Salut,
Une petite énigme mathématique que je propose à votre sagacité :
Cordialement.
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Salut,
Une petite énigme mathématique que je propose à votre sagacité :
Cordialement.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Le mot clé :
Cliquez pour afficherSérie alternée
Démonstration :
Cliquez pour afficher
La sérieest convergente comme une série alternée.
De plus,
a)est du signe de
(signe du premier terme de la série alternée)
b)est décroissante, comme valeur absolue du reste d'une série alternée
Doncest une série alternée, donc converge
Cliquez pour afficherJe ne connais pas le résultat que tu utilises sur la décroissance de la valeur absolue du reste d'une série alternée : aurais-tu une justification de cela.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Cliquez pour afficherC'est un résultat classique sur les séries alternées. On a:
Soitune série alternée, et notons
sa somme. Sans perte de généralité, on considèrera
On notele reste de la somme partielle, et
la somme partielle.
est une suite adjacente de limite L, donc
.
En particulier, on a :
1)donc
2)donc
D'où le résultat
Je ne comprends pas ta remarque...![]()
C'est moi qui me complique les choses dans la tête.
Est-ce que la démo proposée implique que par exemple la suiteconverge?
(Ou encore)
En gros est-ce que la lecture de la double somme doit se lire nécessairement comme une somme de sommes ? La signification serait-elle différente si on écrit, comme je l'ai lue en première lecture ?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
pour ma part, les deux écritures sont équivalentes, et de ce fait je ne comprend pas la démo de Tryss.
( car j'arrive même à une conclusion différente )
Cdt
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
J'en doute. C'est le problème des séries semi-convergentes quand on change l'ordre des termes on obtient autre chose. Si on ne définit pas correctement la sommation on arrive à quelque chose d'indéfini. L'exercice posé au départ lui est bien défini.
ben du coup, tu me fais douter aussi !![]()
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
La famille desn'est effectivement pas une famille sommable. Mais ça n'était pas la question de l'énoncé. On ne peut donc pas réarranger les termes, et il faut lire la suite comme elle est écrite :
C'est l'analogue de l'intégrale suivante :
![]()
Dernière modification par Tryss2 ; 29/08/2017 à 11h51.
je retire ma remarque, je me suis fait avoir comme un bleu.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Vu l'auteur de la question (si tant est qu'il y a ait un rapport entre pseudos identiques...), je me serais attendu à la question posée avec un sigma sur (i,j)...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
@Tryss : Bravo.
Au revoir.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Oui mais là c'est facile. Si la somme sur (i,j) converge, alors on peut sommer comme on veux. Donc en particulier, on a :
Donc la somme sur (i,j) diverge
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
une autre "mauvaise" sommation est de considérer tous les k somme des (i+j)
pour un k donné , il existe k-1 couples de (i,j) , et tous les couples (i,j) sont représentés.
et on voit vite que
diverge.
Dernière modification par ansset ; 29/08/2017 à 13h07.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
une autre :
Déterminer les, tel que
ait au moins une racine double dans les complexes.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Une méthode laborieuse:
Cliquez pour afficher
Ce polynôme est un polynôme de degré 5 avec une racine double, il s'écrit donc sous la forme
(x-r)^2(x^3+ux²+vx+w) = (x² - 2rx +r²)(x^3+ux²+vx+w) = x^5 + (u - 2r)x^4 + (v - 2ru + r²)x^3 + (w - 2rv + r²u)x² + (vr² - 2rw)x + r²w
D'où, par identification des coefficients,
u - 2r = 1
v - 2ru + r² = 1
w - 2rv + r²u = 1
vr² - 2rw = 1
et a = r²w
Alors
u = 1+2r
v = 1+ r(1+2r) - r² = 1 + r + r²
w = 1 + 2r(1+ r(1+2r) - r²) - r²(1+2r) = 1 + 2r + r²
Ce qui donne
(1 + r + r²)r² - 2r(1 + 2r + r²) = 1
Ainsi
1 + 2r + 3r^2 -r^3 +r^4 = 0
On peut calculer les racines de ce polynôme, et obtient alors les valeurs possibles de a :
a = r² + 2r^3 + r^4
Cliquez pour afficherN'y a-t-il pas quelque chose à faire avec le PGCD de P et P' ?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
@Tryss : Pas mal, mais je pense qu'il y a erreur dans tes calculs (j'ai utilisé une calculette) car je ne trouve pas le même polynôme à résoudre.
@Amanuensis : et tu obtiens quoi ?
Dernière modification par Dattier ; 29/08/2017 à 15h56.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Cliquez pour afficherPeut-être pas besoin du PGCD: prendre les quatre racines r de P' et a = -P(r), ne garder que les réelles. Non?
Dernière modification par Amanuensis ; 29/08/2017 à 16h31.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Oui, un peu comme à fait Tryss.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
bjr,
je me demande si on ne peut pas simplifier le pb en multipliant le Polynôme par (x-1) ?
( question ouverte car je n'ai pas poursuivi l'idée ).
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Possible, je ne sais pas si cela aboutirait.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
J'utilise les idées d'Amanuensis et Anset :
![]()
![]()
On multiplie tout par (x-1)
.
Si P(x) a au moins une racine double, Q(x) a au moins une racine double.
Donc on doit avoir simultanément Q(x)=0, Q'(x)=0
![]()
Après quelques calculs on trouve
qui développé donne :
Le premier facteur est le polynôme cherché pour P.
J'ai vérifié que ce premier polynôme est le bon en calculant le déterminant de Sylvester de P et P'.
J'ai fait les calculs sous Maple
Salut,
Bravo, j'obtiens le même polynôme que toi, et donc pas de solution.
une autre :
déterminer la dérivée 8 e en 0 de la fonction réciproque de
.
On indiquera la méthode employée.
Bonne journée.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Salut Dattier.
Je me permets une petite remarque. ( qui est aussi une question )
Dans "l'énigme" précédente, la résolution finale passe quand même par un calcul "lourdingue". ( et ce n'est pas la première fois dans tes propositions )
Ce n'est pas trop l'idée que je me fais de "science ludique".
Alors , comme un idiot, je cherche l'astuce ou le truc détourné qui aboutirait au résultat.
Ce n'est pas tant le fait de ne pas la trouver qui m'interroge, c'est le fait qu'elle n'existe pas.
Du coup, je ne me penche pas sur cette dernière question, car j'ignore si on retombe sur la même impasse. ( exercice purement lourdingue )
La question devient donc :
est ce que tu connais la résolution de tes énigmes, et si oui, pourquoi poser celles qui ne sont pas du tout ludiques.
dans le cas contraire, poses tu des questions qui simplement " te passent par la tête".
3ème possibilité, tu es tombé sur des exercices de fac, tu n'en connais pas la réponse, et tu les poses ici comme étant "ludique".....
si c'est le cas, autant les mettre dans le forum de math.
Dernière modification par ansset ; 31/08/2017 à 11h29.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Salut,
Amusant car je me suis fait la même réflexion. Répondre à la question c'est juste appliquer la dérivée de la réciproque huit fois. C'est facile mais lourd de chez lourd. Je n'ai donc pas répondu en me disant qu'il y avait peut-être un raccourci.
Dattier,
Ansset a raison. Habituellement dans le forum ludique, on pose des énigmes dont on connait la réponse (sinon c'est plutôt une demande d'aide pour le forum de math où on doit alors préciser ce qu'on a fait, là où on bloque, etc... Comme d'hab quoi).
Je te propose donc de mettre la solution dans un spoiler avant de continuer.
Keep it simple stupid