Enigme des 3 maisons

[invite35452583]

En d'autres termes, si la caractéristique du cylindre est 0, alors la relation s-a/2 >= c ne s'applique qu'aux surfaces sans bord, et il faut une autre formule pour les surface avec bord, genre s-a/2 >= c+b

Oui, il faut une autre formule pour les surfaces à bord qui est celle que tu donnes.

Tu aurais une définition claire d'une face d'un graphe sur une surface quelconque? (Sommet et arête ça va à peu près, avec un bémol pour arête, e.g., nécessité d'orienter l'arête dans le plan projectif pour distinguer le triangle à trois arêtes et une face (AB, BC, CA) du triangle à six arêtes et quatre faces (AB, BA, BC, CB, AC, CA)...)

Cordialement,

Pour moi (je ne suis pas sûr que l'on ait la même définition) un graphe est :
un ensemble de sommets Pi, d'arêtes Aj, et de faces Fk.
Les sommets sont des points.
Les arêtes sont des espaces homéomorphes à l'intervalle de IR [0;1] avec étant le bord (ici les extrémités) de Aj).
Les seuls points multiples de sont les sommets.
Les faces sont des espaces homéomorphes au disque (de IR²) avec ( étant le bord de Fk).
Les seuls points multiples de sont sur les arêtes et les sommets.
L'espace ainsi créé (si c'est "propre" c'est une surface mais ce n'est pas obligatoire : trois disques collés par leur bord sur un même cercle) a une caractéristique d'Euler-Poincaré=f-a+s (sans préciser f,a ets je crois que c'est clair ). Celle-ci est identique pour deux espaces homémorphes, il en est de même pour deux espaces homotopes.

Mais si je prend un bête triangle sur le cylindre, la même "règle" amène à f=1, donc caractéristique 1, non?

Oui (comme un point isolé )
en reprenant tes notations
sphère c=2 b=0 c+b=2
disque c=1 b=1 c+b=2
cylindre c=0 b=2 c+b=2
-----

[invité576543]

Bonsoir,

[Posté par mmy:
Mais si je prend un bête triangle sur le cylindre, la même "règle" amène à f=1, donc caractéristique 1, non?]

Oui (comme un point isolé )

Tu dis oui à caractéristique=1, et immédiatement derrière:

cylindre c=0 b=2 c+b=2

tu dis c=0.

Si je prends ta définition de la notion de face, faire un trou détruit une face (elle n'est plus homéomorphe à un disque de R²). Donc dans le passage sphère -> cylindre, on peut détruire deux faces, ou détruire une seule face (en mettant les deux trous dans la même face, c'est ce qui se passe avec le bête triangle), sans changer le nombre de sommets et le nombre d'arêtes. Ce qui m'apparaît contraire à une définition univoque de la caractéristique.

Je sais que je me répète, mais ça m'énerve de ne pas comprendre!

Merci de ta patience!

Cordialement,

Point annexe, pour vérifier ma compréhension: dans le cas du plan projectif, un simple triangle n'a qu'une face parce qu'il découpe le plan en une face homéomorphe à un disque de R² et un "machin" homéomorphe à un ruban de Möbius, donc pas à un disque de R². C'est ça?

[invite35452583]

Bonsoir,



Tu dis oui à caractéristique=1, et immédiatement derrière:



tu dis c=0.

Tu combleras les trous.

Il y a là un quiproquo, je parle moi de carac(1 triangle plein)=1

[invite35452583]

Mais si je prend un bête triangle sur le cylindre, la même "règle" amène à f=1, donc caractéristique 1, non?

Mais un triangle n'est pas un cylindre, je comprends pas trop ce que tu veux dire là.

[invité576543]

Tu combleras les trous.

Il y a là un quiproquo, je parle moi de carac(1 triangle plein)=1

Ah!

Je parlais d'un graphe à trois sommets et trois arêtes sur le cylindre. Il découpe la surface du cylindre en deux machins, une partie homéomorphe à un disque, une face donc, et un "machin" homéomorphe à un disque avec deux trous (un masque ?) donc pas à un disque, total, une face et f+s-a = 1.

