Peut-on imaginer l’ensemble vide ?

[amineyasmine]

bonjour

La question est naïve, les réponses le seront surement aussi.
La réponse la plus naïve est : le sac vide
Le sac contenant 3 pommes est un ensemble de 3 objets, le sac n’est pas compté
Le sac contenant 4 bananes est un ensemble de 4 objets.
Ces deux ensembles sont distincts, leurs intersection est l’ensemble vide qui est le sac lui-même, alors ca colle bien pour une première propriété.
L’union de deux ensembles vide est l’ensemble vide, ca doit être la même chose pour le sac vide. Le sac vide, ajouté au sac vide ca donne le sac vide, il n’y a qu’un seul sac dans l’univers des maths. La propriété de l’unicité de l’ensemble vide.
L’union de l’ensemble des 3 pommes à l’ensemble des 4 bananes donne un ensemble de 7 objets, le sac contenant 3 pommes et 4 bananes (il n’y a pas 2 sacs)

La propriété essentielle de l’ensemble vide c’est ca définition : aucun élément ne peut appartenir à cet ensemble.
C’est le cas pour le sac vide. Pour appartenir au sac, il faut être dans la paroi du sac et non entouré par la paroi du sac. La paroi de l’unique sac de l’univers des math est tellement mince qu’elle ne peut contenir aucun élément.

Bon, c’est une imagination trop naïve qui ne collera pas surement pour toutes les propriétés de l’ensemble. Y a-t-il une autre imagination pour l’ensemble vide ?
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[Merlin95]

La propriété essentielle de l’ensemble vide c’est ca définition : aucun élément ne peut appartenir à cet ensemble.

Dans les ensembles car dans d'autres contextes, ce n'est pas forcément si « intuitif » : https://youtube.com/clip/UgkxCQecSyR...ARq9tUQJP7xkDQ

[non bwana]

Bonjour,
Faut virer ce sac bizarre, il n'y a pas de sac. La notion d'ensemble ne suggère pas de contenant, même virtuel. Ce n'est pas l'ensemble qui se remplit d'éléments, les éléments ont des critères communs, et l'ensemble est défini ainsi ensuite, sans rien poser au-delà. La question est d'importance, car en effet, c'est dans l'ordre que tu montres que cette notion est proposée dans les petites classes de l'école.
Depuis plusieurs décennies, le terme d' "ensemble" a été remplacé par celui de "collection", et ce, dès la première scolarité. Peut-être pour le problème que tu évoques. Mais on voit qu'ici, en fait, le changement de vocabulaire n'a rien amené. Tu as raison de poser la question, quelle approche serait salutaire pour éjecter cette notion de sac, dès le début ?

[polo974]

Quel sac de noeuds dans les neurones...

Voilà donc ce qu'il se passe quand on fait de mauvaises maths en se basant sur de la mauvaise physique...

Votre sac, c'est comme les bornes ou le barbelé qui marquent une frontière. Ce n'est pas la frontière.
C'est approximatif, d'ailleurs il y a peu, un belge a déplacé une borne de la frontière franco-belge, heureusement, ça n'a pas déclencher de conflit...

Et puis, ça va être drôle de trouver un sac pour les cases noires et un autre pour les cases blanches d'un damier indémontable...

C'est donc la représentation que l'on se fait d'un ensemble qui peut porter à confusion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Quel sac de noeuds dans les neurones...

Mais pas le sac vide, hélas

La question est naïve, les réponses le seront surement aussi.
La réponse la plus naïve est : le sac vide

Ca a l'avantage d'être visuel. Pourquoi pas.

Ceci dit avec l'habitude on adopte plutôt une représentation mentale abstraite, comme le suggère non bwana. On pense l'ensemble vide en terme de propriétés mathématiques, d'axiomatique ou autre (je suppose que ça peut varier de l'une à l'autre personne).

