La somme impossible

[invite473b98a4]

Bonsoir,

Cela ne me gêne pas (trop) d'écrire parce je sais calculer , et que je sais aussi démontrer que , autrement dit, on peut prendre l'écriture comme une abréviation pour indiquer que l'on calcule la limite d'une suite de sommes finies (et donc, on ne fait pas de sommes infinies).

Que l'on m'explique la signification de et je l'accepterai sans discuter, si en plus cette définition permet d'obtenir des résultats utiles aux physiciens, tant mieux, mais, à ce jour, je ne sais pas effectuer une somme infinie de nombres entiers (en tout cas si la suite de ces nombres n'est pas à support fini).

Je crois que la sommation en question est la sommation d'abel.
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9...ation_d.27Abel
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem
je trouve ça très intéressant en fait.
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[acx01b]

Je crois que la sommation en question est la sommation d'abel.
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9...ation_d.27Abel
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem
je trouve ça très intéressant en fait.

lien pertinent, mais pour la suite

d'autres procédés de sommation (et il faut le préciser ce n'est pas la définition usuelle des séries) donnent le même résultat

mais pour ce procédé ne marche pas

[Médiat]

Bonsoir,

Je ne dis pas que ce n'est pas intéressant, je dis juste une chose :

La somme infinie de nombre entiers n'est pas définie, le "vendre" sous cette forme est un mensonge, mensonge que je pourrais accepter avec une définition formelle qui en plus montrerait que cela "étend" sous une forme ou une autre, l'addition usuelle.

Vous remarquerez que pour tous les exemples qui ont été donné, la série utilisé n'est pas forcément la même, du coup cela ressemble à des définitions ad'hoc, plus qu'à des définitions mathématiques.

[invite473b98a4]

lien pertinent, mais pour la suite

d'autres procédés de sommation (et il faut le préciser ce n'est pas la définition usuelle des séries) donnent le même résultat

mais pour ce procédé ne marche pas

Il ne faut pas être si péremptoire, la démonstration donnée dans le premier lien utilise justement uniquement les résultats des sommes alternées.
https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
https://www.youtube.com/watch?annota...&v=PCu_BNNI5x4
Il doit bien y avoir un lien entre les limites des sommes alternées, et les divergences qu'on enlève, par exemple en physique. Dans les deux cas on enlève des infinis "à la main".

[acx01b]

kalish : je n'ai pas compris ton point de vue

sinon personne n'a cité ceci : http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

personnellement je n'ai pas tout pigé, à première vue ce n'est pas évident évident ...

[stefjm]

Vous remarquerez que pour tous les exemples qui ont été donné, la série utilisé n'est pas forcément la même, du coup cela ressemble à des définitions ad'hoc, plus qu'à des définitions mathématiques.

Bonjour,
Les sommes partielles genre Césaro, Abel ou Ramanujan ne sont pas de nouvelles définitions de l'addition? (et peut-être, les mêmes, je ne sais pas le montrer.)
Elles conservent bien la valeur de la limite habituelle lorsque les séries sont convergentes?
Lorsqu'elles ne le sont pas, il semble que la valeur obtenue appartienne à deux ensembles très différents?

Il doit encore y avoir un truc qui m'échappe mais quoi?

Cordialement.

[invite51d17075]

Ben, tant qu’on a pas compris les rêgles concernant entre autre la multiplication et la soustraction, et l’associativité de ces sommes à l’infini , on abouti justement pas à un seul résultat , ce qui pose en pb de plus.
En gros , on applique des règles de corps commutatif à un ensemble qui n’en est pas un.

A ce titre j’aimerai savoir comment on peut qualifier

[Médiat]

sinon personne n'a cité ceci : http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

Dont la première ligne est : "Ramanujan summation essentially is a property of the partial sums, rather than a property of the entire sum, as that doesn't exist", et les "sommes" sont écrites de la façon suivante : , le à la fin est justement là pour indiquer que ce n'est pas une somme au sens usuel du terme : c'est exactement le point de vue que je défends depuis le début.

[invite473b98a4]

kalish : je n'ai pas compris ton point de vue

sinon personne n'a cité ceci : http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

personnellement je n'ai pas tout pigé, à première vue ce n'est pas évident évident ...

