La somme impossible

[Tryss]

Je ne vois aucun inconvénient à ce que l'on définisse des opérations sur , et que l'une de ces opérations que je note (*) ait pour résultat (et autres résultats du même genre), mais évidemment cela demande des définitions formelles et cohérentes, et cela perd tout sensationnalisme.

Ah, ces mathématiciens, toujours a détruire la magie par une approche rationnelle


Le plus gros "problème", c'est que, assez naturellement, on va vouloir que , ce qui est problématique si on veut rester dans K
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[kalish]

Bonjour,

Pour résumer plusieurs interventions dont la mienne :
Soit une application dans un ensemble dans lequel une addition est définie, donc l'addition d'un nombre fini d'élément de est aussi définie, ce qui n'est pas le cas d'une somme infinie, plus simplement :
a un sens ; n'a pas de sens a priori.

Dans le cas où existe dans , alors il paraît raisonnable (si les opérations sur cet objet sont compatibles avec les opérations sur ) de poser : (on peut même étendre cette définition à quand cela a un sens).

Si malgré tout (quand la limite des sommes partielles ne convergent pas) on veut associer une opération spéciale sur les séries formelles, pourquoi pas, mais dans ce cas il faut la définir formellement.

Pour reprendre l'exemple de stefjm sur les suites de Cauchy, il est clair (pour moi) que la notation n'a pas de sens dans et que l'on ne peut utiliser cet objet comme si c'était un rationnel comme un autre (et pour cause) ; par contre les suites de Cauchy ayant certaines "bonnes" propriétés, il est possible de les utiliser pour définir formellement une nouvelle classe de nombres () dans laquelle l'écriture a un sens (elle est, d'ailleurs, construite dans ce but).

Je ne vois aucun inconvénient à ce que l'on définisse des opérations sur , et que l'une de ces opérations que je note (*) ait pour résultat (et autres résultats du même genre), mais évidemment cela demande des définitions formelles et cohérentes, et cela perd tout sensationnalisme.

(*)

je trouve ça très intéressant, le soucis c'est qu'en physique, les opération dont tu parles qui ne sont pas vraiment des sommes pour toi, en sont "réellement", on doit bien sommer sur tous les modes restant dans une cavité (effet casimir), et si on supprime ça, c'est un peu tout l'esprit de la théorie quantique des champs qui s'effondre. D'autres part il semble bien que ce soit la partie de la somme "sans la divergence" (quezaco?) puisque c'est tout l'esprit de la régularisation et de la renormalisation. feynman disait d'ailleurs qu'il soupçonnait qu'il y avait quelque chose de profondément faux mathématiquement dans la renormalisation.

[Médiat]

Bonjour,

je trouve ça très intéressant, le soucis c'est qu'en physique, les opération dont tu parles qui ne sont pas vraiment des sommes pour toi, en sont "réellement", on doit bien sommer sur tous les modes restant dans une cavité (effet casimir), et si on supprime ça, c'est un peu tout l'esprit de la théorie quantique des champs qui s'effondre. D'autres part il semble bien que ce soit la partie de la somme "sans la divergence" (quezaco?) puisque c'est tout l'esprit de la régularisation et de la renormalisation. feynman disait d'ailleurs qu'il soupçonnait qu'il y avait quelque chose de profondément faux mathématiquement dans la renormalisation.

Qu'est-ce qui vous empêche d'utiliser une nouvelle opération qui ne s'appellerait pas "somme", mais "Feynman" (hommage à sa lucidité ), avec les propriétés dont vous avez besoin (sous réserve de la définir correctement, bien sûr) ?

PS : je ne sais pas quel sens donner à "en sont "réellement"", puisque justement ce n'en sont pas.

[Médiat]

Ah, ces mathématiciens, toujours a détruire la magie par une approche rationnelle

Et comme je suis logicien, il m'arrive même de casser la magie des mathématiciens

Le plus gros "problème", c'est que, assez naturellement, on va vouloir que , ce qui est problématique si on veut rester dans K

Oui, c'est bien là le problème et c'est à cause de cela qu'une définition formelle et cohérente est nécessaire (sous quelles conditions peut-on écrire , existe-t-il un plongement naturel de dans (ayant du sens pour la nouvelle opération), quelles opérations sont conservées par ce plongement, etc.

[kalish]

PS : je ne sais pas quel sens donner à "en sont "réellement"", puisque justement ce n'en sont pas.

