Double casse-tête

[invite452d5a24]

Salut,

Une petite énigme mathématique que je propose à votre sagacité :



Cordialement.
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[invite23cdddab]

Le mot clé :

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Série alternée

Démonstration :

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La série est convergente comme une série alternée.

De plus,
a) est du signe de (signe du premier terme de la série alternée)
b) est décroissante, comme valeur absolue du reste d'une série alternée

Donc est une série alternée, donc converge

[invite452d5a24]

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Je ne connais pas le résultat que tu utilises sur la décroissance de la valeur absolue du reste d'une série alternée : aurais-tu une justification de cela.

[invite23cdddab]

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C'est un résultat classique sur les séries alternées. On a :

Soit une série alternée, et notons sa somme. Sans perte de généralité, on considèrera

On note le reste de la somme partielle, et la somme partielle.

est une suite adjacente de limite L, donc .

En particulier, on a :

1) donc
2) donc

D'où le résultat

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

(...)

Cela ne répond pas à la question du message #1

[invite23cdddab]

Je ne comprends pas ta remarque...

[Amanuensis]

C'est moi qui me complique les choses dans la tête.

Est-ce que la démo proposée implique que par exemple la suite converge?

(Ou encore )

En gros est-ce que la lecture de la double somme doit se lire nécessairement comme une somme de sommes ? La signification serait-elle différente si on écrit , comme je l'ai lue en première lecture ?

[invite51d17075]

En gros est-ce que la lecture de la double somme doit se lire nécessairement comme une somme de sommes ? La signification serait-elle différente si on écrit , comme je l'ai lue en première lecture ?

pour ma part, les deux écritures sont équivalentes, et de ce fait je ne comprend pas la démo de Tryss.
( car j'arrive même à une conclusion différente )
Cdt

[invitedd63ac7a]

J'en doute. C'est le problème des séries semi-convergentes quand on change l'ordre des termes on obtient autre chose. Si on ne définit pas correctement la sommation on arrive à quelque chose d'indéfini. L'exercice posé au départ lui est bien défini.

[invite51d17075]

J'en doute. C'est le problème des séries semi-convergentes quand on change l'ordre des termes on obtient autre chose. Si on ne définit pas correctement la sommation on arrive à quelque chose d'indéfini. L'exercice posé au départ lui est bien défini.

ben du coup, tu me fais douter aussi !

[invite23cdddab]

La famille des n'est effectivement pas une famille sommable. Mais ça n'était pas la question de l'énoncé. On ne peut donc pas réarranger les termes, et il faut lire la suite comme elle est écrite :



C'est l'analogue de l'intégrale suivante :

[invite51d17075]

je retire ma remarque, je me suis fait avoir comme un bleu.

[Amanuensis]

Vu l'auteur de la question (si tant est qu'il y a ait un rapport entre pseudos identiques...), je me serais attendu à la question posée avec un sigma sur (i,j)...

[invite452d5a24]

Bonjour,

@Tryss : Bravo.

Au revoir.

[invite23cdddab]

Vu l'auteur de la question (si tant est qu'il y a ait un rapport entre pseudos identiques...), je me serais attendu à la question posée avec un sigma sur (i,j)...

Oui mais là c'est facile. Si la somme sur (i,j) converge, alors on peut sommer comme on veux. Donc en particulier, on a :



Donc la somme sur (i,j) diverge

[invite51d17075]

Donc la somme sur (i,j) diverge

c'est justement à cette conclusion facile que j'arrivais ( avec une mauvaise lecture de l'énoncé )....
je ne regrette pas mon erreur, car c'est une bonne piqure de rappel.
Cdt

[invite51d17075]

une autre "mauvaise" sommation est de considérer tous les k somme des (i+j)
pour un k donné , il existe k-1 couples de (i,j) , et tous les couples (i,j) sont représentés.
et on voit vite que

diverge.

[invite452d5a24]

une autre :

Déterminer les , tel que ait au moins une racine double dans les complexes.