En fait dans la vidéo il utilise un résultat sur les sommes alternées qui peut être "démontrée" par la sommation d'abel.
Il utilise
S2= 1-2+3-4+5-6... = 1/4
et il remarque que si
S= 1+2+3+4+5+6+...
S-S2 =4S
donc 3S=-S2 =-1/4
S=-1/12.
Mais bon, moi aussi j'ai remarqué qu'en partant de
S1 =1-1+1-1+1-1+1-1...
et en réarrangeant tous les termes (et c'est la que le bat blesse)
S1 =-1+1-1+1-1+1-1...
S1=-S1 donc
S1=0 ou S1=1/2 ou S1=-1/2 etc etc etc.

Ce qui est intéressant physiquement c'est que la construction de la théorie des champs part d'un volume fini (où les modes sont quantifiés) et l'étend ensuite à l'infini. Donc la somme des modes devrait donc bien être n(n+1)/2 avec n qui tend vers l'infini puisque cette sommation n'est PAS une nouvelle sorte de sommes à l'origine. Ils utilisent donc un résultat en contradiction avec la construction de la théorie.

[stefjm]

Dont la première ligne est : "Ramanujan summation essentially is a property of the partial sums, rather than a property of the entire sum, as that doesn't exist", et les "sommes" sont écrites de la façon suivante : , le à la fin est justement là pour indiquer que ce n'est pas une somme au sens usuel du terme : c'est exactement le point de vue que je défends depuis le début.

J'avais bien compris.
En informatique, on parle dans ce cas de surcharge d'opérateur pour une classe d'objet (idéalement, comme en maths, on cherche à garder le maximum des propriétés qui vont bien et on supprime ou rajoute ce qu'il faut pour que cela marche.)

La sommation de Ramanujan est-elle une nouvelle définition de l'addition?
Est-ce une définition formellement acceptable?

Au départ, un coté ad-hoc peut gêner, mais s'il s'avère qu'il y a moyen de le faire plus propre par la suite, pourquoi s'en priver... (Genre delta de Dirac...)

En plus, c'est pas récent récent toutes ces choses...

Cordialement.

[acx01b]

S2= 1-2+3-4+5-6...
S= 1+2+3+4+5+6+...
alors S-S2 =4S

j'ai cherché et je n'ai trouvé aucun moyen de justifier ça

[Médiat]

j'ai cherché et je n'ai trouvé aucun moyen de justifier ça

S2= 1-2+3-4+5-6...
S= 1+2+3+4+5+6+...

La soustraction des deux "sommes" élimine les nombres impairs et "somme" deux fois les nombres pairs et comme les pairs sont égaux à deux fois les entiers, cela fait bien 4 fois S

[acx01b]

C'est de l'ironie ?

S2= 1-2+3-4+5-6...
S= 1+2+3+4+5+6+...

La soustraction des deux "sommes" élimine les nombres impairs et "somme" deux fois les nombres pairs et comme les pairs sont égaux à deux fois les entiers, cela fait bien 4 fois S

Non je ne suis pas d'accord ! Le raisonnement est parfaitement juste sur les suites (*), mais sur les sommes infinies je ne vois pas (en plus tu répètes depuis le début que ça n'existe pas les sommes infinies 'tel quel' !)

(*) à condition qu'il y ait équivalence entre une suite et elle-même où l'on a rajouté des 0

[Médiat]

Je ne faisais qu'expliciter quel était le raisonnement, en pensant vous rendre service, qui en tout état de cause, part du principe que S et S2 existent en tant que nombres réels (et donc se demander si une opération est licite sur un truc qui n'existe pas, n'est pas une question qui m'empêche de dormir), ce n'est, évidemment pas le point de vue que je défends.

[stefjm]

Je n'ai pas trié mais il y a l'embarra du choix...
https://www.google.fr/search?q=zeta+renormalisation

J'ai trié un peu dans la physique :

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_fu...regularization
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_fu...%28operator%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Renorma...regularization

[invite51d17075]

Merci stef pour les liens.
En fait , il est bien précisé qu’il ne s’agit pas de sommation au sens arithmétique ( le terme somme est mis entre guillement ) mais d’un Opérateur traitant les sommes à l’infini.
Opérateur essentiellement utilisé par les physiciens.
Le soucis ( le mien ) est que j’ai mal saisi le « fonctionnement » précis de cet Opérateur, même si j’en discerne les contours.
cordialement

[stefjm]

Tout à fait.
Je ne sais pas si cette définition d'opérateur satisfait Médiat? (Est-ce que cela étend proprement la somme?)

[Médiat]

Je ne sais pas si cette définition d'opérateur satisfait Médiat?