Il y a un sens physique pourtant relativement concret, par exemple concernant l'effet casimir, il s'agit de la somme sur tous les modes possibles à l'intérieur de la cavité. Il s'agit donc bien d'une somme à laquelle on enlève la partie divergente, ce qui est très commun en physique, surtout quantique, mais aussi classique. La discussion donnée en lien éclaire d'ailleurs là dessus, mais je ne suis pas spécialiste. On peut apparemment évaluer la différence entre une somme discrète et une intégrale continue, les deux termes diverges, mais la différence entre les deux "ferait" -1/12.

[Médiat]

Bonjour,

Avant toutes choses, je suis une tanche en physique, je croyais que l'effet Casimir était une certaine façon de faire rire les enfants.

Je ne comprends toujours pas, je ne vois pas comment vous pouvez trouver une somme et encore moins une somme infinie (dont je rappelle que je ne sais pas ce que cela veut dire) dans une expérience, si par contre vous parlez du modèle mathématique, alors il suffit de remplacer votre "somme infinie" de la suite par le Feynman de , enfin quand elle sera définie correctement

[kalish]

Parce que ça vient de la transformée de fourier dans ce cas là, et que c'est un outil essentiel de l'analyse. Dire que la somme n'est pas une somme, ça revient à changer le sens d'une intégrale. Je crois que pour une interprétation réaliste il vaut mieux regarder du côté de la formule de Euler McLaurin pour avoir une interprétation raisonnable, dans ce sens c'est plutôt si je ne me trompe pas.

[Médiat]

.

Mon problème, c'est que je ne sais pas ce que veut dire :

[kalish]

pardon, est-ce plus clair ou le malaise est ailleurs?

[Médiat]

pardon, est-ce plus clair ou le malaise est ailleurs?

Effectivement, le malaise est ailleurs : je ne sais pas effectuer une infinité d'opérations (dans certains cadres, les nombres supernaturels par exemple, il y a des opérations infinis, mais elles sont clairement définies, ce qui n'est pas le cas dans les naturels).

[stefjm]

Parce que ça vient de la transformée de fourier dans ce cas là, et que c'est un outil essentiel de l'analyse. Dire que la somme n'est pas une somme, ça revient à changer le sens d'une intégrale. Je crois que pour une interprétation réaliste il vaut mieux regarder du côté de la formule de Euler McLaurin pour avoir une interprétation raisonnable, dans ce sens c'est plutôt si je ne me trompe pas.

Bonjour,
T'as une une idée du pourquoi -1/12 et pas 1/12 pour le prolongement analytique?
Et du coup pourquoi c'est la différence dans ce sens là? (et pas dans l'autre)

C'est super intéressant ce "lien" entre continu et discret.

[ansset]

C’est quand même assez usuel en math d’associer une somme à une intégrale :
Voir les sommes de Riemann par exemple.

Mais là si on voit d'abord ton équation comme une vraie somme.
Alors on a d’un coté.

à comparer avec


et la diff vaut


et en plus, pour arriver à -1/2 il faudrait supprimer l'intégrale.

enfin pour dire que je ne comprend pas ton mess.

[ansset]

il vaut mieux regarder du côté de la formule de Euler McLaurin pour avoir une interprétation raisonnable.

je ne vois pas le rapport .

[stefjm]

à comparer avec


et la diff vaut

[...]
enfin pour dire que je ne comprend pas ton mess.

Ben, c'est quand même assez bluffant de voir qu'en faisant la différence entre somme continue et somme discrète, on vire le terme en n^2.

Maintenant, pourquoi -1/12 (et pas -1/2)...?

[Tryss]

Ben, c'est quand même assez bluffant de voir qu'en faisant la différence entre somme continue et somme discrète, on vire le terme en n^2.

Ca se voit bien sur un dessin, la somme discrète est un escalier, tandis que l'intégrale est un triangle : si on fait la différence des deux il reste n petits triangles de coté 1.

[stefjm]

Ca se voit bien sur un dessin, la somme discrète est un escalier, tandis que l'intégrale est un triangle : si on fait la différence des deux il reste n petits triangles de coté 1.

Verriez-vous "l'équivalent" pour "transformer" le (n+1)/2 en -1/12 ?

[ansset]

Bonjour,
Avec le même « formalisme » utilisé pour aboutir à S=-1/12 on peut s’amuser autrement.