[invite23cdddab]

Une méthode laborieuse:

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Ce polynôme est un polynôme de degré 5 avec une racine double, il s'écrit donc sous la forme

(x-r)^2(x^3+ux²+vx+w) = (x² - 2rx +r²)(x^3+ux²+vx+w) = x^5 + (u - 2r)x^4 + (v - 2ru + r²)x^3 + (w - 2rv + r²u)x² + (vr² - 2rw)x + r²w

D'où, par identification des coefficients,

u - 2r = 1
v - 2ru + r² = 1
w - 2rv + r²u = 1
vr² - 2rw = 1

et a = r²w

Alors

u = 1+2r
v = 1+ r(1+2r) - r² = 1 + r + r²
w = 1 + 2r(1+ r(1+2r) - r²) - r²(1+2r) = 1 + 2r + r²

Ce qui donne

(1 + r + r²)r² - 2r(1 + 2r + r²) = 1

Ainsi

1 + 2r + 3r^2 -r^3 +r^4 = 0

On peut calculer les racines de ce polynôme, et obtient alors les valeurs possibles de a :

a = r² + 2r^3 + r^4

[Amanuensis]

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N'y a-t-il pas quelque chose à faire avec le PGCD de P et P' ?

[invite452d5a24]

@Tryss : Pas mal, mais je pense qu'il y a erreur dans tes calculs (j'ai utilisé une calculette) car je ne trouve pas le même polynôme à résoudre.

@Amanuensis : et tu obtiens quoi ?

[Amanuensis]

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Peut-être pas besoin du PGCD: prendre les quatre racines r de P' et a = -P(r), ne garder que les réelles. Non?

[invite452d5a24]

Oui, un peu comme à fait Tryss.

[invite51d17075]

bjr,
je me demande si on ne peut pas simplifier le pb en multipliant le Polynôme par (x-1) ?
( question ouverte car je n'ai pas poursuivi l'idée ).

[invite452d5a24]

Possible, je ne sais pas si cela aboutirait.

[invitedd63ac7a]

J'utilise les idées d'Amanuensis et Anset :


On multiplie tout par (x-1)
.
Si P(x) a au moins une racine double, Q(x) a au moins une racine double.
Donc on doit avoir simultanément Q(x)=0, Q'(x)=0


Après quelques calculs on trouve
qui développé donne :

Le premier facteur est le polynôme cherché pour P.
J'ai vérifié que ce premier polynôme est le bon en calculant le déterminant de Sylvester de P et P'.
J'ai fait les calculs sous Maple

[invite452d5a24]

Salut,

Bravo, j'obtiens le même polynôme que toi, et donc pas de solution.
une autre :

déterminer la dérivée 8 e en 0 de la fonction réciproque de .
On indiquera la méthode employée.

Bonne journée.

[invite51d17075]

Salut Dattier.
Je me permets une petite remarque. ( qui est aussi une question )
Dans "l'énigme" précédente, la résolution finale passe quand même par un calcul "lourdingue". ( et ce n'est pas la première fois dans tes propositions )
Ce n'est pas trop l'idée que je me fais de "science ludique".
Alors , comme un idiot, je cherche l'astuce ou le truc détourné qui aboutirait au résultat.
Ce n'est pas tant le fait de ne pas la trouver qui m'interroge, c'est le fait qu'elle n'existe pas.

Du coup, je ne me penche pas sur cette dernière question, car j'ignore si on retombe sur la même impasse. ( exercice purement lourdingue )
La question devient donc :
est ce que tu connais la résolution de tes énigmes, et si oui, pourquoi poser celles qui ne sont pas du tout ludiques.
dans le cas contraire, poses tu des questions qui simplement " te passent par la tête".
3ème possibilité, tu es tombé sur des exercices de fac, tu n'en connais pas la réponse, et tu les poses ici comme étant "ludique".....
si c'est le cas, autant les mettre dans le forum de math.

[invite452d5a24]

Bonjour,

Ce n'est pas trop l'idée que je me fais de "science ludique".

Moi, aussi, j'avais mis ce fil dans mathématique du Supérieur.

[Deedee81]

Salut,

Du coup, je ne me penche pas sur cette dernière question, car j'ignore si on retombe sur la même impasse. ( exercice purement lourdingue )

Amusant car je me suis fait la même réflexion. Répondre à la question c'est juste appliquer la dérivée de la réciproque huit fois. C'est facile mais lourd de chez lourd. Je n'ai donc pas répondu en me disant qu'il y avait peut-être un raccourci.

Dattier,

Ansset a raison. Habituellement dans le forum ludique, on pose des énigmes dont on connait la réponse (sinon c'est plutôt une demande d'aide pour le forum de math où on doit alors préciser ce qu'on a fait, là où on bloque, etc... Comme d'hab quoi).

Je te propose donc de mettre la solution dans un spoiler avant de continuer.