Cordialement,

[invite35452583]

Si je prends ta définition de la notion de face, faire un trou détruit une face (elle n'est plus homéomorphe à un disque de R²). Donc dans le passage sphère -> cylindre, on peut détruire deux faces, ou détruire une seule face (en mettant les deux trous dans la même face, c'est ce qui se passe avec le bête triangle), sans changer le nombre de sommets et le nombre d'arêtes. Ce qui m'apparaît contraire à une définition univoque de la caractéristique.

La sphère avec deux trous est homéomorphe à un cylindre ouvert, OK. Mais s'il y a un graphe sur la sphère on n'obtient pas immédiatement un graphe de ce cylindre (d'ailleurs c'est impossible car si a, f et s sont finis le graphe est compact contrairement au cylindre ouvert).
Quelles sont les moyens pour récupérer un graphe avec la sphère à un trou (comme exemple) ? Comment ce la se traduitpour deux trous dans une face.
1) Soit on utilise un peu d'homotopie (non non pas moi déformation "pâte à modeler" on peut écraser une boule en un point) et on ramène l'intérieur de la face sur les bords (c'est possible grace au trou). Quand il y a deux trous, on ne peut plus (le groupe fondamental invariant par homotopie, c'est le plus simple invariant à montrer, est Z pour un disque à un trou donc le même qu'un cercle, par contre un disque à deux trous c'est Z*Z, produit libre de groupes non abélien).
2) Soit on met un bord "au niveau du trou mais il faut récupérer un graphe, solution la plus simple si le bord de cette face avait n sommets et n arêtes, on fait un bord du même type et on rejoint un à un les sommets du bord de l'ancienne face et les sommets du nouveau bord, on remplit avec des faces. Après le trouage (et donc disparition d'une face, on a ajouté n sommets, n+n arêtes et n faces bilan nul - la face détruite.
Pour deux trous dans la même face ? prenons un cas simple (je te laisse regarder sur plus complexe) le bord était un carré ABCD, on construit un triangle A'B'E' autour du premier trou, et C"D"E" autour du 2nd, on relie AA' BB' CC" DD" E'E", bilan ajout de 6 sommets (3+3, les triangles utour des trous, +4)=10 arêtes en plus et 4 afces en plus, on a encore un bilan nul-la face détruite.

[invité576543]

Et j'ai le même problème avec le tore. Un graphe à trois sommets et trois arêtes peut aussi découper la surface en une face et un "machin" homéomorphe à autre chose qu'un disque, ici un tore avec un trou. Total une face.

La sphère OK: le triangle découpe en 2 faces homéomorphes à un disque.

Cordialement,

[invite35452583]

Ah!

Je parlais d'un graphe à trois sommets et trois arêtes sur le cylindre. Il découpe la surface du cylindre en deux machins, une partie homéomorphe à un disque, une face donc, et un "machin" homéomorphe à un disque avec deux trous (un masque ?) donc pas à un disque, total, une face et f+s-a = 1.

Cordialement,

Mais ton "machin" n'est pas dans le graphe comme je l'ai défini. Tu as trois sommets, sur ceux-ci sont collés des arêtes, sur celles-ci sont collées un disque (le disque à deux trous est "out") donc le graphe avec la définition que j'ai donné est un triangle et il est "normal" de trouver f-a+s=1.

[invite35452583]

Et j'ai le même problème avec le tore. Un graphe à trois sommets et trois arêtes peut aussi découper la surface en une face et un "machin" homéomorphe à autre chose qu'un disque, ici un tore avec un trou. Total une face.

La sphère OK: le triangle découpe en 2 faces homéomorphes à un disque.

Cordialement,

Si tu construis ta surface avec des "trucs" autres que des points, des arêtes et des disques, tu n'as pas un graphe. Ici ton graphe est encore un simple disque (le triangle).
Le tore un vrai graphe trois petits triangles et on rejoint leurs sommets f=9 a=18 s=9 f-a+s=0
Maintenant on peut faire plus compliqué,
carac= somme des caractéristiques des "trucs" avec lequel tu fabriques ta surface.
Ton tore avec trou carac=-1
ton tore tu l'as construit ainsi :
tore=3 points + 3 arêtes + 1 disque + 1 tore troué
tore=3-3+1-1=0
Ton cylindre=3points+3arêtes+disqu e+disque avec deux trous
carac=3-3+1-1=0
Là on est sur une pente glissante car il faut être très précis sur les recollages pour que le calcul de caractéristique soit fiable.

