Ensembles qui sont éléments d'eux-mêmes

[ThM55]

Bonjour! Une petite réflexion amusante, que je propose en rubrique ludique parce que c'est assez peu rigoureux et un peu délirant. Donc ne prenez pas ces questions trop au sérieux.

L'antinomie de Russel se rapporte à des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes. Il me semble que c'est le cas de la plupart des ensembles que l'on considère en mathématiques. Par exemple , ensemble des naturels, n'est pas un naturel, donc n'est pas élément de lui-même. De même, une courbe dans le plan contient des points, pas cette courbe elle-même. L'antinomie montre qu'on ne peut pas les prendre tous et en faire un ensemble.

Cela me semble clair, mais ce que je trouve moins clair c'est la notion d'ensembles que sont éléments d'eux-mêmes. Il me semble que c'est une notion qui n'a pas une place très claire dans l'axiomatisation des ensembles. La simple écriture masque des choses qui me semblent contradictoires. Dans l'univers de Von Neumann qui part de l'ensemble vide et s'étend aux ordinaux, sauf aveuglement de ma part, je ne vois aucun ensemble de ce type.

De manière plus élémentaire, je me suis demandé comment définir un ensemble B (B comme Bertrand ) qui soit élément de lui-même et qui soit aussi un singleton.

Forcément avec ces deux contraintes on doit pouvoir écrire , puisque et est le seul élément de . C'est un peu bizarre parce qu'on peut alors réitérer cette écriture à l'infini:



Peut-on poursuivre à l'infini et définir cet ensemble (singleton élément de lui-même) comme une sorte de limite avec une infinité d'accolades?

Maintenant je me pose la question: deux singletons sont égaux s'ils ont le même élément. Mais si je prends un ensemble quelconque différent de , , cela veut dire que est un autre singleton élément de lui-même. Le fait qu'ils soient différents ne crée aucune contradiction: si , alors , donc et (idem en échangeant A et B). Pourtant en passant à la limite comme ci-dessus, on devrait avoir , non? Doit-on postuler qu'il n'y qu'un seul singleton élément de lui-même? Peut-on le démontrer?

Une autre question. Supposons donné un ensemble "ordinaire", c'est-à-dire qui n'est pas élément de lui-même. Par exemple . Peut-on lui ajouter un ou plusieurs éléments pour obtenir un ensemble qui est élément de lui-même? Il ne s'agit évidemment pas d'écrire simplement . En effet on a mais . Alors comment faire?
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[Amanuensis]

Une autre question. Supposons donné un ensemble "ordinaire", c'est-à-dire qui n'est pas élément de lui-même. Par exemple . Peut-on lui ajouter un ou plusieurs éléments pour obtenir un ensemble qui est élément de lui-même? Il ne s'agit évidemment pas d'écrire simplement . En effet on a mais . Alors comment faire?

Bien sûr. Faut écrire , qui peut se lire "il existe N', tel que...".

Mode sérieux : la question n'est jamais si on peut ou non écrire quelque chose (vive la liberté d'expression!), mais de donner un sens à l'écriture, partageable avec le lecteur (le destinataire) sans introduire de contradiction formelle.

[polo974]

C'est vertigineux à une dimension, ça fait penser à la caméra qui filme l'écran qui affiche ce qu'elle filme.

Pour A, c'est bien beau de dire qu'il est différent de B, mais rien ne le prouve...

Mais avec un ensemble B2 qui se contient 2 fois, c'est encore pire, et on peut étendre à 3 ou 4 ou un nombre infini...

Ensuite, il faut trouver un usage à ces objets en-dehors de ce faire des nœuds au cerveau...

[ThM55]

Pour A, c'est bien beau de dire qu'il est différent de B, mais rien ne le prouve...

Oui, c'est un peu le sens de ma question. Il ne semble pas y avoir de contradiction immédiate à supposer que A est différent de B, du moins si on n'admet pas cette sorte de limite.

