Le billard avec eternel retour

[invite2ec994dc]

Bjr

Fais une simulation informatiqu stp et dis moi ce que tu obtiens merci.

cdt
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[invite9dc7b526]

non, ce n'est pas possible. Il y a des orbites non périodiques, et parmi les orbites périodiques il y en a d'une infinité de périodes (par période on entend le nombre de rebonds). Bon j'avoue que je viens d'apprendre ça en cherchant un peu sur le net. Cherchez la phrase "periodic orbits equilateral triangle"

[invite51d17075]

bien vu !
pas eu le courage de chercher
Cdt

[invite2ec994dc]

Fais une simulation stp comme cela on sera fixé.
Ma preuve marche quand on ne vise pas un des 3 sommets.
(Me semble marché plutôt (prudence)).

[invite2ec994dc]

f ([a, b]):=[ 1-b,a/b-a]
la preuve repose sur le fait f composer 6 fois est l identité.
Desolé il faut aussi que f soit de ] 0,1 [ dans ] 0,1 [ ce qui n est pas le cas.

Promis la prochaine fois que je donne une énigme je met la solution dans un spolier si ce n est pas le cas je vous invite
à ne pas répondre.

Mais je reste quand même persuader que je suis meilleure dans l invention d enigmes que dans la resolution.

[invite51d17075]

J'adore. Mais je joue comme un manche.

Et celui qui dit "le billard c'est juste l'application de la physique" a une baffe.
Ya pas que ça (même avec un fusil à lunette je rate les cibles. Véridique. Et aux darts, je rate la cible à deux mètres. On est comme on est, hein ? Théoriciens jusqu'au bout des ongles).

ben au moins, on est sur tu ne seras jamais un sniper

@contrexemple:
absolument rien compris à ta formule ! ( par rapport au sujet )
et en attente de tes poteaux alignés ( le second devant probablement servir aux mouettes ou passereaux de passage )

[invite2ec994dc]

f ([a, b]):=[ 1-b,a/b-a]
la preuve repose sur le fait f composer 6 fois est l identité...

Ce qui n'est pas vrai j'ai récupéré mon pc et maple me dit que non, auparavant j 'avais utiliser maxima pour androïde...

[invite2ec994dc]

Salut,

Pouvez-vous trouver la forme d'un billard qui a une infinité de trajectoire de boules fermés avec plus de 4 rebonds ?

Réponse :

 Cliquez pour afficher

le cercle avec les polygones à n côté régulier, avec n>3

[Deedee81]

Salut,

Le cercle est un cas limite. On peut aussi ajouter le rectangle et d'autres modifications de ta solution de ce type.

Mais je suis prêt à parier qu'il y a encore d'autres solutions

[invite2ec994dc]

Salut,

Le cercle est un cas limite. On peut aussi ajouter le rectangle et d'autres modifications de ta solution de ce type.

Mais je suis prêt à parier qu'il y a encore d'autres solutions

Salut,

Effectivement.

D'autres solutions : Oui, les polygones réguliers

[Deedee81]

D'autres solutions : Oui, les polygones réguliers

Oui, oui, mais je parlais d'autres cas encore. Je suis sûr qu'il doit y en avoir.

Exemple qui me vient en tête à vérifier : est-ce qu'une ellipse ne conviendrait pas ?

[invite51d17075]

rappel, il n'y a pas de n>3, le triangle est comparable aux autres cas.

[invite51d17075]

il est presque plus amusant de chercher les cas ou ça marche.
il a été cité:
un billard de la taille de la boule
un billard rectiligne de la largeur de la boule.
on peut y ajouter un billard à n branches dont chacune a la largeur de la boule.
....

[invite2ec994dc]

Plus de solutions :

Soit C un billard de courbure tel qu'il y a un polygone ayant une trajectoire fermée inscrit dans C, et tangent avec C en les points de contact avec la trajectoire fermée et les côtés du polygones.

un exemple de billard solution (le polygone est ici un carré et la trajectoire fermé passe par le milieu de chaque côté du carré) :

[invite2ec994dc]

Oui, oui, mais je parlais d'autres cas encore. Je suis sûr qu'il doit y en avoir.

Exemple qui me vient en tête à vérifier : est-ce qu'une ellipse ne conviendrait pas ?

Oui, en prenant comme polygone un rectangle la trajectoire fermée passant par le milieu des côtés :

[invite2ec994dc]

il est presque plus amusant de chercher les cas ou ça marche.
il a été cité:
un billard de la taille de la boule
un billard rectiligne de la largeur de la boule.
on peut y ajouter un billard à n branches dont chacune a la largeur de la boule.
....

n'importe quelle courbe fermée continument dérivable, que l'on prend d'épaisseur de la boule convient.

