Quelle serait la durée de vie d'un trou noir, pour un observateur se situant à l'intérieur ?

[invite06459106]

Perso j'écris juste "plus il est près de r=R", c'est neutre.

La norme de la pesanteur dans le référentiel de Schwarzschild (= l'opposé de l'accélération propre des immobiles relativement au référentiel) ne dépend que de r (l'espace-temps est statique et de symétrie sphérique).

Ok, merci.
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[Amanuensis]

Voilà l'outil auquel je pensais:
g=d²l/(dtl)²= - 1/(sqrt 1-/2GM/rc²) GM/r²
Avec dtl= sqrt1-rs/r.dt et dl= (1/sqrt1-rs/r)dr

Désolé j'espère que ce sera lisible,

Euh... Pas vraiment. Déjà c'est quoi dtl et dl ?

(Perso je calcule g directement à partir de , où U est la quadrivitesse des immobiles, vu comme un champ sur l'espace-temps. J'admets que ce n'est pas très parlant quand on ne connais pas...)

[invite06459106]

Je mets ça en manuscrit, le scan et l'envoie en mp, j'ai bien peur de faire une tartine sinon (voir une bouillie...).

[Mailou75]

Salut,

Prendre r=Rs pour l'horizon me semble une confusion, et alors une confusion fort répandue.

Ah voilà qui fait plaisir à lire !! Manquerait plus qu'on parle de la meme chose

À vitesse initiale donnée, oui. Facile à calculer en coordonnées de KS en partant de la vitesse nulle, j'ai plus de problème avec vitesse non nulle, faut que je regarde de nouveau.

Sans formule on ne calcule rien dans KS. Les coordonnées de Painlevé (ou Painlevé "specifique" pour un voyageur parti d'une altitude non infinie) donnent le resultat cherché.

On peut calculer cette duree pour une chute depuis n'importe quelle altitude R (vitesse d'origine nulle) soit aussi une panoplie de vitesses non nulles pour r<R. On peut la calculer pour une chute depuis l'infini et on aura aussi une panoplie (infinité) de vitesses non nulles pour r<oo.
Le probleme c'est si on cherche la solution pour un depart depuis R avec une vitesse supperieure à celle qu'aurait le voyageur en chute libre depuis l'inifini a cette altitude R. Dans ce cas j'ai pas la réponse..

........

A quelles formules penses-tu?

Celle ci de mon cru (donc tres peu fiable)
soit environ en champ faible
ou une autre donnée par Amanuensis qu'il faut que je retrouve... (mais qui demande tout de meme a etre verifiée car vu les resultats on peut avoir qq ordres de grandeur d'erreur sans le savoir, d'où la demande d'exemple chiffré)

Mailou

[pascelus]

Clairement inadapté à un effondrement! Quel sens physique donner à la singularité passé?

Peut etre deux remarques plausibles par contre pour un trou noir primordial? S'il est possible qu'il ait une masse suffisante pour ne pas s'etre déjà évaporé? Mais dans l'hypothèse inflationnaire, est-ce envisageable?

Sinon en effet il ne manque pas de conclusions très surprenantes et mon "choix" de la singularité "centrale" comme la plus irréaliste peut etre arbitraire. Je la fonde uniquement sur l'incrédulité d'un infini quel qu'il soit en physique.

[Amanuensis]

Celle ci de mon cru (donc tres peu fiable)
soit environ en champ faible

La différence avec la formule de Didier semble être une racine carrée. Ce que j'ai dans mes notes est avec la racine carrée. (J'ai , soit en norme ; et on a

À vérifier...

[Mailou75]

La dérivée de la vitesse locale? (j'aime pas trop les unités de loin..)

[Amanuensis]

Non, car cela contient l'équivalent de la force de Coriolis.

Ce qu'on cherche (l'accélération propre d'un immobile) est (au signe près?) la dérivée de la vitesse (relativement aux coordonnées) d'une chute libre de vitesse nulle.

[invite77389699]

Moi ce que j'aimerais bien c'est le calcul du temps propre de descente dans un trou noir de disons 4 milliards de masses solaires. Qui fait plus de 10 fois la taille du système solaire.