En fait B ne peut pas apparaître deux ou plusieurs fois comme élément d'un ensemble car en théorie des ensembles on a

{a,a} = {a} = {a,a,a}=...

et c'est toujours un singleton. On retrouve ce fait dans la structure d'ensemble de certains langages de programmation comme par exemple Python. En python par exemple l'instruction suivante crée un ensemble:

ensemble= {"pomme", "poire", scoubidou", "pomme"}

et l'instruction suivante

print(ensemble)

donne le résultat suivant

{'pomme', 'scoubidou', 'poire'}

Ce qui démontre deux choses: les éléments dupliqués n'existent pas, la seconde occurrence de "pomme" dans l'assignation n'est qu'une redondance inutile; et l'ordre n'est pas significatif, il est laissé à la discrétion de l'implémentation de Python. C'est conforme à ce que j'ai appris sur la théorie des ensembles. Il n'est toutefois pas possible en Python de construire mon exemple de singleton car d'une part les ensembles ne sont pas des données mutables (on ne peut les définir qu'une seule fois par assignation comme je l'ai fait plus haut et on ne peut plus les modifier) et l'assignation

B = {B}

est refusée car B n'a pas été défini préalablement.

Mais donc en résumé, si un ensemble est élément de lui-même, il est présent une seule fois.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Je me suis mal exprimé au sujet des ensembles en Python. Ce sont les éléments de l'ensemble qui sont non mutables, mais on peut ajouter (méthode add) ou ôter (méthode remove) des éléments d'un ensemble. Il ne sera donc pas mutable mais cela ne permet toutefois pas d'ajouter l'ensemble lui-même à cause de limitations de ce langage.
Par exemple on pourrait essayer

b = {'a'}; b.add(b)

mais ce n'est pas accepté justement parce que b est mutable et la méthode add calcule un "hash" donc suppose que l'argument ne l'est pas. Je ne vais pas entrer dans les détails, ce n'est pas le sujet du fil. Mais même si c'était possible, on serait dans la même situation que mon exemple avec , ce ne serait pas possible.

[pm42]

J'ai du mal à voir ce que python peut apporter ici mais les ensembles y sont mutables et on peut les assigner plusieurs fois.

Sinon, cela vaut la peine de regarder l'axiome de fondation et pourquoi on a tendance à l'ajouter à ZFC.

[amineyasmine]

Bonjour!
….
Forcément avec ces deux contraintes on doit pouvoir écrire B = {B} puisque B appartient à B et B est le seul élément de B. C'est un peu bizarre parce qu'on peut alors réitérer cette écriture à l'infini

Bonjour
Pour écrire ceci il faut réécrire toute la théorie des ensembles

Le {B} est un ensemble de cardinal 1 donc B est de cardinal Zéro qui n’est autre que l’ensemble vide

Toute la théorie des ensembles est basée sur ça

Il existe un ensemble vide et l’ensemble des sous ensemble de cet ensemble est le singleton de l’ensemble vide et l’ensemble des sous ensemble du singleton est l’ensemble iiiii de cardinal 2


tu te trouve dans une Grande contradiction

[Amanuensis]

Python.

[...]

est refusée car B n'a pas été défini préalablement.

J'ai une vague réminiscence, très lointaine, d'un langage (d'un nom genre ML) qui accepte les définitions récursives, genre (syntaxe totalement inventée)

 N ={0} union succ(N)

L'accepte et lui donne un sens, c'est à dire permet de travailler avec les éléments de l'ensemble.

Peut-être cela rappelle-t-il quelque chose à quelqu'un ?

Si ma mémoire n'est pas nawak, serait intéressant de savoir si ce langage 'accepte' des définitions telles qu'un ensemble est élément de lui-même.

( Note : la balise CODE permet la réutilisation du contenu en mode 'réponse avec citation', ce qui n'est pas le cas de la balise QUOTE. )

[Amanuensis]

En fait B ne peut pas apparaître deux ou plusieurs fois comme élément d'un ensemble car en théorie des ensembles on a [...] et c'est toujours un singleton.

Là encore, question d'écriture. On peut imaginer

A = (0, {B}) union (1, {B})

Où l'écriture (., .) est associée avec des fonctions 'projecteur droit' et 'projecteur gauche.

Alors on a bien B apparaissant deux fois, mais pas exactement comme 'élément' de l'ensemble (les éléments de A sont des couples).

La définition récursive

B = (0, {B}) union (1, {B})

donnerait, j'imagine, l'ensemble des arbres binaires infinis, mais pas un ensemble élément de lui-même.

[stefjm]

class A{
   A a;
}

Définir une classe dont l'un de ses membre est du même type qu'elle?

