Bonjour.
J'espère que vous voudrez bien m'excuser de poser cette question qui va faire rire la plupart d'entre vous mais bon, après tout, c'est un forum...
Quand Feynman écrit qu'en quantique on doit utiliser les nombres complexes, cela signifie que les équations (de 3eme degré par exemple) sont trop difficiles à résoudre avec les nombres réels ou que les nombres complexes apportent une meilleure précision ?
Encore désolé.
Sans forcément rentrer dans les détails, des quantités complexes apparaissent naturellement en mécanique quantique. Par exemple, l'équation de Schrodinger contient explicitement. De sorte que, même si initialement on choisit une solution purement réelle, au cours du temps une partie imaginaire va forcément apparaître.
C'est un débat (un peu technique...) à l'heure actuelle si l'on peut reproduire l'ensemble de la MQ avec seulement des nombres réels. Le consensus actuel, je crois, est que certains aspects de l'intrication quantique ne peuvent pas être décrits par un formalisme purement réel.
Il y a eu un article dans Pour la Science là-dessus.
Les nombres complexes sont incontournables…
Par Sean Bailly
Parcours Etranges
Bonsoir. Quand on a des équations complexes, on peut toujours séparer la partie réelle et la partie imaginaire. On écrit la fonction d'onde sous la forme
Mais n'importe quel mathématicien qui regarde cela d'un oeil distrait verra qu'il y a une structure complexe. Par exemple en l'écrivant sous forme matricielle:
Mais la matrice antisymétrique avec le hamiltonien n'est pas très jolie. Pourrait-on en obtenir une qui soit diagonale? Oui: si je multiplie à gauche par la matrice
Ceci est en apparence plutôt superficiel, mais ce que j'essaie de dire c'est que c'est quelque chose de plus profond, c'est une structure présente dans la théorie et si on ne la prend pas en compte on obscurcit tout inutilement. Car il y a en physique quantique des chose beaucoup plus élaborées que la seule équation de Schrödinger. Par exemple l'espace des états pour plusieurs particules est un produit tensoriel, il y a des états intriqués. Ce serait peut-être possible de s'en tirer avec une version tensorielle de notre opérateur J, mais sûrement beaucoup plus compliqué. Il serait à mon avis difficile de caractériser un opérateur unitaire tel qu'exigé pour décrire les symétries dans une version purement réelle. Je pense que c'est cela que Feynman voulait dire: on peut essayer de s'en passer, les équations ne sont pas plus difficiles à résoudre ni les prédictions moins précises, mais très vite quelqu'un va simplifier en écrivant tout sous forme complexe.
Maintenant, savoir si cette structure complexe est fondamentalement indispensable, s'il serait impossible de créer une théorie différente sans structure complexe interne mais qui donnerait les mêmes résultat expérimentaux déjà connus, c'est une question d'une autre nature, certainement beaucoup plus difficile. Je pense, si je ne me trompe pas, que c'est de cela que parlait cet article dans Pour La Science.
Dans un autre sens, certains ont dans le passé envisagé d'utiliser les quaternions, voir cet article de D.Finkelstein, J.M.Jauch et D.Speiser: https://cds.cern.ch/record/214331 . De vraies difficultés apparaissent à cause de la non-commutativité des quaternions, notamment lorsque l'on doit spécifier les équations pour les systèmes composites avec des produits tensoriels. Une ambiguïté apparaît car il faut faire un choix arbitraire d'ordre de facteurs. Je ne crois pas que ces problèmes aient été résolus mais il faut dire que peu de gens se sont intéressés à ce sujet assez marginal mais pourtant à mon avis intéressant à creuser.
Dernière modification par ThM55 ; 08/06/2026 à 22h59.
Au cours d'une des séances de SaPhyBru (les samedis matins de la Physique à Bruxelles, organisé par des passionnés dans les locaux de l'ULB), l'un d'entre eux justement (Ingénieur civil Physicien) nous parlait des travaux de David Hestenes concernant la géométrie algébrique.
Pour ma part, je suis bien incapable d'en parler, mais il était question entre autre d'algébres de Clifford. Je me souviens qu'il décrit une sorte de nouveau produit vectoriel et qu'il l'explique notamment comme l'orientation d'une surface, ce qui lui permet de le généraliser à des dimensions supérieurs (volume orienté, hyper-volume orienté, etc).