[invité576543]

La sphère avec deux trous est homéomorphe à un cylindre ouvert, OK. Mais s'il y a un graphe sur la sphère on n'obtient pas immédiatement un graphe de ce cylindre (d'ailleurs c'est impossible car si a, f et s sont finis le graphe est compact contrairement au cylindre ouvert).

Il doit y avoir d'autres quiproquo, ou confusion de ma part. Pour moi si je dessine un graphe fini sur une sphère, et que je fais deux trous d'intersection nulle avec les arêtes, alors par déformation j'obtiens toujours un graphe sur le cylindre. Le même en termes de nombre de sommets, nombre d'arêtes, et relations entre sommets et arêtes. La seule différence est dans les faces: une ou deux faces sur la sphère deviennent des "fausses faces", des faces à trou(s).

Cordialement,

[invité576543]

Si tu construis ta surface avec des "trucs" autres que des points, des arêtes et des disques, tu n'as pas un graphe. Ici ton graphe est encore un simple disque (le triangle).

OK. Je crois (?) commencer à voir où est la confusion.

Proposition:

Quand je parle de cylindre ou de tore ou de disque, je parle d'une variété (1) continue, indépendante du graphe que l'on construit dessus. La définition du graphe est la donnée des sommets et des arêtes, les faces se déduisent de la variété. C'est ce que la donnée du problème des trois maisons amène comme idée. On prend la Terre par exemple, et on met les trois maisons quelque part, les trois services ailleurs et on essaye de connecter.

Alors que ce dont tu parles est en gros l'inverse. On part d'un graphe défini "dans le vide" par ses sommets, ses arêtes et ses faces, et on définit la "forme" du graphe par la variété obtenue par l'union des faces.

Du coup, dans ton approche, tout graphe à 3 sommets, 3 arêtes et une face ne peut définir que le disque comme variété, caractéristique 1. La caractéristique est celle du graphe, et elle est partagé par tous les graphes donnant la même variété. (Et non pas, comme je pensais comprendre, partagée par tous les graphes dessinés sur la même variété.)

Cordialement,

(1) variété n'est peut-être pas le bon terme, je veux dire disque/tore/bouteille de Klein/cylindre/(n)-tore/sphère/etc. et les mêmes avec des trous en plus

[invite35452583]

OK. Je crois (?) commencer à voir où est la confusion.

Proposition:

Quand je parle de cylindre ou de tore ou de disque, je parle d'une variété (1) continue, indépendante du graphe que l'on construit dessus. La définition du graphe est la donnée des sommets et des arêtes, les faces se déduisent de la variété. C'est ce que la donnée du problème des trois maisons amène comme idée. On prend la Terre par exemple, et on met les trois maisons quelque part, les trois services ailleurs et on essaye de connecter.

Alors que ce dont tu parles est en gros l'inverse. On part d'un graphe défini "dans le vide" par ses sommets, ses arêtes et ses faces, et on définit la "forme" du graphe par la variété obtenue par l'union des faces.

Du coup, dans ton approche, tout graphe à 3 sommets, 3 arêtes et une face ne peut définir que le disque comme variété, caractéristique 1. La caractéristique est celle du graphe, et elle est partagé par tous les graphes donnant la même variété. (Et non pas, comme je pensais comprendre, partagée par tous les graphes dessinés sur la même variété.)