Bon, ici, je ne vois pas trop d'inconvénient mais il faut parfois se méfier des représentations imagées en math. Ca peut jouer des tours. Un exemple, soit un ensemble de points et tu définis une distance entre les points. Disons une distance "classique", comme la distance euclidienne ou même la taxi-distance. Tu peux alors définir une sphère (ensemble des points à distance D d'un point donné). Et tu peux avoir des sphères emboitées, des sphères sécantes..... et tout ça se représente mentalement de façon évidente et facile. Oui mais voilà, le monde des mathématiques est infiniment plus riche que le monde du quotidien. Supposons que tu définies une distance ultramétrique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Distan...am%C3%A9trique
Et là surprise : oui, tu as toujours le concept de sphère, oui des sphères peuvent être emboitées.... mais il n'existe pas de sphère sécantes !!!!! Et là, pour se représenter ça mentalement, tintin (en tout cas moi je ne sais pas). Moralité si on raisonne sur les espaces ultramétriques en essayant de visualiser c'est PAN dans le mur, l'erreur assurée. Seule solution : la pensée abstraite. Ce qui est une étape pas nécessairement facile. Et la physique faisant abondamment appel aux maths pas seulement pour le "quotidien" mais aussi pour les espaces d'états, les espaces de configurations, de phase, etc.... On rencontre aussi cette difficulté (un exemple : l'espace des phases en mécanique classique, même pas quantique ou autre, est un espace symplectique.... c'est pas le pire, mais c'est pas non plus le plus "intuitif" au sens des représentations mentales basées sur la vie au quotidien, les sacs, les bananes...).

Et un exemple humoristique sur la "pensée" du mathématicien. Un physicien et un mathématicien boivent un verre à une terrasse et regardent un immeuble vide en face. Tout à coup, trois personnes rentrent dans l'immeuble. Un peu plus tard cinq personnes en sortent. Le physicien se dit :
"humm, je me suis trompé, l'immeuble n'était pas vide"
Le mathématicien se dit :
"Si deux personnes rentrent dans l'immeuble il sera à nouveau vide"
(cette blague n'est pas de moi)

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

La propriété essentielle de l’ensemble vide c’est ca définition : aucun élément ne peut appartenir à cet ensemble.
C’est le cas pour le sac vide. Pour appartenir au sac, il faut être dans la paroi du sac et non entouré par la paroi du sac. La paroi de l’unique sac de l’univers des math est tellement mince qu’elle ne peut contenir aucun élément.

Bon, c’est une imagination trop naïve qui ne collera pas surement pour toutes les propriétés de l’ensemble.

En effet, avec ce raisonnement, vous risquez d'avoir des problèmes avec les notions d'ensembles ouverts et fermés, et de frontières.

Y a-t-il une autre imagination pour l’ensemble vide ?

Définition de: https://mathworld.wolfram.com/Set.html et https://mathworld.wolfram.com/EmptySet.html

A set is a finite or infinite collection of objects in which order has no significance, and multiplicity is generally also ignored. [The empty set is ] The set containing no elements.

Traduction: "Un ensemble est une collection finie ou infinie d'objets pour lequel l'ordre n'a pas de signification, et la multiplicité est généralement ignorée. [L'ensemble vide] est l'ensemble ne contenant aucun élément".

[Deedee81]

Salut,

Traduction: "Un ensemble est une collection finie ou infinie d'objets pour lequel l'ordre n'a pas de signification, et la multiplicité est généralement ignorée. [L'ensemble vide] est l'ensemble ne contenant aucun élément".

Il est sans doute aussi bon de préciser que les "objets" en question n'ont (a priori) pas de propriétés : ce sont juste des chosestrucsmachins sans nature ni substrance et surtout sans structure (tout comme les points de la géométrie axiomatisée par Hilbert peuvent être des chaises et des tables, exemple cité par Médiat).

Tout ça vient après.

Un exemple classique que j'ai dans un bouquin sur les espaces vectoriels. On a un ensemble E d'éléments. Et ces éléments n'ont aucune propriétés, aucune relation et aucun ordre (comme dit dans wolfram).
Puis ils définissent les axiomes classiques d'espace vectoriel : on définit une opération interne + tel que pour tout x, y appartenant à E il existe z tel que z = x + y, avec les propriétés de l'opération etc....
Et l'espace ainsi défini est aussi appelé E. Mais comme ils le disent, on devrait en toute rigueur le nommer E' car E' n'est pas l'ensemble E. On peut dire que c'est E plus une structure ou que E est l'ensemble support de l'espace E'. Mais E 'est pas E'.

