Désolé, j'avais mal compris le problème : je ne sais pas ce qu'est une ombre moyenne.

[Enzo K]

Ce n'est pas grave. J'ai également eu beaucoup de mal à le mettre en forme, à traduire ce que je visualisais en formulation scientifique. Une ombre moyenne ne représente pas l'aire de l'ombre que l'on peut calculer en voyant l'ombre réellement mais on peut s'y ramener en connaissant le K, c'est ce facteur qui fait le pont entre aire moyenne et aire réelle que vous avez bien calculé. Je pose donc ce défi qui est un défi topologique pour trouver une formule générale de K.