Cordialement,

(1) variété n'est peut-être pas le bon terme, je veux dire disque/tore/bouteille de Klein/cylindre/(n)-tore/sphère/etc. et les mêmes avec des trous en plus

Oui, et c'est même mieux dit, plus précis que ce que j'ai écrit. (et du coup je me suis rendu compte qu'à force de ne pas être rigoureux j'ai même fait une erreur en arrivant à une fin mais en court-circuitant un problème : les composantes connexes n'ont aucune raison d'être des disques)

Du coup (j'en avais l'intention de toute façon) j'ai rédigé un petit truc sur la caractéristique et les graphes (j'ai repris le vocabulaire qu'on a commencé à prendre ici). Et j'ai ensuite repris plus rigoureusement le problème des "conduites" (J'espère que ça sera plus clair) :
On reprend tout :
1) graphe
2) caractéristique d’un graphe
3) la caractéristique est un invariant topologique
1) Un « graphe » (je laisse tomber les guillemets après) est constitué de sommets (points), d’arêtes (courbes à deux extrémités), de faces (disques déformées mais ni déchirées ni troués), le bord d’une arête est constitué de deux sommets, le bord d’une face est constitué de plusieurs arêtes. Deux arêtes distinctes ne peuvent se couper qu ‘en un sommet. Une face et une arête ne se coupe que si l’arête est (entièrement) dans le bord de la face. Deux faces ne peuvent se couper que sur leur bord.
2) La caractéristique (c) d’un graphe est égal à f-a+s.
3) Celle-ci est un invariant topologique
4) C(surface sans bord)<=2
5) Le collage bord à bord de deux surfaces S1 et S2 donne une nouvelle surface S vérifiant c(S)=c(S1)+c(S2) quelque soit le nombre de bords collés
J’appelle graphe l’ensemble formel des sommets, arêtes et faces, et « surface-graphe » l’espace topologique formé par ceux-ci (attention ma définition n’impose pas que ce soit une vraie surface on peut très bien avoir trois faces collées sur une même arête, je laisse tomber les guillemets aussi après).
Soit deux surfaces-graphes homéomorphes, la bijection continue entre les deux permet de transporter le graphe de l’une sur l’autre. Cette dernière surface-graphe porte donc deux graphes désormais, on peut en fabriquer un 3ème : les sommets en sont les sommets des premiers + les intersections des arêtes de l’un avec celles de l’autre, les arêtes sont des parties des premières arêtes allant d’un nouveau sommet à un autre, les faces sont les composantes connexes de l’espace privé des arêtes des deux graphes initiaux. Les arêtes initiales (grandes arêtes) sont ainsi tronçonnées en plusieurs petites arêtes. Les grandes faces sont désormais constituées de petites faces.
On est donc amené à montrer qu’un « sous-graphe » d’une même surface-graphe donne la même caractéristique que le « sur-graphe ».
Allons-y aux ciseaux : je coupe selon les grandes arêtes d’une même grande face. Et vive le « coup des piquets ». On va ainsi créé de plus en plus de « morceaux » jusqu’au moment où on aura plus que des grandes faces découplées des autres (ça se termine car il y a un nombre fini d’arêtes)
1ère possibilité : la grande face avait tout son bord collé à d’autres grandes faces, le coup de ciseau va faire tout le tour du bord de cette face. Bilan identique pour les deux graphes on a fait deux morceaux avec un seul et on a dédoublé exactement autant d’arêtes que de sommets. Caractéristique du morceau initial=somme des deux morceaux pour les deux graphes.
2ème possibilité : On part du bord d’un morceau pour arriver sur le bord.
1er sous-cas : la face est découplée des autres
2ème sous-cas : elle reste collé (ce qui lui reste de bord collé aux autres était constitué de plusieurs composantes connexes)
Dans les deux cas le coup des piquets indique qu’on a dédoublé un sommet de plus que d’arêtes mais ceci pour les deux graphes.
Caractéristique morceau initial= -1 +
Somme des caractéristiques des deux morceaux (1er sous-cas)
Caractéristique du morceau après coup de ciseau.
Ceci pour les deux graphes.
Quand on a fini de découper, on a F grandes faces et caractéristique du graphe initial= somme des caractéristiques de ces F faces –un certain nombre N de fois –1 mais avec N identique pour les deux graphes. On en est arrivé à montrer que la caractéristique du sous-graphe d’une grande face (un disque en fait) est égal à la caractéristique du sur-graphe de cette grande face=1 (nombre identique de sommets et d’arêtes et une face).
Par récurrence sur le nombre de petites faces. Pour une seule face, on a vu c’est 1.
Si c’est vrai pour toute décomposition en n facettes, prenons une décomposition en n+1 facettes, on fait un coup de ciseau bord à bord, coup des piquets
Cara(grand)=somme des carac des petits –1 (un sommet dédoublé en plus par rapport aux sommets)=1+1-1 (les petits ont moins de n faces).
4) Reprenons ce qui a été fait et montrons qu’une surface avec bord a une caractéristique inférieur à 1. Mais limitons les possibilités de coups de ciseaux (et oublions le sous-graphe), si on a un bord on peut toujours prendre une face sur le bord du morceau et découper le long de ses arêtes on arrive sur le bord et le ou les morceaux restants a ou ont un bord. Maintenant remontons à partir du moment où ona toutes nos faces découplées des autres. A ce début, tous les morceaux ont une caractéristique inférieure à 1. Et, quand on recolle ce qui a été découpé on a au plus pour le nouveau morceau c=c1(+c2)-1<=1(+1)-1, ceci n’augmente pas et peut même diminuer.
Pour une surface sans bord, retirons une face, on a une surface avec bord, un autre qui est un disque (topologiquement parlant) on a c(surface sans bord)=c(1er morceau)+c(disque)=c(1er morceau)+1<=2.
Pour une surface à b bords, on colle un disque sur chaque bord (coup « équivalence trou-suppression d’une face » et non on ne fait pas plusieurs trous dans une même face sinon on ne reconstitue pas un graphe de la même façon cf post détaillant ce problème), on aboutit à c(surface avec b bords)<=2-b
5) Le collage bords à bords (càd on colle x composantes connexes du bord de l’un sur x composantes connexes du bord de l’autre) de deux surfaces S1 et S2 donne une nouvelle surface S vérifiant c(S)=c(S1)+c(S2) quelque soit le nombre x de bords collés. En effet, on prend n1, n2, … arêtes et* sommets pour faire ces bords (en double avant collage) (m^me nombre pour a et s car forment des cercles (c’est ça qui rend simple l’étude des surfaces, en dim 3 et + plusieurs possibilités de recollage entre autres difficultés) et on fait un graphe sur chaque surface en ^partant de ceux-ci (on y arrive toujours) on effectue le(s) collages, on compte avant après et on constate le résultat.