J'avoue n'avoir pas lu les liens (dès que j'entends le mot physique, je ne comprends plus rien), mais en tout état de cause si :

1. la définition est mathématiquement claire et valide
2. on n'essaye pas de faire croire que c'est la somme habituelle

Je suis pleinement satisfait.

PS : je trouve les mathématiques suffisamment étonnantes, stimulantes et même magiques pour que l'on ait pas besoin de faire du sensationnalisme à leur propos (il y a d'autres exemples, cf. par exemple ce que l'on fait subir à ce pauvre Gödel), et je m'exaspère un peu, quand je vois (sur le net) un titre comme :

La somme de tous les nombres entiers vaut : -1/12.

[invite51d17075]

Bonjour Médiat.
Les liens ne parlent pas vraiment de physique, mais bien de mathématiques.
En fait de mathématiques à la Feynman.
Sauf que je ne saisis pas le fonctionnement de cet opérateur.

[stefjm]

J'avoue n'avoir pas lu les liens (dès que j'entends le mot physique, je ne comprends plus rien), mais en tout état de cause si :

1. la définition est mathématiquement claire et valide
2. on n'essaye pas de faire croire que c'est la somme habituelle

Je suis pleinement satisfait.

C'est des "maths à la physicien" comme le dit ansset, donc je ne sais pas si ce sont des vraies maths.

PS : je trouve les mathématiques suffisamment étonnantes, stimulantes et même magiques pour que l'on ait pas besoin de faire du sensationnalisme à leur propos (il y a d'autres exemples, cf. par exemple ce que l'on fait subir à ce pauvre Gödel), et je m'exaspère un peu, quand je vois (sur le net) un titre comme :

Je comprends. C'est comme le calcul sans peine qui simplifiait bizarrement des fractions.

Ici, c'est bien évident qu'il y a un truc pas simple à appréhender et même le débutant ne peut pas se tromper. (ou être trompé)

[acx01b]

j’ai mal saisi le « fonctionnement » précis de cet Opérateur
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_fu...regularization

Tu as une suite dont la série diverge

S'il existe tel que converge absolument,

alors pour tout de partie réelle on a que converge absolument

ensuite tu prolonges analytiquement jusqu'à donner (si c'est possible) une valeur à c'est à dire intuitivement donner une valeur à "somme des u_n"

• si converge absolument alors c'est évident que
• si converge simplement alors c'est le théorème principale des série de Dirichlet :
• sinon, c'est la théorie des fonctions holomorphes et du prolongement analytique qui doit permettre de dire que si
  converge et et existent ( est construite de la même manière à partir de la suite ) alors
• enfin peut ne pas être défini si est une singularité de , ou être mal défini si par exemple a une coupure (comme la fonction )

[acx01b]

à mon avis un nom plus explicite serait "sommation/régularisation par prolongement de la série de Dirichlet"

[acx01b]

je tente un truc bien tordu

soit le prolongement analytique de bi-holomorphe pour

en gros si on sait que est bi-holomorphe dans un voisinage de alors



sauf que

donc

donc est bien bi-holomorphe dans un voisinage de
puisque dans le membre de droite est bi-holomorphe dans un voisinage de (on pourrait remonter jusqu'à s=2 pour que ça soit encore plus clair)

enfin







donc
puisque comme montré précédemment

[invite51d17075]

merci, je viens de parcourir.
je vais relire tout ça!

[invite727f71fb]

Quelqu'un pourrait il m expliquer, pourquoi.

1+2+3+4+5+6+7..... Est différent de,

1+3+2+4+5+6+7.....

Car il me semble bien que dans ce cas là, la démonstration ne fonctionne plus du tout ...

Je vous demande d'excuser mon ignorance.

Cela dit je trouve le résultat de -1/12
Très beau.

-0,08333333333333333333333

Un spermatozoïde -0 rencontre un ovule 0 cela crée une première division cellulaire 8 puis une série de division à l infini 333333333333....

Comme c est poétique ... Et beau avec ça ...

J espère juste vous avoir détendu un peu par ce petit poste naïf.

[Matmat]

Quelqu'un pourrait il m expliquer, pourquoi.

1+2+3+4+5+6+7..... Est différent de,

1+3+2+4+5+6+7.....