Selon cet ingénieur physicien, ce cadre mathématique permettrait de se passer des complexes.
Tout est toujours plus complexe qu'on (que je) ne le pense de prime abord.
voir aussi, dans PENROSE "à la découverte des lois de l'univers", le chapitre 11 qui présente les quaternions, octonions, algèbre de Clifford, de Grassmann, ... Avec un passage intéressant sur l'impossibilité d'obtenir l'équivalent de fonctions holomorphes avec les quaternions.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
J'ai pas mal réfléchi à ce thème des complexes en physique (et PQ) et en suis arrivé à une conclusion partielle que c'est plus de la philosophie que de la physique ou des mathématiques.
On peut aussi "cacher" les complexes en quotientant les polynômes sur R, R[X] par (1+X^2) et obtenir une structure isomorphe aux complexes.
Mais pas de raison de s'arrêter là!
On peut "cacher" les réels en n'utilisant que les suites de Cauchy.
On peut "cacher" les fractions en utilisant des paires d'entiers.
On peut "cacher" les entiers négatifs en utilisant des paires d'entiers positifs.
Avec à chaque fois la "bonne" relation d'équivalence.
Ce n'est en fait que revenir à une définition possible de la base en utilisant moins de propriété.
Pas sûr que cela apporte quelque chose.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ce sont des remarques très pertinentes. En fait ces définitions mathématiques sont de nature "humaine". Certes, on pourrait étudier la topologie des réels, et l'analyse qui suit, en utilisant uniquement les suites de Cauchy de rationnels, mais ce serait "inhumain" car notre cerveau a naturellement tendance à essayer de se mettre dans des situations confortables, c'est-à-dire ressemblant à ce qu'on connait déjà. Donc on donne une réalité à ces suites de Cauchy, on complète Q et on les fait converger, on montre qu'il y a la bonne relation d'ordre dans les réels, qu'on a un truc qui est localement connexe (progrès par rapport à Q) etc. Si on devait en permanence remonter aux ensembles et aux premiers principes des maths, notre cerveau ne suivrait plus, il se bloquerait. Cela ne répond toutefois pas à une interrogation déjà ancienne: pourquoi ces structures obtenues par complétion, ou par des exigences de fermeture algébrique, qui s'imposent en mathématique, s'imposent-elles aussi en physique? Vladimir Arnold, qui aimait les formules provocantes, disait que les maths sont de la physique dans laquelle les expériences ne sont pas chères. Amusant, mais cela ne répond pas à la question, je ne suis même pas certain que les "expériences" soient si bon marché, surtout quand elles mettent en oeuvre des outils informatiques et enfin je crois qu'il existe des mathématiques très éloignées des applications en physique (quoique...). Finalement, oui, je suis d'accor, c'est une question de nature métaphysique.Envoyé par stefjm
Je ne dirais pas qu'on peut "se passer" des complexes avec les algèbres de Clifford mais qu'elles les englobent dans des structures algébriques plus larges. A ce propos, ile me revient que le livre de Pertti Lounesto sur les algèbre de Clifford et les spineurs (https://www.cambridge.org/core/books...BC612BB5617021 ) consacrait justement un paragraphe à la question de ce fil (p. 146 "Discussion on the role of i in QM"). Il va plus loin que moi, il étudie aussi l'équation de Dirac. Il montre en effet un remplacement du spineur de Dirac dans C^4 par une entité dérivée d'une algèbre de Clifford; trop compliqué à expliquer ici sans l'exposé qui précède. Lounesto était un mathématicien finlandais, un grand expert des algèbres de Clifford. Il était connu pour descendre en flammes de nombreux auteurs qui publiaient des choses erronées sur le sujet. Il est mort par noyade en 2002 pendant des vacances à la plage en Crète.
J'ai aussi un temps fréquenté Saphybru, mais je n'y vais presque plus, je trouve que c'est devenu de plus en plus difficile à cause des travaux sur l'autoroute et les difficultés de parking sur place.
Ce sont les pôles des fonctions méromorphes qui caractérisent les systèmes physiques.
Je vois cela un peu comme un pied de nez de la nature...