Reprenons un réseau de conduites sur une surface S, les composantes connexes de la surface privé des conduites (ce sont des trucs à bord qui n’ont aucune raison d’être des disques) sont en nombre n.
Commençons avec une surface S sans bord. Une telle composante connexe (C’) est collée par les b composantes connexes de son bord (qui est formé de conduites) sur le reste (R) de la surface S. On construit S’ ainsi S’=R dont on a collé b disques sur ses b bords.
c(S’)>=c(S) car c(S)=c(C’)+c(R)<=2-b+c(R)<=b+c(R)=c(S’) (et il n’y a égalité que si on colle b=1 disque, coller un ruban de Moebius, coller une sphère à b trous c’est perdre des possibilités de la surface).
On fait ceci avec les différentes composantes connexes C’1,C’2,C’3, on a S’1, S’2,… et à la fin on obtient un graphe donnant une surface S’ vérifiant c(S’)>=c(S). On a n=nombre de faces de S’, le nombre d’arêtes et de sommets de S et de S’ sont identiques, n-a+s=c(S’)>=c(S) et n>=c(S)-a+s (l’optimum étant obtenu quand toutes les composantes connexes sont des disques, sinon c(S’)>c(S)).
Avec une surface à bords, on colle des disques sur les bords, on a cette inégalité avec la surface sans bords ainsi obtenue, on retire les disques, on obtient de même n>=c(S)+a-s.

Dans ce problème on a a->2a « liens » arête-face ou arête-trou
F faces->au moins 4 liens face-arêtes ; b trous->au moins 4 liens face-trous
Donc 2a>=4(f+b)>=4(c(S)+a-s)+4b
Et on en arrive à ta formule
s-a/2>=c+b

[invite35452583]

On a n=nombre de faces de S’, le nombre d’arêtes et de sommets de S et de S’ sont identiques, n-a+s=c(S’)>=c(S) et n>=c(S)-a+s (l’optimum étant obtenu quand toutes les composantes connexes sont des disques, sinon c(S’)>c(S)).

il faut lire la partie en rouge n c(S)+a-s

[invite35452583]

Au fait je n'avais pas fait attention.