Les points de suspensions sont une convention qui signifie que la loi de récurrence permettant de calculer un terme en fonction du précédent continue de s'appliquer pour tous les termes de la suite .
Quand cette loi semble évidente (*) , comme dans la première suite, on ne la précise pas . Quand elle n'est pas évidente il faut la préciser . Vos deux suites sont à priori différentes puisque la loi la plus évidente pour la première suite ne s'applique pas pour la deuxième .

(*) évidente au sens où on pense que l'interlocuteur pensera à la même loi que nous ( et non pas évidente au sens où il n'y a qu'une seule loi possible )

[Juzo]

Bonjour, un peu de ménage :

S=1+2+3+4+...
S₀=1+1+1+1...
S₁=1-1+1-1+...
S₂= 1-2+3-4+...

Alors :

S + S₀ = 0+1+2+3+4... + 1+1+1+1+1... = 1+2+3+4+5 = S
Donc S₀= 0

S₁ + S₀ = 1+0+1+0+1+0+1... = S₀ = 0
Donc S₁+0 = 0 donc S₁=0* (je croyais que S₁=1/2 d'après le lien du message 1 ?)

On en déduit ensuite S₂=0, puis S=0.

Prenons maintenant :

S_i = 1+3+5+7+...
S_p = 2+4+6+8+...

Or S_i + S₀ = 1+3+5+7... + 1+1+1+1+... = 2+4+6+8+... = S_p
Donc S_i = S_p

S = S_i+S_p= 2 S_i = 2 S_p = 0
Donc S_i = S_p=0

* On aurait pu montrer aussi que S₁ = 0 en faisant :
S + S₁ = 1+2+3+4+... + 1-1+1-1 = 2+1+4+3+... = S

Si vous avez bien compris les règles de la somme à la Feynman, quelles règles ai-je enfreintes ?
Ce qui me choque c'est d'introduire un décalage d'indice dans la somme.

[invite473b98a4]

Et bien apparemment, justement, introduire un décalage signifie utiliser une propriété appelée stabilité qui n'est pas forcément respectée dans les séries divergentes. De ce que j'en comprends, pour pouvoir donner une signification à des séries divergentes il faut abandonner soit la stabilité soit la linéarité.
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_...mation_methods
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...s_de_sommation

[bobdémaths]

Bonjour,

Je me permets d'ajouter deux liens qui semblent ne pas avoir été mentionnés. Le premier concerne le lien entre les prolongements analytiques et la formule d'Euler-MacLaurin, c'est un texte de Terence Tao fort bien écrit :

https://terrytao.wordpress.com/2010/...-continuation/

D'autre part, je mentionne à titre anecdotique la formule d'Abel-Plana qui permet d'évaluer "sans comprendre" certaines de ces sommes divergentes.

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E...3Plana_formula

Le calcul de la somme des entiers positifs intervient parfois en théorie quantique des champs, ainsi qu'en théorie des cordes, comme cela a été mentionné. Il est courant en théorie quantique des champs que certaines quantités soient, à première vue, infinies, et il est alors nécessaire de les régulariser pour obtenir une réponse physique. Pour tout un tas de raisons, la "bonne" façon de régulariser la somme de tous les entiers positifs, c'est de la remplacer par -1/12.

Si vous avez des questions plus spécifiques, n'hésitez pas à les poser.

[inviteda0d8a19]

http://sciencetonnante.wordpress.com...7/1234567-112/

Hier, j'y ai écrit ceci dans la section commentaire :

Il semble y avoir une erreur à l’échauffement, niveau 2 lorsque tu passes de

#1: B = 1 – (2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 +…)

à

#2: B = 1 – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)

Les 2 # débutent par «1 -». Pour que les 2 # restent identiques il faut que

(2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 +…) du #1 = (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …) du #2.

Ce n’est pas le cas car
(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) – ( 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)
=> (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) + (-1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …)
=> ([1 – 1] + [-2 + 1] + [3 – 1] + [-4 + 1] + [5 – 1] + …)
=> (0 -1 + 2 – 3 + 4 – …)
est différent de (2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 +…)

Qu’en penses-tu ?

Il me semble que le #2 devrait être en remplaçant le «-» par un «+» entre les 2 «()»:

B = 1 – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) + (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)

On obtiendrait ceci

=> B = 1 – B + A
=> B = 1 – B + 1/2
=> 2B = 3/2
=> B = 3/4

Merci d’avance.

Je n'y ai pas encore eu une réponse. Peut-être, je vais avoir plus de chance d'obtenir une réponse ici.

Si B = 3/4 alors la suite de la preuve donnera -1/4 et non -1/12.

Shalom !