Donc un ensemble à la base est vraiment élémentaire, lui attribuer des propriétés supplémentaires (par exemple les éléments d'un sac de bananes ont une propriété : ils ont une pelure ) c'est prendre des risques. C'est bien vu avec les ouverts, fermés... et d'ailleurs plus généralement les topologies. C'est comme pour mon exemple de distances/métriques : il y a des topologies qui correspondent peu ou prou avec ce qu'on peut se représenter mentalement à partir de la vie au quotidien mais la plupart des topologies sont sacrément exotiques si on compare au quotidien !!!!! Même soucis aussi avec les mesures. On aimerait que tout sous-ensemble soit mesurable et de mesure non nulle s'il n'est pas vide et avec la propriété normale d'additivité. Avec R² (le plan) pas de problème. Mais avec R³ : impossible, il existe toujours des sous-ensembles non vides de mesure non nulle. Et je trouve ça sacrément peu intuitif. D'ailleurs c'est cette étrangeté plus l'axiome du choix qui conduit au paradoxe de Banach-Tasrki qui n'a évidemment pas d'équivalent dans la vie courante (sinon on serait riche : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski ). Certains rejettent l'axiome du choix à cause de ça, mais personnellement ça ne me gène pas : pourquoi les structures mathématiques devraient-elles coller au monde réel ? On peut avoir des mathématiques appliquées à des domaines X, Y, Z mais il ne faut pas confondre ça avec les mathématiques en soi, ce serait confondre "marteau" et "usage du marteau pour enfoncer un clou".

Bref, tout ça pour dire que les représentations mentales concrètes sont souvent néfastes. Elles peuvent être parfois un support mais il vaut mieux si possible avoir des représentations mentales abstraites. Et cela ne bride en rien l'imagination (pour reprendre le verbe utilisé par amineyasmine) ..... que du contraire !!!!!

Allez toujours de l'humour puis qu'on est en ludique.
Un physicien et un mathématicien assistent à une conférence sur la théorie des cordes. Trèèèès technique. A la sortie :
P "pfffff c'est sacrément difficile de se représenter mentalement les variétés à onze dimensions"
M "Ben, non, moi j'ai pas de problème"
P¨"Mais comment tu fais ?"
M "je me représente des variétés à N dimensions puis je pose N = 11"


Et.... c'est tellement vrai (c'est pour ça que c'est amusant). L'abstraction et la généralisation aident fortement à visualiser/maîtriser des cas particuliers.

[Deedee81]

Elles peuvent être parfois un support

Les représentations mentales "imagées" (ou sur papier) peuvent être utiles voire indispensables.
1) Quand on apprend à compter à un enfant en maternelle on ne le fait pas en commençant avec nombres p-adiques On lui met par exemple des cubes devant les yeux. Par après ça évolue (*)
2) Souvent un schéma, un graphique, etc.... aide à faire ressortir certaines propriétés, certains aspects plus difficiles à voir avec une simple description abstraite. Que ce soit en math ou en physique. Mais il faut choisir les bonnes représentations (**)

(*) Apprendre, c'est désapprendre ! C'est un classique. Et ça fait même partie des processus normaux d'apprentissage. Ainsi, quand on est (tout) petit on confond le concept de taille et de nombre (un enfant dira qu'il y a plus de bâtons s'ils sont plus grands, indépendamment de leur nombre exact). C'est après qu'il y a une transition, on désapprend ce réflexe, pour intégrer le concept beaucoup plus abstrait de nombre. Et c'est comme ça pour tout : les oiseaux ça vole, puis on découvre l'autruche, les objets tombent puis on apprend que ce n'est pas le cas dans l'ISS, on nous apprend les vecteurs avec de petites flèches puis on apprend une formulation plus générale et plus abstraite (un exemple, l'espace vectoriel des polynômes de degrés n sous l'addition et la multiplication par un scalaire). Etc... etc.... On fat ça toute notre vie. Mais j'ai souvent constaté que plus les années passes et plus désapprendre devient difficile. Et pourtant ça reste nécessaire.

(**) Il ne faut pas représenter les choses n'importe comment. Un autre exemple après ceux cité plus haut. En relativité générale on voit souvent la représentation feuille de caoutchouc ou la boule gonflante pour l'univers. Et ces représentations sont fausses et trompeuses. J'ai vu ça trente six fois sur le forum d'astrophysique. Alors qu'il existe des représentations fiables : coupes et représentations graphiques, diagrammes de Penrose. Ca ne nécessite qu'un minimum d'apprentissage et ensuite ça devient naturel et facile. Quand il existe des représentations visuelles fiables et simples il n'y a vraiment pas d'excuse à utiliser des trucs trompeurs. Je suppose que cette difficulté est lié au (*), difficulté de désapprendre qui pousse à "visualiser à la sauce de la vie quotidienne" et la tendance vulgarisatrice trop simplificatrice : pffff, expliquer un diagramme de Penrose, ça va pas la tête ? Allez hop, la feuille de caoutchouc"

Donc oubliez les sacs de bananes les amis. Un ensemble vide c'est .... un ensemble vide, avec ses propriétés mathématiques d'ensemble et l'absence d'éléments, ni plus, ni moins. Pas de sac ni de banane là dedans.