[oxycryo]

hm, un ensemble, ensemble de lui-même ne peut-être valide que pour l'ensemble de tous les ensembles (qui se contient lui-même), au-delà, il y a maldonne, et ce n'est pas en lui donnant un autre "titre" que cela changera grand chose, à sa nature... d'être un "contenant"

je dirais même, que l'idée qu'une boite se contienne elle-même est en-soi fort Russellien, genre énoncé auto-itératif... donc une boucle logique que seul un crtl+c permet d'en sortir...

[ThM55]

Bonjour
Pour écrire ceci il faut réécrire toute la théorie des ensembles

Le {B} est un ensemble de cardinal 1 donc B est de cardinal Zéro qui n’est autre que l’ensemble vide

Toute la théorie des ensembles est basée sur ça

Il existe un ensemble vide et l’ensemble des sous ensemble de cet ensemble est le singleton de l’ensemble vide et l’ensemble des sous ensemble du singleton est l’ensemble iiiii de cardinal 2


tu te trouve dans une Grande contradiction

Excuse moi mais je ne comprends pas ta remarque. B n'est pas vide puisqu'on a la relation . Le cardinal de B est 1, il n'y a pas d'ensemble vide dans cette histoire. En fait, si je prends un ensemble A quelconque (que A soit ou non égal à B) et j'écris , le cardinal de B est 1 (il a un seul élément, qui est A) et le cardinal de A peut être n'importe quoi. En particulier je peux mettre B dans l'accolade et je définis ainsi un singleton.

[pm42]

Excuse moi mais je ne comprends pas ta remarque.

Il n'y a rien à comprendre : il est totalement nul en maths et raconte n'importe quoi sur tous les fils.

D'autant qu'il n'y a rien à réécrire : tout a déjà été fait sur le sujet même si ce fil semble vouloir réinventer.

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-we...ded_set_theory

[ThM55]

hm, un ensemble, ensemble de lui-même ne peut-être valide que pour l'ensemble de tous les ensembles (qui se contient lui-même), au-delà, il y a maldonne, et ce n'est pas en lui donnant un autre "titre" que cela changera grand chose, à sa nature... d'être un "contenant"

je dirais même, que l'idée qu'une boite se contienne elle-même est en-soi fort Russellien, genre énoncé auto-itératif... donc une boucle logique que seul un crtl+c permet d'en sortir...

En effet, c'est pourquoi je trouve cela amusant. En fait j'ai utilisé pour spécifier B une notation en extension avec ces accolades, qui conduit à une sorte de récursion. Mais dans l'axiomatique de ZF, je ne crois pas que cette notation "naïve" a sa place.

En y réfléchissant, et en lisant des textes sur le sujet, je crois pouvoir montrer que B n'existe pas. ZF contient un axiome dit "axiome de fondation" qui énonce que pour tout ensemble B non vide, il y a un élément tel que . Du moins c'est ce que je crois comprendre en traduisant en langage naturel l'énoncé formel que je trouve dans mon bouquin ("Logic for Mathematicians" par A.G. Hamilton, axiom ZF8). Donc, comme B est un singleton, son seul élément x ne peut être B! En fait dans ZF, aucun ensemble ne peut être élément de lui-même car à partir d'un tel ensemble, on pourrait toujours construire le singleton à partir de l'élément (par l'axiome d'extensionalité). Apparemment cet axiome aurait été posé justement pour éviter cette situation. Le livre de Hamilton l'affirme: "This is a technical axiom which is included in order to avoid anti-intuitive anomalies such as the possibility of a set being a member of itself".

Je me rends compte maintenant que je suis encore très ignorant, si je "découvre" de telles chose à mon âge avancé.

[ThM55]

Il n'y a rien à comprendre : il est totalement nul en maths et raconte n'importe quoi sur tous les fils.

D'autant qu'il n'y a rien à réécrire : tout a déjà été fait sur le sujet même si ce fil semble vouloir réinventer.

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-we...ded_set_theory

On s'est croisés, mon livre appelle cela "Axiom of Foundation" et le numérote en numéro 8 de ZF. Je dois avouer que je connais très mal l'axiomatique des ensembles, désolé si je t'ai fais perdre ton temps. Maintenant, comme toute axiomatisation, c'est un système formel qui sert de modèle cohérent pour notre intuition de la notion d'ensemble. Je suppose qu'il a été construit pour essayer d'éviter les incohérences et absurdités genre Russel.

