Les initiales.

[invite7776cfba]

Les initiales par Annabelle Blanc.

Dans le service où travaille Annabelle, on utilise les initiales des employés pour le classement des dossiers les concernant : toujours 2 lettres, la première lettre du prénom suivie de la première lettre du nom. Les initiales d’Annabelle sont AB par exemple.
Ce système de codage fonctionne bien parce tous les employés du service ont des initiales différentes, ce qui permet de différencier les dossiers.
Pourtant Annabelle a calculé que la probabilité d’avoir 2 employés avec les même initiales était supérieure à 60% et qu’on avait donc de la chance. Elle a pris comme hypothèse (non réelle, elle le sait) que toutes les initiales étaient équiprobables.

Au fait, combien d’employés travaillent avec Annabelle ?
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[invite7776cfba]

Les initiales par Annabelle Blanc.

Dans le service où travaille Annabelle, on utilise les initiales des employés pour le classement des dossiers les concernant : toujours 2 lettres, la première lettre du prénom suivie de la première lettre du nom. Les initiales d’Annabelle sont AB par exemple.
Ce système de codage fonctionne bien parce tous les employés du service ont des initiales différentes, ce qui permet de différencier les dossiers.
Pourtant Annabelle a calculé que la probabilité d’avoir 2 employés avec les même initiales était supérieure à 60% et qu’on avait donc de la chance. Elle a pris comme hypothèse (non réelle, elle le sait) que toutes les initiales étaient équiprobables.

Au fait, combien d’employés travaillent avec Annabelle ?

Pour éviter que ceux qui calculent vite ne donne trop rapidement la solution, je vous donne le résultat numérique.

Annabelle a 35 collègues, ce qui semble peu, n'est ce pas?
Ou alors, je me suis trompée. Je ne suis pas douée en probabilités. Si c'est le cas, j'attends la solution.

[Amanuensis]

Si ce n'est pas 35, c'est 34 ou 36. Différence non significative pour le propos.

[invite29cafaf3]

"Au fait, combien d'employés travaillent avec Annabelle ?"

Il va falloir apprendre à poser correctement les questions :


"Pourtant Annabelle a calculé que la probabilité d’avoir 2 employés avec les même initiales était supérieure à 60% et qu’on avait donc de la chance"

Autrement dit, qu'elle le nombre de personnes dans l'entreprise donnant la proportion de 60% de chance d'avoir des initiales identiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87420132543]

Si ce n'est pas 35, c'est 34 ou 36. Différence non significative pour le propos.

Moi, j'obtiens 29 employés, soit 28 collègues à la belle Annabelle.

Quelqu'un peut indiquer la méthode pour tomber sur 35 ?

[invite7776cfba]

"Au fait, combien d'employés travaillent avec Annabelle ?"

Il va falloir apprendre à poser correctement les questions :


"Pourtant Annabelle a calculé que la probabilité d’avoir 2 employés avec les même initiales était supérieure à 60% et qu’on avait donc de la chance"

Autrement dit, qu'elle le nombre de personnes dans l'entreprise donnant la proportion de 60% de chance d'avoir des initiales identiques.

Si vous voulez ! Aux fautes d'orthographes et de grammaire prés, cela veut dire la même chose je pense.

[Tropique]

Moi, j'obtiens 29 employés, soit 28 collègues à la belle Annabelle.

Quelqu'un peut indiquer la méthode pour tomber sur 35 ?

C'est aussi le résultat auquel j'arrive, mais il y a peut-être un piège, et comme je suis électronicien, pas statisticien, je me suis peut-être engouffré dedans (mon dernier cours de statistiques remonte à plus de trente ans, et je n'ai pas pratiqué depuis).

[invite7776cfba]

Un petit tuyau.

Il est je pense plus facile de calculer la probabilité pour que tous les employés du service aient des initiales différentes, et rendre cette probabilité égale à 40%.

Cela a été en tout cas ma méthode.

La tienne également Amanuensis ?

[inviteccac9361]

Bonjour,

on simplifie.
Soit le premier employé, ayant donc un nom et un prenom.
Soit le nombre de possibilités d'agencer le nom et le prénom.
Nombre de lettres 26
26*26=676 (sans interet)

Soit le deuxieme employé.
Soit la probabilité A : les initiales sont identiques
Soit la probabilité B : les initiales sont differentes.
A=1/26
Et donc B=1-1/26

Soit le troisieme employé
Cette fois celui-ci doit être comparé aux deux employés présents.
Donc A=1/26*1/26
B=1-1/(26)²

Soit le quatrieme employé
A=1/26³
B=1-1/26³
Donc pour n employés et sachant

qu’on avait donc de la chance.