Système physique
↓
Équations différentielles
↓
Transformée complexe
↓
Fonction méromorphe
↓
Pôles et résidus
↓
Information physique
Dans de nombreux modèles physiques, les phénomènes observables (résonances, stabilité, temps de relaxation, états quantiques) se traduisent mathématiquement par la structure des pôles d'une fonction méromorphe. C'est l'une des raisons pour lesquelles l'analyse complexe occupe une place centrale dans la modélisation physique moderne.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est certainement un aspect important, mais pas le seul tout de même. Par exemple la symétrie: le fait que le champs physiques peuvent être classifiés comme des représentations de groupes de Lie ou de groupes discrets. Il est tout de même étonnant que les représentations du groupe de Poincaré du spin 1/2 au spin 2 soient toutes réalisées dans la nature sous forme de champs quantiques. Il est très vraisemblable qu'on voie les choses à l'envers, que l'espace-temps de Minkowski avec sa symétrie de Poincaré soit le résultat émergent de choses plus profondes.
Mis en image automatiquement...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Re : Equations en quantique
Merci, c'est joli.
Quelqu'un qui a beaucoup promu ce genre d'idées, c'est Roger Penrose avec les spineurs et ses twistors. Il pensait qu'une description par une géométrie fondée sur les nombres complexes est plus fondamentale. Je suis presque tenté de revenir à Descartes, qui concluait que Dieu n'est pas trompeur et que nos facultés intellectuelles, et non nos sens, nous donnent accès à la vérité. Ou Einstein, qui disait que Dieu est subtil mais pas malicieux, ce qui est finalement très proche de l'énoncé cartésien. Dans ce contexte je dois préciser: "deus, sive natura".
Dernière modification par ThM55 ; 10/06/2026 à 13h57.
A propos du rôle des pôles dans
Je me demande si on pourrait comprendre cela sans avoir recours aux nombres complexes. Un test de convergence le montre sans doute, mais n'éclaire pas la compréhension. Il est remarquable que le comportement de la fonction dans le domaine complexe renseigne sur des calculs qui restent purement dans le domaine réel
Dernière modification par ThM55 ; 11/06/2026 à 13h20.
Cette fonction est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle d'un oscillateur réel : sin(t).h(t)
Les pôles donnent les deux fréquences opposées du sinus, en Fourier : (e^(i.t) + e^(-i.t))/(2.i)
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonsoir à tous,
Si je peux me permettre, est ce que tu peux me dire, ThM55, d'où tu as sorti ces deux expressions :Quand on a des équations complexes, on peut toujours séparer la partie réelle et la partie imaginaire. On écrit la fonction d'onde sous la forme
Merci d'avance.
Je tente ma chance et je prends le poste d'Anonyme comme un exercice.
Merci ThM de corriger
L'équation de Schrödinger dépendant du temps est
Si Schrödinger n'avait pas connu les complexes, il l'aurait écrite sous forme matricielle où
Et donc l'équation aurait été (en Posant
Soit encore en effectuant le produit des matrices :
Ce qui donne bien le système d'équation de ThM.
Tout est toujours plus complexe qu'on (que je) ne le pense de prime abord.
Oui, c'est bien cela. On peut aussi le faire avec la notation complexe habituelle et écrire:
En substituant dans Schrödinger, il vient
Donc en développant:
On égale les parties réelle et imaginaire, en supposant H réel, et on a deux équations réelles. En passant, je vois une erreur de signe dans mes précédents messages, mais cela n'a pas beaucoup d'importance. C'est l'idée générale qui compte pour mon propos.
Dernière modification par ThM55 ; Hier à 08h35.
Vu tes écrits passés, tu devrais savoir que toute équation diff d'ordre n se ramène à un système de n équations diff du premier ordre.Bonsoir à tous,
Si je peux me permettre, est ce que tu peux me dire, ThM55, d'où tu as sorti ces deux expressions :
Merci d'avance.
En complexe, vu la dimension 2 de l'espace vectoriel réel associé, on passe d'une équation diff complexe d'ordre 1 à un système de deux équations diff réelles d'ordre 1.
On peut aussi trouver le résultat en utilisant les exponentielles de matrice.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Merci beaucoup ThM55, Sethy, et stefjm pour toutes ces précisions.