S=1+2+3+4+5+……
S1=2+4+6+8+…… ( numéros pairs )
S2=1+3+5+7+…… (impairs)
On a bien sur :
S=S1+S2 or
S1=2(1+2+3+4+….) =2S et aussi
S2-S=0+1+2+3+4+… = S donc
S2=2S d’ou
S=S1+S2=4S

Donc, chercher l’erreur avec S=-1/2 ! obtenu de manière similaire

Pour illustrer ce que je pense de ces manips qui autorisent un peu n’importe quoi .

[stefjm]

[...]
Pour illustrer ce que je pense de ces manips qui autorisent un peu n’importe quoi .

Le point intéressant est plutôt quand on peut faire des choses cohérentes avec cette extension.

[Tryss]

Verriez-vous "l'équivalent" pour "transformer" le (n+1)/2 en -1/12 ?

Absolument pas :/

[stefjm]

C'est pas très visuel zeta(-1)...

[ansset]

Le point intéressant est plutôt quand on peut faire des choses cohérentes avec cette extension.

justement , il manque le mode d'emploi !
puisque en l'état, on arrive à des contradictions.

[stefjm]

On arrive à des contradictions avec les méthodes de sommation habituelle.
De la même façon que a+a=1 est impensable sur les entiers strictement positifs.

Il est sortie une suite intéressante :
http://sciencetonnante.wordpress.com...s-divergentes/

[Médiat]

On arrive à des contradictions avec les méthodes de sommation habituelle.
De la même façon que a+a=1 est impensable sur les entiers strictement positifs.

Bonjour,

Certes, mais les méthodes qui permettent de construire de nouveaux nombres sont formellement définies et les nombres sont nouveaux, or, ici, je n'ai toujours pas vu de définition d'une somme infinie qui, donc n'existe pas, et le résultat semble être un simple rationnel bien connu. Cf. aussi, mon message #29.

[stefjm]

fait peut être parti de l'intersection des rationnels et de ces nouveaux nombres?
Je dis cela, je dis rien, je crois que je ne comprend pas tout bien en maths...

[kalish]

Effectivement, le malaise est ailleurs : je ne sais pas effectuer une infinité d'opérations (dans certains cadres, les nombres supernaturels par exemple, il y a des opérations infinis, mais elles sont clairement définies, ce qui n'est pas le cas dans les naturels).

je pense que le développement en série de l'exponentielle, est un cas où ça prend toute sa signification. je ne pense pas que ça gène plus que ça.

Moi aussi en faisant des manips sur les sommes, je suis arrivé à dire que S1 = -1/2 autant que 1/2... mais il n'empêche qu'apparemment c'est un raccourci formel qui touche à une branche des mathématiques qui semble bien moins farfelue que ce qu'on en croit.

[kalish]

Bonjour,
T'as une une idée du pourquoi -1/12 et pas 1/12 pour le prolongement analytique?
Et du coup pourquoi c'est la différence dans ce sens là? (et pas dans l'autre)

C'est super intéressant ce "lien" entre continu et discret.

Aucune idée, j'ai juste survolé, d'ailleurs il y a une somme qui fait -1/120 dans le papier, j'avais lu ça sur l'autre page du forum suggéré en début de discussion.

[Médiat]

je pense que le développement en série de l'exponentielle, est un cas où ça prend toute sa signification. je ne pense pas que ça gène plus que ça.

Bonsoir,

Cela ne me gêne pas (trop) d'écrire parce je sais calculer , et que je sais aussi démontrer que , autrement dit, on peut prendre l'écriture comme une abréviation pour indiquer que l'on calcule la limite d'une suite de sommes finies (et donc, on ne fait pas de sommes infinies).

Que l'on m'explique la signification de et je l'accepterai sans discuter, si en plus cette définition permet d'obtenir des résultats utiles aux physiciens, tant mieux, mais, à ce jour, je ne sais pas effectuer une somme infinie de nombres entiers (en tout cas si la suite de ces nombres n'est pas à support fini).

[ansset]

Je rappelle que par un « processus » analogue.
Si S est la suite des entiers, on montre que
S=4S

[stefjm]

Aucune idée, j'ai juste survolé, d'ailleurs il y a une somme qui fait -1/120 dans le papier, j'avais lu ça sur l'autre page du forum suggéré en début de discussion.

: https://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta%28-3%29

Et il y en a aussi avec : https://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta%28-2%29

[stefjm]

Je rappelle que par un « processus » analogue.
Si S est la suite des entiers, on montre que
S=4S

Un espèce de modulo 4 multiplicatif...