J'ai ma réponse par Alain Riazuelo de l'IAP : Environ 1j et demi de temps propre bien sûr.

[Amanuensis]

L'ordre de grandeur est assez immédiat, suffit de prendre les coordonnées de Schw pour la région intérieure. C'est Rs/c, 2GM/c^3.

Pour M=8 10^39 SI, on obtient Rs = 2 2/3 10^-10 8 10^39 / (3 10^8)²= 32/27 10^13 SI, et l'ordre de grandeur de la durée de 32/81 10^5, soit 4000 s, ou 66 h.

La partie difficile à calculer est le facteur précis.

[Mailou75]

Non, car cela contient l'équivalent de la force de Coriolis.

Ce qu'on cherche (l'accélération propre d'un immobile) est (au signe près?) la dérivée de la vitesse (relativement aux coordonnées) d'une chute libre de vitesse nulle.

On pourrait penser que de façon locale ce qui fait que la vitesse augmente légèrement c'est l'accélération locale. Qu'est ce que tu entends par chute libre de vitesse nulle ?
Merci

[Amanuensis]

Qu'est ce que tu entends par chute libre de vitesse nulle ?

Une chute libre prise au moment où sa vitesse est nulle. Par exemple initialement, quand on lâche un objet jusque là immobile; ou à l'apogée de la trajectoire si on le lance vers le haut .

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'ai:

[Zefram Cochrane]

Les × sont des * (portable)

[Amanuensis]

\times en LaTeX

[Amanuensis]

Cela donnerait une accélération tendant vers 0 quand r tend vers Rs.

J'ai , avec , et

D'où

[Amanuensis]

J'ai un problème avec les c, une partie des calculs étant avec c=1... Faut multiplier par c² pour avoir la dimension correcte.

[Zefram Cochrane]

Salut, c'est -1 ou 1/2?
Avec-1 , l'accélération ne tombe pas à 0 pour r=Rs.
Avec 1/2 si. L'accélération décroit pour r inférieur à 2×Rs

[Amanuensis]

Tu as raison, c'est -1/2, faute de ma part:

, avec , et

D'où

(avec des c² inclus...)

(Et l'accélération tend vers l'infini pour r tendant vers Rs)

[invitec9c0a685]

On n'en sait rien. On ne connaît pas l'état de la matière dans le TN.

On ne sait même pas si la lumière rebondissant contre un miroir parcourt la même distance à l'aller qu'au retour...
C'est dire si on ne sait rien...

[Zefram Cochrane]

Il y a un problème au niveau de ta seconde ligne.
J'aurais écris: 1/gtt×Ttt= c^2÷Rs…
Et cela donne en multipliant par grr^0,5 un résultat en √(1-Rs/r) et non en 1/√(1-Rs/r)

Où il y a un truc qui m'échappe dans ton calcul.

[Zefram Cochrane]

J'avais pas vu la virgule dsl

[Zefram Cochrane]

Je voudrais comprendre j'ai pour ma part :
V'=dr'/dt'= √(Rs/r)=(dr/dt)/(1-Rs/r).
Je derive dV'/dr =(-Rs/2r^2)/V'
dV'/dt'=-(Rs/2r^2)/V'×V'×(1-Rs/r)/√(1-Rs/r) d'où mon résultat.

Je pense que mon erreur viendrait de V'

[Amanuensis]

Pas regardé en détail, mais ça ressemble à une dérivation en composante de la norme. Or faut faire une dérivée covariante du quadrivecteur, la différence venant de ce que les vecteurs de la base vectorielle "changent", ils n'ont pas une dérivée nulle. Les dérivées des vecteurs de base sont ce qu'indiquent les symboles de Christoffel (qu'on peut voir un peu comme une accélération d'entraînement, comme quand on utilise des coordonnées non inertielles en mécanique: l'origine est similaire, à savoir les vecteurs de base "bougent" par rapport à l'inertiel).