Pour la bouteille de Klein, je fais un trou sur une face, j'obtiens le ruban de Moebius, d'où les mêmes limites exactement.

Non, c(bouteille de Klein)=0 (comme le tore, on prend un graphe du tore, on découpe selon un chemin fermé non trivial, on découpe, on recolle dans l'autre sens ona la bouteille de Klein avec les mêmes f,a et s.
c(bouteille de Klein avec un trou)=-1 distinct de 0=c(ruban de Moëbius)
Tu es sûr que tu n'as pas troué selon un chemin fermé non trivial.

Je n'arrive pas à trouver de solution 4-4 sur la bouteille de Klein... (Le 3-3 est immédiat, c'est le même que sur Möbius!)

C'est le même que sur le tore :
tore on prend le tore horizontal on trace 4 cercles horizontaux "parallèles" on coupe selon deux plans verticaux et orthogonaux entre eux, ils coupent en 4x4 points on forme 4 carrés avec ces points, les autres arêtes sont formées par les tronçons des 4 premiers cercles. On vérifie aisément que l'on peut les répartir "en maisons et en compagnies".
On coupe selon un des carrés, puis on recolle pour obtenir une bouteille de Klein, on a un "4-4" pour cette surface.
4-5 impossible 3-(3 à 6) possibles.

Et qu'obtient-on en faisant un trou dans le plan projectif?

Moebius, d'après le message précédent (mêmes limites!).

Oui, c(plan projectif)=1 c(même avec un trou)=0 comme le ruban. 3-3 et 3-4 possibles pas 4-4 ni 3-5.

[invité576543]

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver la solution 4-4 pour la bouteille de Klein. Le plus probable est que ma représentation de la bouteille de Klein est fausse. Pour vérifier cela, voilà un graphe que je pense être celui de la bouteille de Klein.

- le graphe est représenté avec les mêmes sommets plusieurs fois pour éviter le plat de spaghetti

- Le graphe a 8 sommets, A..H; une lettre à l'envers est le même sommet que la même lettre à l'endroit

- le graphe a 16 arêtes, dont deux arêtes A-E et deux arêtes C-G (mais A-E-A-E- n'est pas une face); une arête en pointillé est une duplication d'une arête en trait plein

- le graphe a 8 faces carrées, dont l'union est exactement le rectangle rouge

- caractéristique 8+8-16=0

Ce graphe particulier ne permet pas, il me semble, de construire une solution aux connections 4-4.

Mais la question est: est-ce que c'est bien un graphe de la bouteille de Klein? Si la réponse est non (et alors qu'est-ce?), ça explique pourquoi je ne trouve pas la solution!

Cordialement,

[invité576543]

Il y a (au moins) deux fautes dans le dessin: les sommets en haut à gauche et en bas à gauche doivent être resp. F et B...

Cdlt,

[invité576543]

Miantenant que le dessin est validé, je vois qu'il est illisible!

Nouvel essai...

Cdlt,

[jajaloic]

bon a vrai dire j'ai rien compris des précedentes démonstrations, mais je vois que ca amuse...

Bon bah on a qu'a continuer, je propose de prendre un plan (une gallette) et d'y faire N trous, jusqu'a combien de maisons ya a t'il des solutions?

après on peut décliner...
anneau de moebius troué, bouteille de klein troué, cylindre troué, sphère troué...
waaaaaaaaaaaa c'est compliqué!!!

[invité576543]

Bonjour,

Je reviens sur le truc général, parce que je commence à ne plus comprendre les conditions nécessaires et suffisantes.

Le raisonnement me semble donner une conditions nécessaires sur la surface, mais par une condition suffisante.

Résumons.

Clairement on peut restreindre le problème aux surfaces sans bord, les cas avec bords (trous!) s'en dérivant facilement ( pour jajaloic).

Ca donne au moins 4 cas suivant: la sphère, caractéristique 2, le tore et la
bouteille de Klein, caractéristique 0, et le plan projectif, caractéristique 1.

La condition nécessaire pour qu'il existe une solution au problème (n,p) est n+p-np/2 <= c.