[pm42]

désolé si je t'ai fais perdre ton temps. Maintenant, comme toute axiomatisation, c'est un système formel qui sert de modèle cohérent pour notre intuition de la notion d'ensemble. Je suppose qu'il a été construit pour essayer d'éviter les incohérences et absurdités genre Russel.

Pas du tout mais comme je disais, cela permet de mesurer tout ce qui a été fait notamment le fait qu'un ensemble qui se contient lui même engendre des contradictions avec le jeu d'axiomes standard mais qu'on a construit des théories complètes où c'est possible.

Mais effectivement, on reste dans le formel et je doute qu'on puisse en exhiber un, c'est un peu comme une base de l'espace vectoriel des fonctions de R ou une méthode explicite permettant d'extraire un élément de toute partie de R : on dit que ça existe mais on ne peut pas construire.

[polo974]

...

En fait B ne peut pas apparaître deux ou plusieurs fois comme élément d'un ensemble...

Oh là là, c'est trop loin les maths, il faut que je révise grave...

Bon, j'ai cherché du coup l'objet mathématique qui pourrait contenir 2 fois le même élément, et je n'ai pas trouvé, pourtant au rami, on regroupe 2 jeux de 52 cartes (plus les 4 jokers). et donc on a des éléments en double voir quadruples, et ce n'est pas une liste, vu que ce n'est pas spécialement ordonné...

Comment s'appelle donc ce genre d'OMNI ?

[pm42]

Comment s'appelle donc ce genre d'OMNI ?

Tu peux le définir facilement comme une suite de longueur finie.
C'est d'ailleurs la même chose qu'en informatique : plus haut, ThM55 a utilisé l'objet Set() en Python qui correspond bien à un ensemble. Si on voulait représenter un jeu de rami avec des éléments potentiellement en double, on utiliserait un tableau, une liste, un vecteur bref une structure qui accepte les doublons.

P.S : d'ailleurs, tu peux aussi modéliser ton jeu de rami comme un vecteur dans l'espace des jeux possibles. Ou un point dans le même espace représenté en affine.
En le représentant en vecteur, jouer une carte revient à faire une projection sur l'espace de taille n-1.

[stefjm]

class A{
   A a;
}

Définir une classe dont l'un de ses membre est du même type qu'elle?

J'ai creusé un peu en C#

class A { // Classe englobante
    A a; // OK Classe englobante et membre de noms différents
    }

    class B { // Classe englobante
    B B; // Erreur CS0542    'B' : les noms de membres doivent être différents de leur classe englobante.
    }
    class C { // Classe englobante
    A A; // OK , bien que le nom du membre soit le même que le nom de sa classe, mais différent de la classe englobante
    }

Je ne sais pas si c'est intéressant.

[polo974]

En fait, je me demandais si une "famille non ordonnée" (contrairement aux listes) existait dans l’attirail mathématiques.

L'idée de vecteur est alléchante (quoique un peu overkill), sauf que dans mon cerveau, les dimensions d'un vecteur sont ordonnées, mais peut-être n'est-ce que dans une catégorie de vecteurs...

( c'est bien en mode amusement/curiosité que je me pose la question, et si je devais coder un truc, j'aurai pris une liste ou un dico avec le nombre d’éléments en valeur de la clé concernée selon le besoin )

[pm42]

Je ne sais pas si c'est intéressant.

Une définition d'un type contenant une référence à lui même en info n'a pas grand chose à voir avec la théorie des ensembles.

Par contre, le concept de type en informatique est théorisé et intéressant parce que relié justement à la problématique du fil : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_types

La théorie des catégories qui permet plus de choses que la théorie des ensembles est aussi pas mal utilisée notamment mais pas exclusivement en programmation fonctionnelle avec notamment un usage intensif des monades.

[pm42]

En fait, je me demandais si une "famille non ordonnée" (contrairement aux listes) existait dans l’attirail mathématiques.

Tu prends des familles ordonnées puis tu prends la relation d'équivalence "contient le même nombre d'éléments et les mêmes éléments" et l'espace quotient doit marcher.
En informatique, on fait ça souvent : par exemple, tu veux détecter des palindromes. A chaque mot, tu associe une clé non unique qui est l'ensemble de ses lettres en ordre alphabétique.
Tu viens de faire le quotient de ton espace ordonné, les mots par cette relation. Et 2 mots qui ont la même clé sont des palindromes.