[Deedee81]

la tendance vulgarisatrice trop simplificatrice : pffff, expliquer un diagramme de Penrose, ça va pas la tête ? Allez hop, la feuille de caoutchouc"

C'est ce que j'appellerais la vulgarisation "fastfood" : une tendance sociétale qui s'est générale : vite, vite, vite.... je veux tout expliquer, je veux tout savoir MAINTENANT. Bon sang, expliquer la production d'antimatière par le LHC c'est quand même pas comme décrire l'arrivée de Paris Hilton à Canes !!!!!! Et il faut le dire 99% (au pif, probablement plus) de la vulgarisation est comme ça. (*)

Personnellement j'essaie d'être plus complet, d'approfondir, d'être précis et non trompeur. Ainsi dans ma série vulgarisée sur le spin (pas tout à fait finie mais presque) qui est quand même très ciblée : le spin, j'ai déjà 51 vidéos. Alors mes vidéos ne sont pas très jolies (et moi non plus ) et même si elles sont courtes, en tout ça fait beaucoup à voir. Mais la vulgarisation nécessite de faire un effort, tant pour la rédiger que pour la lire.

Bon, je m'égare un peu et j'ai aussi un peu poussé un coup de gueule là Mais vu qu'on parle "d'images pour visualiser l'ensemble vide", c'est bien une forme de "vulgarisation des maths". Et donc la "science malbouffe" devait être dénoncée.

Allez encore un peu d'humour ici pour illustrer ça :
https://www.quae.com/produit/1447/97...e#lg=1&slide=0
(juste l'image, j'ai pas lu le bouquin mais il m'a l'air bien )

(*) EDIT c'est à un tel point que plusieurs fois on a eut des nouveaux inscrits (des jeunes ?) disant "je veux tout apprendre de la physique, pouvez-vous m'indiquer un bon livre pour ça". En creusant on découvre que c'est vulgarisé ou non (parfois c'est vraiment tout le technique) et que lorsqu'il dit "tout" c'est pas un vain mot, c'est vraiment tout C'est aberrant. Evidemment quand on explique qu'il faudrait plusieurs dizaines de bouquins et plusieurs années de lecture/travail c'est une fameuse douche froide.

Mais d'où vient une telle dérive ? C'est comme un de mes neveux qui a lu pleins de romans : mais uniquement les résumés sur la couverture. Véridique Beaucoup de jeunes ont une vision de la société et tout ce qui va avec (économie, sciences, techniques, commerce, industrie) ultra simpliste et c'est peu de le dire et à un âge où ça ne devrait pas arriver. C'est à pleurer.

[albanxiii]

On peut imaginer ce qu'on veut, tant qu'on s'en tient aux strictes règles de logique mathématique quand on manipule ces objets. Toute tentative de faire autrement, en se basant sur l'intuition est casse gueule

[Deedee81]

On peut imaginer ce qu'on veut, tant qu'on s'en tient aux strictes règles de logique mathématique quand on manipule ces objets. Toute tentative de faire autrement, en se basant sur l'intuition est casse gueule

C'est une manière courte et concise de dire tout ce que j'ai expliqué, je suis trop bavard

[albanxiii]

C'est une manière courte et concise de dire tout ce que j'ai expliqué, je suis trop bavard

Je suis trop fainéant et tu maîtrises mieux le sujet que moi pour faire des explications détaillées C'est bien pour les lecteurs qui veulent plus de détails.

[Médiat]

La notation standard de l'ensemble vide est {}, on peut voir ces accolades comme un "sac" virtuel, par contre, comme le dit albanxiii, toute tentative de raisonnement utilisant l'intuition que l'on peut avoir d'un "sac" est voué à l'échec (pas que pour l'ensemble vide).