Pour (n, 2) la limite est 2, et c'est facile de trouver la solution dans le plan, donc dans tous les cas.

Pour (n,3) la limite est 3-n/2, faut examiner jusqu'à n=6, soit (6,3), (5, 3) et (4,3). Faudrait montrer une solution (6,3) sur le tore et la b.k, et une solution (4,3) sur le p.p.

Pour (n, 4), la limite est 4-n, deux cas à chercher (4,4) sur le tore et la b.k. Sur le tore OK.

Si la condition est suffisante, il manque à exhiber

- (4,4) sur b.k.
- (6,3) sur tore
- (6,3) sur b.k.
- (4,3) sur p.p

Le (4,3) sur le p.p. est immédiat, c'est le graphe face/sommet du demi-cube.

Pour le cas 4-4 sur la b.k, le peu que j'arrive à comprendre de la construction proposée par homotopie ne me permet pas de la construire. En gros, si on a un carré A1B2 dans la solution du tore, si on coupe selon le carré, je ne vois pas comment recoller, parce qu'on ne peut recoller A1B2 avec A2B1 sans croiser, ils ne tournent pas dans le même sens.

Pour le (6,3) sur le tore, je sèche aussi, et je n'ai pas essayé sur la b.k.

Je pose la question, la condition est-elle suffisante???

Cordialement,

Edit: il y a plein d'autres surfaces sans bord, au minimum les n-tores et tout plein de machins non orientables...

[invite35452583]

Bonjour,

Je reviens sur le truc général, parce que je commence à ne plus comprendre les conditions nécessaires et suffisantes.

Le raisonnement me semble donner une conditions nécessaires sur la surface, mais par une condition suffisante.

Tu comprends très bien, seule la nécessité a été montrée. Pour la suffisance des constructions explicites, non forcément mutuellement compréhensibles, le montrent pour des cas particuliers mais pas de résultat général (ne serait-ce partiel) : voilà un beau défi .

[invite35452583]

Pour le cas 4-4 sur la b.k, le peu que j'arrive à comprendre de la construction proposée par homotopie ne me permet pas de la construire. En gros, si on a un carré A1B2 dans la solution du tore, si on coupe selon le carré, je ne vois pas comment recoller, parce qu'on ne peut recoller A1B2 avec A2B1 sans croiser, ils ne tournent pas dans le même sens.

Je vais essayer de reprendre la bouteille de Klein.
Celle-ci peut se construire ainsi :
on prend un rectangle, ABCD
on colle AB sur DC pour obtenir un cylindre
puis on colle AD sur CB quand on va de A vers D sur le rectangle le collage va de C vers B.
On peut le voir ainsi (et j'espère que ça soulèvera les problèmes de sens de rotation et de croisement)
Pour un tore on colle A vers D sur B vers C.
Reprenons le cylindre, on fixe AD on prend l'autre bout de notre tuyau d'arrosage, on le fait passer sans intersection à l'intérieur du tuyau par le "flanc" (c'est possible sans croisement en dimension 4, le cercle d'entrée apparent n'est qu'une superposition de projection), notre bout de tuyau CD arrive sur AB par l'autre côté donc en tournant dans l'autre sens que le tore mais dans le bon sens pour la bouteille de Klein.
(Pour les maisons et compagnies, il faut tourner d'un 1/4 de tour en plus pour mettre maisons sur maisons et compagnies sur compagnies)

[invite35452583]

La condition nécessaire pour qu'il existe une solution au problème (n,p) est n+p-np/2 <= c.

Un petit correctif de toute façon mmy a utilisé la (et sa) bonne formule : ou encore

[invité576543]

Entre temps, j'ai trouvé les graphes!

Le (6,3) du tore n'était pas si difficile que ça, et celui que j'ai trouvé avait le bon goût de s'adapter à la b.k. tout de suite, ce qui m'a fait comprendre où je patinais pour le (4,4)!

Je vais faire mes petits dessins, pour voir si mon approche permet la compréhension mutuelle!