B=1-1/(26)ⁿ=0.6

26ⁿ=1/0.4=2.5

Log(26ⁿ)=log(2.5)
n*log(26)=log(2.5)
n=0,39794000867203760957252221 055101/1,4149733479708179644202440526 668
n=2.51

On a de la chance, signifie qu'on est au dessus de ce chiffre
Comme on ne coupe pas les gens en deux , Nb=3.
Ils etaient donc deux et ont calculé le pourcentage de chance de 60% pour le 3eme employé.

J'ai trop simplifié peut être.

[inviteccac9361]

26*26=676 (sans interet)

Si si grand interet.
Remplacer donc 26 par 676.
et n 0.398/2.83=0.14=7.11
corriger l'inversion et
Finalement ils sont 7 et le 8eme employé arrive..

[invite87420132543]

Je met ma solution qui donne 29 employés, on ne sait jamais, c'est peut être la bonne...

26*26 = 676

probabilité pour que parmi (n) employés des initiales soient les mêmes

n      p(n)
1      0
2      1/676
3      2/676 + 1/676
4      3/676 + 2/676 + 1/676
.
.
.
m      (m)*(m-1)/(2*676)

(m)(m-1)/(2*676) = 0,6

m²-m = 0,6*2*676
m²-m = 811
m²-m - 811 = 0

résolution d'un polynôme du second degré
delta = 3245
m = 29

29 employés qui donnent 28 collègues à Annabelle.

[inviteccac9361]

C'est un peu dans le comptage que je ne suis pas d'accord.
Et peut être à tord.

La probabilité est estimé depuis le point ou on a dit, tient, on va calculer.

n employés aux initiales differentes

Combien il a de chance pour le nieme + 1 employé d'avoir les mêmes initiales que les niemes autres ?
Il connait ses initiales le n+1 employé. Donc probabilité 1 ici.
Il regarde pour chaque n employé si les initiales sont identiques.
(1/676)ⁿ

Il n'y a pas de cumul ou autre effet se produisant lors du tirage ?
On n'enleve rien aux initiales des employés à chaque vérification.

[inviteccac9361]

Pourtant Annabelle a calculé que la probabilité d’avoir 2 employés avec les même initiales était supérieure à 60% et qu’on avait donc de la chance

J'ai mal interpreté la phrase.
On ne parle pas de la probabilité de l'evenement concernant le prochain employé, mais de ceux qui ont conduits à l'etat actuel des n employés.
Donc ceci fait 40%

[inviteccac9361]

Ca vient ca vient

Donc si je réévalue la phrase, la probabilité d'avoir des initiales équivalentes actuellement est
0.5*(n-1)*(n-1)*1/676
Et ceci equivaut à 60%
Donc (n-1)²=1.2*676
n=1+28.48
n=29.5

Dans quel sens arrondir ?

[inviteccac9361]

m (m)*(m-1)/(2*676)

(m)(m-1)/(2*676) = 0,6

m²-m = 0,6*2*676
m²-m = 811
m²-m - 811 = 0

résolution d'un polynôme du second degré
delta = 3245
m = 29

Tout à fait d'accord
0.5*(n-1)*(n-1)*1/676 c'etait faux.
0.5*n*(n-1)*1/676=0.6

Je me suis épargné un polynome. Yes !!

[Amanuensis]

Je met ma solution qui donne 29 employés, on ne sait jamais, c'est peut être la bonne...

C'est un problème très classique, présenté le plus souvent comme le "paradoxe des anniversaires".

L'équation exacte à résoudre est :



Une approximation utile est donnée par


ce qui donne 35

[Amanuensis]

ce qui donne 35

À corriger : ce qui donne n>35 (mais comme c'est une approximation, la réponse pourrait être un n=35, donc une réponse de 34...).

Facile de programmer l'équation exacte, pour qui voudra le faire.

[Médiat]

Tout à fait d'accord
0.5*(n-1)*(n-1)*1/676 c'etait faux.
0.5*n*(n-1)*1/676=0.6

Je me suis épargné un polynome. Yes !!

Pour n = 38 votre formule (la même que ours.des.carpates) donne une probabilité = 1.04, normalement cela devrait vous choquer

[invite7776cfba]

Pour n = 38 votre formule (la même que ours.des.carpates) donne une probabilité = 1.04, normalement cela devrait vous choquer

Amanuensis a raison mais, comme beaucoup de monde je crois, je ne connaissais pas sa formule. J'arrive à la solution par la logique et un petit calcul et j'affirme n=35 (Ils sont 36 dans le service en comptant Annabelle)
Je vous laisse encore un peu de temps ou je vous donne ma solution ?

[Médiat]

Je vous laisse encore un peu de temps ou je vous donne ma solution ?

Non, merci, je connais très bien la solution (celle de Amanuensis) que je faisais faire à mes élèves quand on faisait des probabilités en première (dans les années 70), sous la forme des anniversaires (avec des classes c'est tentant).

[invite87420132543]

Je vous laisse encore un peu de temps ou je vous donne ma solution ?

Oui, moi je veux bien.

Merci.