[Deedee81]

La notation standard de l'ensemble vide est {}, on peut voir ces accolades comme un "sac" virtuel, par contre, comme le dit albanxiii, toute tentative de raisonnement utilisant l'intuition que l'on peut avoir d'un "sac" est voué à l'échec (pas que pour l'ensemble vide).

De plus il ne me semble pas plus difficile de visualiser mentalement "{}" que de visualiser un sac.

[Médiat]

Une autre façon de visualiser l'ensemble vide : un point du graphe de l'appartenance sur lequel aucune flèche n'arrive (il n'y en a qu'un).

[amineyasmine]

Bonjour

Merci pour les réponses.

Il est clair que cette imagination ne colle pas,

Mais pourquoi ne pas aller à une contradiction flagrante, par exemple :

L’intersection de tous les ensembles est l’ensemble vide. Tous les ensembles sont donc dans le même sac il n’y aura plus de sac pour chaque ensemble mais un seul sac pour l’ensemble des ensembles, comme si on disait qu’il n’y a qu’un seul ensemble et les sous-ensembles ne sont pas des ensembles. Contradiction

[Médiat]

L’intersection de tous les ensembles

Quel axiome permet d'en parler ?

[amineyasmine]

Quel axiome permet d'en parler ?

Bonjour
Je ne sais pas
Mais l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble il est donc dans l’intersection des ensembles

[Merlin95]

HS : Il est dans ou il est ... ?

[amineyasmine]

HS : Il est dans ou il est ... ?

il est dans
et s'il n'y a pas d'autre élément avec , il est

[Merlin95]

Mais l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble

Oui il n'appartient pas à tous les ensembles.

« est inclu » et « appartient », ce n'est pas la même chose. Voir wikipedia, par exemple.

[pm42]

Quel axiome permet d'en parler ?

Le même que celui qui permet de parler plus haut "l'ensemble de tous les ensembles".
Il s'appelle l'axiome des forums et s'exprime comme ça : "ce n'est pas parce qu'on ne connait rien et qu'on refuse d'apprendre qu'on n'a pas le droit de continuer à exprimer ce qu'on appelle son idée ad nauseam en ignorant toutes les objections pertinentes de gens largement plus compétents".

[Deedee81]

Salut,

Outre avoir pris un axiome ancien et qui n'est plus utilisé. Et autres soucis relevés. Moi j'ai une question sur :

Mais pourquoi ne pas aller à une contradiction flagrante, par exemple :

Pourquoi faire ? Pourquoi veux-tu aller à une contradiction ? Quel est le rapport avec le sujet ?

Si ton but était de montrer que la représentation des sacs est contradictoire.... c'est raté ! Car ton raisonnement est faux (ton "donc" est faux !) (et il y a d'autres erreurs)

En fait, tu n'as pas prouvé que les sacs conduisent à une contradiction (en fait, ça donne une représentation un peu limitée (*) mais pas contradictoire)
Ce que tu as prouvé c'est qu'un raisonnement écrit n'importe comment sans rigueur conduit à des contradictions.

Mais ce n'est pas un scoop (la grande majorité des "paradoxes" sont de ce type, pas tous bien entendu)

(*) par exemple, pas d'ensemble non dénombrable avec cette représentation, hors ceux-ci sont extrêmement fréquent en math

[oxycryo]

tiens ? c'est assez amusant de voir les matheux redéfinir des concepts de base afin de les faires coller à leur résultat. sauf qu'ils entre en épistémologie dès qu'il n'utilisent plus leurs symbolique et langage spécifique

donc un ensemble reste un contenant fini, par là dénombrable, et dont la définition permet de décider si oui ou non un élément e peut-être inclus dans cet ensemble...
une collection ne possède pas ce type de définition, car tout élément peut-être élément d'une collection (situation d'avant tri)... c'est un ensemble qui n'est défini que par un état momentanée, celui d'un état-de-chose "naturel" et non-encore trié. les nombres peuvent-être vu comme une collection, l'ensemble des chiffres (0-9) comme un ensemble... mais peut-on dire la même chose de N qui est défini par une suite... donc infini par nature, et indénombrable par le fait... l'ensemble N s'apparente plutôt à une suite, qu'a un ensemble stricto-sensu, et par du tout à une collection, puisque tout les nombres s'y accumule en bon ordre(vu par la temporalité de la suite n+1)

que pensez-vous de cette version épistémologique ?