Et je vais essayer de décoder l'approche de homotopie

Cordialement,

[invite35452583]

Et je vais essayer de décoder l'approche de homotopie

Voilà en graphique, (merci wiki) bouteille de Klein

[invité576543]

(Je n'ai pas de problème pour voir la bouteille de Klein, que ce soit en 3D, 2D, 4D et en pliant le rectangle. Mon approche de base c'est le pavage du plan par des rectangles, le "pliage" étant remplacé par la répétition... Mon problème était de trouver où mettre l'inversion dans le pavage...)

Deux dessins, le premier une solution 4-4 pour le tore, celle qui se transforme facilement en la solution pour la b.k, présentée sur le second dessin.

Les dessins devraient être suffisants par eux-mêmes: les sommets de même étiquette sont confondus, la multiplicité est le dépliage...

Au passage, la condition apparaît, so far, suffisante. Le défi suivant serait effectivement de le démontrer...

Cordialement,

[invité576543]

Voilà le 6-3 sur le tore, dont l'adaptation à la b.k. est immédiate...

C'est intéressant, parce qu'il est très symétrique (même si ça ne se voit pas trop sur le dessin). Peut-être un rapport avec l'un des polytopes réguliers?

L'adaptation à la b.k. se fait sans changer les arêtes (elles sont symétriques par la symétrie "horizontale"), juste en permuttant A et F à droite...

Cordialement,

[invite35452583]

(Je n'ai pas de problème pour voir la bouteille de Klein, que ce soit en 3D, 2D, 4D

Je viens de comprendre tes dessins (enfin le dernier est le plus clair). Par contre toi tu pouvais en effet avoir du mal à comprendre puisque je m'étais lamentablement vautré (16 sommets ) dans ma soltuion 4-4.

Au passage, la condition apparaît, so far, suffisante. Le défi suivant serait effectivement de le démontrer...

Intuitivement ça me paraît vrai est acceptée comme argument ?

[invité576543]

Une question annexe (en rapport avec les surfaces sans bord plus complexe...), ...

J'ai lu sur un site :

"Deux surfaces connexes orientables (resp. non orientables) ayant le même nombre de bords sont homéomorphes si et seulement si elles ont même caractéristique."

C'est la réciproque qui m'intéresse. Il me semble (?) que pour les surfaces sans bord:

- la caractéristique est 2 ou moins;

- il n'y a pas de surface non orientable de caractéristique 2;

- il n'y a pas (?) de surface orientable de caractéristique 1;

- pour 0 ou moins, il existe une de chaque.

Est-ce correct?

Cordialement,

[invite35452583]

Il me semble (?) que pour les surfaces sans bord:

- la caractéristique est 2 ou moins;

- il n'y a pas de surface non orientable de caractéristique 2;

- il n'y a pas (?) de surface orientable de caractéristique 1;

- pour 0 ou moins, il existe une de chaque.

Est-ce correct?

Cordialement,

Je ne suis pas sûr du 4ème point, ce serait quoi une surface orientable de caractéristique -1, par exemple. Si mes souvenirs sont bons les surfaces orientables sans bord sont la sphère et les n-tores qui sont de cractéristique paire.
La somme connexe (on fait un trou en forme de disque dans chaque surface et on recolle bord à bord) engendre toutes les surfaces (hormis la sphère qui est élémen,t neutre pour cette somme) à partir du plan projectif et du tore. La bouteille de Klein est la somme connexe de 2 plans projectifs par exemple. La somme est orientable ssi les deux surfaces sont orientables. c(S1#S2)=c(S1)+c(s2)-2 d'où les orientables n'ont que des caractériqtiques paires.
Pendant que j'écris, j'ai un autre élément mais ça utilise des maths encore plus avancées : Il y a dualité de Poincaré sur les surfaces orientables.

D'où parité de dim(H1(S;Q)) car le carré de 2 formes de degré 1 est nulle. Or c(S)=dim(H0)-dim(H1)+dim(H2)=1-dim(H1)+dim(H2)=2-dim(H1) qui est donc paire.

[invité576543]

Alors le cas suivant serait la caractéristique -1, avec comme seule surface le plan projectif avec une anse... Graphe (5,4) à trouver par exemple... Ca devient cauchemardesque, j'ai plus les pavages pour aider... Temps de passer à autre chose

Cordialement,