Dans le calcul plus adapté, on s'intéresse à la dérivation covariante du quadrivecteur unitaire (c'est l'origine du 1/g_tt), du coup la dérivée covariante dans l'axe est nulle. Il n'y a que le "dérapage latéral" du vecteur \partial_t qui nous intéresse, et c'est ce "dérapage" qu'indique le christofell \Gamma_{tt}^r (les deux autres coordonnées spatiales n'interviennent pas, cause symétrie sphérique). Le dernier terme est la norme du vecteur \partial_r.

C'est très différent de la dérivation en composante de la norme de la vitesse spatiale.

Cela fait partie des techniques "de base" de la géo diff avec des systèmes de coordonnées quelconques, en espace courbe comme en espace plat.

[Mailou75]

Salut,

D'où

Ca parrait beaucoup trop simple... [acceleration Newton] x [potentiel Schw] ??
cad que la valeur classique est "juste" mais lue localement au ralenti (z+1)
Franchement, sans appliquation numerique comparable je reste sceptique...
(qq soit la formule d'ailleurs )

Mailou

[Amanuensis]

Les maths ne sont pas si difficiles.

[suite sous toutes réserves, vérification bienvenue, Mach3?]

On cherche l'accélération propre des immobiles.

Un mouvement immobile dans un système de coordonnées a sa quadrivitesse colinéaire à (1, 0, 0, 0), vecteur qu'on écrit .

On va prendre une quadrivitesse unitaire, c'est donc car , par définition

L'accélération propre, c'est la dérivée dans la direction du mouvement, ou la dérivée par rapport au temps propre, c'est pareil.

On cherche

Comme ne peut pas être considéré "constant", on doit en prendre la dérivée :



Le terme est ce qui distingue du cas "simple", et est donné par les symboles de Christoffel (c'est à ça qu'ils servent!) ; ce terme correspond aux "accélérations" d'entraînement, i.e., la partie de l'accélération qui est "entraînée" par les variations de la base vectorielle par rapport à l'inertiel.

On a par définition des Christofell



Comme on a pris un quadrivecteur toujours unitaire, et si on suppose la forme métrique diagonale, on n'a pas besoin de calculer le terme en car on sait d'avance qu'il est nul. On a donc, de manière très générale pour une métrique diagonale:



soit



Dans le cas des coordonnées de Schw. ou de KS, seul le Christofell en r n'est pas nul.

On a donc



et donc



et sont des coefficients de la métrique, on les a sous la main. Reste à calculer le symbole de Christofell, ou le trouver dans la littérature...

[Mailou75]

Salut,
Apres avoir fait un petit tour d'horizon, c'est le resultat qu'on peut trouver.
Dans ce cas comment expliquer qu'il n'y ait plus equilibre entre forces centrifuge (acceleration liee a la vitesse de rotation) et centripetes (acceleration de gravitation)? Doit on reecrire l'equation de la force centrifuge... ou retrecir perimetre de l'orbite d'un facteur a determiner ? ou autre ?
Merci

[Amanuensis]

Le calcul du message #146 n'a rien à voir avec une "force centrifuge", c'est l'équivalent du champ de pesanteur, la "force" que ressentent les immobiles, ou plus précisément la force qu'il faut compenser pour rester immobile dans le référentiel choisi.

Le calcul de l'accélération d'entraînement pour un mouvement orbital est du même genre, mais avec une quadrivitesse colinéaire à (1, 0, 0, w), un peu plus lourd à calculer... (On peut imaginer que par "force centrifuge" doit être entendue la composante en \partial_r de l'accélération d'entraînement.)

[Mailou75]

Salut,

(On peut imaginer que par "force centrifuge" doit être entendue la composante en \partial_r de l'accélération d'entraînement.)

Je te laisse juge des notations appropriées
Il faudra tout de meme qu'à l'ajout d'une dimension supplémentaire (2D) on trouve le moyen d'expliquer qu'il y a un equilibre car aucune acceleration n'est ressentie pour le voyageur en orbite.

[Amanuensis]

Faut distinguer mouvement circulaire en général, et mouvement circulaire de chute libre.