[Tropique]

Je vous laisse encore un peu de temps ou je vous donne ma solution ?

Ce qui m'intéresserait plus, c'est de savoir où la solution de ours des carpates (qui est aussi la mienne) cloche.
La méthode "opposée" semble être la méthode officielle de résolution de cette énigme classique, à voir la forme de la solution d'Amanuensis, mais j'imagine qu'elle est également basée sur le dénombrement des cas 675/676, 674/676, etc.
Pourquoi le dénombrement de ours des carpates ne fonctionne-t-il pas?
(je suis d'accord sur le fait que ça ne peut pas fonctionner, la probabilité ne peut tendre vers 1 que pour n=676, ce qui est loin d'être le cas)

[Amanuensis]

Pourquoi le dénombrement de ours des carpates ne fonctionne-t-il pas?

Prenons le cas le plus simple où l'erreur apparaît, n=3

OdC propose :

3 2/676 + 1/676

Fixons le premier. La probabilité que le second ait les mêmes initiales est bien 1/676 ; différent et le troisième l'un des deux c'est 675/676 x 2/676, parce qu'on ne prend que le cas des deux premiers différents.

On a alors 1/676 + 675 x 2/676²

On peut réécrire le résultat

3/676 -2/676²

----------

Maintenant la valeur selon la formule que j'ai indiquée

1 - 675.674/676²

Qu'on peut réécrire

(676²-675.674)/676²

soit

(3.676-2)/676²

soit 3/676 -2/676²

[Tropique]

Prenons le cas le plus simple où l'erreur apparaît, n=3

OdC propose :

3 2/676 + 1/676

Fixons le premier. La probabilité que le second ait les mêmes initiales est bien 1/676 ; différent et le troisième l'un des deux c'est 675/676 x 2/676, parce qu'on ne prend que le cas des deux premiers différents.

Oui, je vois, il faut soustraire du comptage les cas déjà implicitement éliminés lors des opérations précédentes.
Mais est-ce que l'énigme ne devrait pas s'énoncer:

"Pourtant Annabelle a calculé que la probabilité d’avoir 2 et seulement 2 employés avec les même initiales était supérieure à 60% et qu’on avait donc de la chance"

Autrement dit, cette méthode de dénombrement n'élimine-t-elle pas les cas ou on aurait 3 employés ou plus ayant les mêmes initiales?

[Amanuensis]

Mais est-ce que l'énigme ne devrait pas s'énoncer:

Ce serait une autre question.

Autrement dit, cette méthode de dénombrement n'élimine-t-elle pas les cas ou on aurait 3 employés ou plus ayant les mêmes initiales?

Non. Dans le calcul pour n=3, le cas où ils ont tous les trois les mêmes initiales est compté dans le premier cas (celui où le 1 et le 2 ont les mêmes initiales).

[invite87420132543]

La méthode "opposée" semble être la méthode officielle de résolution de cette énigme classique, à voir la forme de la solution d'Amanuensis, mais j'imagine qu'elle est également basée sur le dénombrement des cas 675/676, 674/676, etc.

En y réfléchissant, je comprends cette formulation de "méthode officielle".
Généralement, en tout les cas pour moi, on n'arrive pas à comprendre les probabilités de façon intuitive et on est obligé d'appliquer des formules qui ne font pas sens.
Je ne pense pas être le seul dans cette situation.
D'où une méthode que j'ai peut être déjà vu (encore que...) mais qui de toute façon est partie loin maintenant.

[invite7776cfba]

En fonction du nombre n de personnes du service, quelle est la probabilité P(n) qu’elles aient toutes des initiales différentes ?

Nombres de codages différents= 26x26= 676


n= 1 P(1)= 676/676 = 1
n= 2 P(2)= 676/676 . 675/676 = 0,999
n=3 P(3)= 676/676 . 675/676 . 674/676 = 0,996

n=35 P(35)= 676/676 . 675/676 …642/676 = 0,408
n=36 P(36)= 676/676 . 675/676 …641/676 = 0,387

En fait P(n) = 676 ! / (676-n) ! / (676)^n

Pour n=36, P(n) devient inférieur à 40%. Donc, si Annabelle a 35 collègues, la probabilité que 2 d’entre eux aient les mêmes initiales est supérieure à 60%.

[invite7776cfba]

Cqfd !

----------------

[inviteccac9361]

Cqfd !

Ce Qui Fait Ding !

C'est beaucoup quand même, 676 !

Et si au lieu de prendre 60% on avait dit 50% ?
C'est un chiffre interressant 1/2.

Ca fait combien de collegues ?

[invite7776cfba]

Ce Qui Fait Ding !

C'est beaucoup quand même, 676 !

Et si au lieu de prendre 60% on avait dit 50% ?
C'est un chiffre interressant 1/2.

Ca fait combien de collegues ?

31 personnes dans le service, donc 30 collègues pour Annabelle.