L'idée de vecteur est alléchante (quoique un peu overkill)

Comme il est dit dans la culture geek US : "overkill is underrated".

sauf que dans mon cerveau, les dimensions d'un vecteur sont ordonnées, mais peut-être n'est-ce que dans une catégorie de vecteurs...

Non, c'est ordonné mais cela marche bien pour représenter un jeu de cartes. Tu peux ordonner dans l'ordre de distribution par exemple.

[Amanuensis]

En y réfléchissant, et en lisant des textes sur le sujet, je crois pouvoir montrer que B n'existe pas. ZF contient un axiome dit "axiome de fondation" qui énonce que pour tout ensemble B non vide,

C'est un axiome, ce qui implique qu'on peut prendre son contraire sans créer de contradiction avec les autres axiomes de ZF (du moins en logique usuelle), ce qui donne une autre théorie que ZF. Dans cette autre théorie possible qu'on puisse admettre que "B existe".

La question est alors de savoir une une telle théorie alternative a un quelconque intérêt, ce qui renvoie aux questions philosophiques sur le rôle des maths...

[ThM55]

C'est un axiome, ce qui implique qu'on peut prendre son contraire sans créer de contradiction avec les autres axiomes de ZF (du moins en logique usuelle), ce qui donne une autre théorie que ZF. Dans cette autre théorie possible qu'on puisse admettre que "B existe".

D'accord mais quand on nie un axiome, ne faut-il pas être certains qu'il est vraiment indépendant des autres? Je n'ai pas de référence qui prouve que les axiomes ZF sont indépendants. En lisant un autre texte sur l'univers de Von Neumann, il semble que cette construction ingénieuse partant de l'ensemble vide repose de manière importante sur cet axiome. Il faudrait donc y renoncer.

[Amanuensis]

D'accord mais quand on nie un axiome, ne faut-il pas être certains qu'il est vraiment indépendant des autres?

Il me semble qu'avec le tiers exclus, aussi bien un axiome et sa négation sont compatibles avec le reste des axiomes si le système est supposé cohérent. A vérifier avec la définition même du terme "axiome".

faudrait donc y renoncer.

Encore une fois, non. Une axiomatique est un choix.

La question est pourquoi préférer une axiomatique à une autre. Esthétisme? Adéquation aux besoins de la physique (et autres domaines utilisant les maths)? Évidence pour l'intuition (autrement dit quelque part adéquation à la manière de penser des humains, peut-être un effet de sélection dans la lignée qui mène à nous)? Tout ça à la fois?

Dans le cas soulevé dans cette discussion, où serait le problème à adopter (choisir) une axiomatique permettant l'existence d'ensembles éléments d'eux-mêmes?

[Amanuensis]

Pour moi cela renvoie à la remarque de Wigner dans "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", ou au commodisme de Poincaré.

Je ne vois pas (mais mes connaissances sont très limitées) d'application d'ensembles éléments d'eux-mêmes pour l'efficacité des mathématiques dans les "sciences naturelles". Du coup, s'en passer est une simplification sans inconvénient.

Ce qui n'empêche pas le jeu intellectuel autour de cette idée, on revient au côté ludique...

[amineyasmine]

Excuse moi mais je ne comprends pas ta remarque. B n'est pas vide puisqu'on a la relation B appartient à B. .

bonjour
si la relation B appartient à B est possible c'est que je suis totalement out comme dit pm42

[Amanuensis]

si la relation B appartient à B est possible c'est que je suis totalement out

Et donc? Que peut-on inférer de cette affirmation ?

[amineyasmine]

bonjour
tu as oublié : "comme dit pm42" qui a qq chose à dire. il peut affirmer

[amineyasmine]

Bonjour
Restant ludique

Si la relation B appartient à B est possible, elle sera vraie pour tous les ensembles, c’est pour éviter la jalousie entre les ensembles. Si lui appartient lui-même, moi aussi je dois appartenir à moi-même.

Si c’est vrai, on vérifie pour l’ensemble le plus clair (ensemble vide), si lui aussi réclame appartenir à lui-même, il ne sera plus vide. Il contestera et dira que c’est impossible qu’un ensemble appartient et lui-même sinon je n’existerai pas et vous non plus