[invite2ec994dc]

On peut aussi ajouter le rectangle et d'autres modifications de ta solution de ce type.

Le rectangle possède effectivement une trajectoire fermée avec au moins 4 rebonds, mais en a-t-il une infinité ?

[invite2ec994dc]

rappel, il n'y a pas de n>3, le triangle est comparable aux autres cas.

Le triangle à une infinité de courbe fermée, tu saurais le montrer.

[Deedee81]

Le rectangle possède effectivement une trajectoire fermée avec au moins 4 rebonds, mais en a-t-il une infinité ?

Je pense que oui (la flemme de le démontrer) au moins si le rapport des deux cotés est rationnel.

En tout cas, déterminer toutes les formes répondant à ce critèredoit être fort difficile. J'ai l'impression que ce problème risque de rester ouvert.

[invite2ec994dc]

Je pense que oui (la flemme de le démontrer) au moins si le rapport des deux cotés est rationnel.

En tout cas, déterminer toutes les formes répondant à ce critèredoit être fort difficile. J'ai l'impression que ce problème risque de rester ouvert.

Effectivement on le voit avec le domaine fondamentale du tore, et cela revient à ce placer dans un réseau.
Chercher des trajectoires fermés revient à chercher les droites passant par deux points identiques (à domaine fondamentale prêt) et cela marche même quand le rapport largeur longueur est irrationnel.
Pour ce qui est des polygones pour que cette méthode marche il faut que les polygones pavent le plan de manière que chaque segment de contact entre deux polygones soit un axe de symétrie par rapport aux deux polygones.

[invite51d17075]

Le triangle à une infinité de courbe fermée, tu saurais le montrer.

tu es un peu gonflé.
tu as une idée que tu ne démontre pas, et il faut te montrer , nous qu'elle est vrai ou fausse.
fait donc une demo TOI.
Et d'ailleurs, la question n'est pas là , tu transformes la question puisque que tu affirmes TOI par ailleurs que TOUTES les courbes sont fermées , ce qui est différent.
ps; ds le cas du triangle, trajectoire est mieux venu que courbe

[invite51d17075]

au passage tu oublies avoir affirmé mordicus que 4 ou 6 ou peut être 8 rebonds ( suffisait à revenir au point de départ quel que soit la position et la direction de départ )
là tu bottes en touche sur ce point, en parlant de trajectoires avec une infinité de rebonds.
ce n'est pas du tout le même sujet.
et c'est un peu énervant.

[Deedee81]

tu as une idée que tu ne démontre pas, et il faut te montrer , nous qu'elle est vrai ou fausse.

Rien ne t'y oblige

Par contre les changements au cours du fil, ça, c'est vrai que c'est assez déroutant. Pour dire le moins.

[invite51d17075]

je revient sur le triangle.
contrexemple affirme dans un premier temps , TOUTES les trajectoires dans un triangle repassent par le point départ avec un nb de rebond < 4 puis 6 etc.
puis récemment , il dit il EXISTE une trajectoire qui satisfasse ce critère.
perdons nous notre temps ?

@Deedee: effectivement. d'ailleurs, ce n'est pas mon intention.

[invite9dc7b526]

Je réfléchissais au cas du billard carré, et je trouve des trajectoires fermées ayant un nombre pair de rebonds, pour tout nombre pair à partir de 2, mais pas avec un nombre impair. On doit pouvoir prouver que c'est impossible...

edit: en fait la preuve est triviale.

[invitef29758b5]

Le rectangle possède effectivement une trajectoire fermée avec au moins 4 rebonds, mais en a-t-il une infinité ?

Partant d' un point d' impact donné sur la première bande , il n' y a que 2 valeurs d' incidence qui donnent une trajectoire fermée .
Comme il y a une infinité de points d' impact possible , il y a bien une infinité de trajectoires fermées , mais ce sont des cas particuliers .

[invite9dc7b526]

Je pense que oui (la flemme de le démontrer) au moins si le rapport des deux cotés est rationnel.

non le rapport des côtés ne joue aucun rôle : tu travailles dans le carré et ensuite tu étires ce carré et les trajectoires s'étirent avec lui.

[invite9dc7b526]

Partant d' un point d' impact donné sur la première bande , il n' y a que 2 valeurs d' incidence qui donnent une trajectoire fermée .

il y en a beaucoup plus.

[invite2ec994dc]

il y en a beaucoup plus.

L'étirement selon un axe (ou affinité) conserve les symétries ?

Si oui, alors l'ellipses (cercle ayant subit une affinité) à une infinité de trajectoires fermées.

[invite2ec994dc]

Et en fait toute les transformations qui conservent les symétries permettent de transformer le cercle en des formes de billards ayant également des infinités d'axes de symétries.