[Deedee81]

tiens ? c'est assez amusant de voir les matheux redéfinir des concepts de base afin de les faires coller à leur résultat. sauf qu'ils entre en épistémologie dès qu'il n'utilisent plus leurs symbolique et langage spécifique

C'est qui les matheux en question (car c'est assez insultant ce que tu dis là) ?
(il n'y a d'ailleurs qu'un et un seul mathématicien dans cette discussion et il a peu écrit)

EDIT "matheux" est d'ailleurs un terme assez désobligeant, mais tu ne le savais peut-être pas (moi aussi j'ai fait la gaffe, il y a déjà longtemps )

que pensez-vous de cette version épistémologique ?

J'en pense que c'est très mal écrit, vraiment peu clair (et c'est peu de le dire). Epistémologie ne veut pas dire écrire n'importe comment (la "temporalité de la suite n+1" )

Ce qui n'empêche pas de voir une erreur : "N qui est défini par une suite... donc infini par nature, et indénombrable par le fait"
N est dénombrable par définition (un ensemble est dit dénombrable si on peut le mettre en bijection avec N, ce qui est évidemment le cas... de N !!!!)
C'est quand même la base de la base ça.

C'est pas la seule gaffe (pas de notion d'ordre ou de suite dans la définition d'un ensemble). Donc dire que N s'apparente à une suite est une erreur assez énorme !

(t'as même pas lu le message 7, ou j'explique justement qu'il ne faut pas confondre un ensemble et un ensemble doté d'une structure supplémentaire, ça aussi répondre sans même regarder les explications c'est insultant)
EDIT non après tout, ça je l'enlève, car après tout, tu l'as peut-être lu mais sans rien comprendre. Je ne veux pas faire de procès d'intention

[non bwana]

(il n'y a d'ailleurs qu'un et un seul mathématicien dans cette discussion et il a peu écrit)

Je ne sais pas si ça permet de visualiser l'ensemble vide, mais au moins on a une vue sur l'idée de singleton.

[Liet Kynes]

le message 7, ou j'explique justement qu'il ne faut pas confondre un ensemble et un ensemble doté d'une structure supplémentaire, ça aussi répondre sans même regarder les explications c'est insultant)

On a un ensemble E d'éléments. Et ces éléments n'ont aucune propriétés, aucune relation et aucun ordre (comme dit dans wolfram).
Puis ils définissent les axiomes classiques d'espace vectoriel : on définit une opération interne + tel que pour tout x, y appartenant à E il existe z tel que z = x + y, avec les propriétés de l'opération etc....
Et l'espace ainsi défini est aussi appelé E. Mais comme ils le disent, on devrait en toute rigueur le nommer E' car E' n'est pas l'ensemble E. On peut dire que c'est E plus une structure ou que E est l'ensemble support de l'espace E'. Mais E 'est pas E'

C'est pas simple quand même ton exemple, E et E' comprennent donc les mêmes éléments?
Par exemple si E contient tout les entiers naturels de E pairs et que l'on défini E' avec une opération interne + tel que pour tout x, y appartenant à E il existe z tel que z = x + y alors E' contient tout les éléments de E.
et donc E=E' mais ils sont définis différemment ?

[JPL]

On arrête le massacre ? Cette discussion n’a jamais été ludique, mais affligeante. Il y a un forum spécial pour ce genre de discussion ; il commence par A... et il est non vide, mais extensible à l’infini.

[Médiat]

C'est bien plus subtil que cela :

Est-ce qu'un ensemble E nu est la même chose que ce même ensemble muni d'une LCI, par exemple, il devrait être évident que non, pourtant ils ont les mêmes éléments et un ensemble n'est défini que pas ses éléments donc ils devraient être égaux. Le problème est que la partie en gras est fausse, les éléments de E muni de la LCI forment en fait un sous-ensemble de ExExE

[Liet Kynes]

On arrête le massacre ? Cette discussion n’a jamais été ludique, mais affligeante. Il y a un forum spécial pour ce genre de discussion ; il commence par A... et il est non vide, mais extensible à l’infini.

Bof quand on est nul en math on le reste, avec le recul c'est la seule chose que j'ai pu apprendre, soit on est muni des neurones pour soit pas et entendre dire partout que c'est juste une question de volonté fait que l'on s'acharne pour finalement ne dire que des âneries.. Bref c'est comme l'oreille musicale, tu l'as ou tu ne l'as pas.